安徽省芜湖市2019届高三模拟考试数学(文)试题(解析版)

芜湖市2018-2019学年度第二学期高三模拟考试数学（文科）试题第I卷（选择题，共60分）一、选择题（每小题5分，共60分.每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的选项填涂在答题卡上）1.已知集合，集合，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据交集的定义求解即可．【详解】由交集定义故选：B【点睛】本题考查列举法,描述法及交集的定义，是基础题．2.已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】直接由复数的运算化简为a+bi（a，b∈R）的形式，则答案可求．【详解】=∴复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3.双曲线的实轴长为（）A.4B.2C.D.【答案】D【解析】【分析】由双曲线的方程直接求解即可【详解】由题,故实轴长为2a=故选：D【点睛】本题考查双曲线的方程，熟记基本概念是关键，是基础题4.已知向量，，则下列向量中与向量垂直的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先计算，再由向量垂直的坐标运算逐项判断即可【详解】=（5,2），又（5,2）=0，故与垂直故选：B【点睛】本题考查了向量的坐标运算，考查向量的垂直关系，是一道基础题．5.执行如图所示的程序框图，输出的为（）A.B.2C.-1D.【答案】B【解析】【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，循环可得结论．【详解】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：k＝1,s=2满足条件k≤2019,第一次循环，s＝1=，k=2满足条件k≤2019，第二次循环，s＝12=1,k=3满足条件k≤2019，第三次循环，s＝1+1=2，k=4故循环以T=3周期，又2010=3×670故输出S为2故选：B．【点睛】本题考查程序框图，执行框图认真计算发现循环规律是关键，是基础题6.某年级有学生560人，现用系统抽样的方法抽取一个容量为80的样本，把学生编号为1～560号，已知编号为20的学生被抽中，则样本中编号最小的是（）A.004B.005C.006D.007【答案】C【解析】【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔即可求解【详解】样本间隔为560÷80=7，则207×2=6，则样本中编号最小的是006故选：C．【点睛】本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键，是基础题7.19世纪德国工程师勒洛发现了一种神奇“三角形”能够象圆一样当作轮子用，并将其命名为勒洛三角形，这种三角形是三个等半径的圆两两互相经过圆心，三个圆相交的部分就是勒洛三角形，如图所示，现从图中的勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设圆半径为R，求出阴影部分面积和勒洛三角形的面积，从勒洛三角形内部随机取一点，利用几何概型能求出此点取自阴影部分的概率．【详解】设圆半径为R，因为阴影部分面积为，勒洛三角形的面积为，若从勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为．故选：D．【点睛】本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.已知实数，满足约束条件，则的最大值为（）A.1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数对应的直线进行平移并观察z的变化，即可得到的最大值．【详解】作出题中不等式组表示的平面区域，如图阴影所示，当直线过A时，z最大，此时A点坐标满足解A()此时z的最大值为故选：C【点睛】本题着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划，考查数形结合思想，考查运算能力，属于基础题．9.如图，点为单位圆上一点，，点沿单位圆逆时针方向旋转角到点，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用任意角的三角函数的定义求得A的坐标，根据B的坐标求得cos（α）和sin（α）的值，再利用两角差的正弦公式求得sinα＝sin[（α）]的值．【详解】∵点A为单位圆上一点，，点A沿单位圆逆时针方向旋转角α到点，∴A（cos，sin），即A（，），且cos（α），sin（α）．则sinα＝sin[（α）]＝sin（α）coscos（α）sin，故选：D．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角差的正弦公式的应用，熟记公式准确计算是关键，属于基础题．10.函数的部分图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】判断函数的奇偶性，然后排除选项，利用特殊值求解即可．【详解】设，则，f（x）为偶函数，排除D;又x，排除B;当x0且时，排除C,故选：A【点睛】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊点是常用方法．11.已知函数（，，）的图象如图所示，令，则下列关于函数的说法中正确的是（）A.函数图象的对称轴方程为B.函数的最大值为2C.函数的图象上存在点，使得在点处的切线与直线平行D.若函数的两个不同零点分别为，，则最小值为【答案】D【解析】【分析】根据函数f（x）的图象求出A、T、ω和φ的值，写出f（x）的解析式，求出f′（x），写出g（x）＝f（x）+f′（x）的解析式，再判断题目中的选项是否正确．【详解】根据函数）的图象知，A＝2，，∴T＝2π，ω1；根据五点法画图知，当x时，ωx+φφ∴φ，∴f（x）＝2cos∴f′（x）＝，∴g（x）＝f（x）+f′（x）＝2cos＝2令，k∈Z，解得k∈Z，∴函数g（x）的对称轴方程为,k∈Z，A错误当=，即时，函数g（x）取得最大值2，B错误；g′（x）＝，假设函数g（x）的图象上存在点P（x0，y0），使得在P点处的切线与直线l：y＝-3x+1平行则k＝g′（）＝=-3得,显然不成立，所以假设错误，即C错误；方程g（x）＝2，则2＝2，∴，∴2kπ或,k∈Z；即或,k∈Z故方程的两个不同的解分别为，，则最小值为的最小值为，D正确．故选：D．【点睛】本题考查了由的部分图象确定解析式，三角函数的性质，也考查了导数的应用以及命题真假的判断问题，是中档题．12.已知椭圆，直线与椭圆相交于，两点，若椭圆上存在异于，两点的点使得，则离心率的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设P(),由椭圆的对称性设求的值得a,b的不等式求e即可【详解】设P(),直线y=x过原点，由椭圆的对称性设又两式做差，代入上式得,故所以故选：B【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，曲线对称性的考查，考查计算能力，是中档题第Ⅱ卷二、填空题（每小题5分，共20分.把答案填写在答题卷的相应位置上）13.已知.若，那么实数的值为________.【答案】【解析】【分析】先求f（1）=4，再求f（4）=14，得a的方程求解即可【详解】由题f（1）=4，则f（4）=16+,解a=故答案为【点睛】本题考查分段函数的函数值，考查计算求解能力，是基础题14.已知圆及直线，当直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程为________.【答案】【解析】【分析】由题得直线l过定点P（2，2），当直线l垂直于过点P的圆C的半径时，l被截得的弦长最短，利用垂直关系得直线l的斜率即可求解方程【详解】由l：得a（x2）+y2=0∴不论a取何值，直线l恒过点P（2,2）∵∴点P（2,2）在圆C内故当直线l垂直CP时，直线l被圆C截得的弦长最短，此时,故直线的方程为【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线方程及圆的几何性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．15.某空间几何体的三视图如图所示，其中俯视图的虚线为半圆弧，则该几何体的体积为________.【答案】【解析】【分析】利用三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．【详解】由题意可知几何体是一个底面边长为4的四棱锥挖去一个底面半径为2的半圆锥，如图：几何体的体积为：故答案为【点睛】本题考查三视图求解几何体的体积，熟记圆锥的体积公式是关键，是基础题16.在中，内角，，C的对边分别为，，，，，，平面内有一点满足，则线段________.【答案】7【解析】【分析】将c=3代入结合余弦定理整理化简得b=,再利用余弦定理列BD的方程求解即可【详解】c=3代入得得又c=3,a=4∴b=则解得BD=7故答案为7【点睛】本题考查余弦定理解三角形，考查边角互化，考查运算求解能力，是基础题三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知数列为等差数列，且公差，其前项和为，，且，，成等比数列.（1）求等差数列的通项公式；（2）设，记数列的前项和为，求证.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题列的方程组求解即可得的通项公式；（2）由（1）得，进而得裂项相消求，即可证明【详解】（1）由题意得：，解得：，∴（2）由（1）得，∴∴【点睛】本题考查等差数列通项公式及求和公式，裂项相消求和，考查基本公式及运算能力，是基础题18.在三棱柱中，侧面为菱形，且侧面底面，，，，，分别为，的中点.（1）求证：直线平面；（2）若，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取中点为，连结，，证明四边形为平行四边形，得即可证明；（2）连，，证明底面，转化求解即可【详解】（1）取中点为，连结，.∵，，为，，的中点，∴，.∴四边形为平行四边形，∴.又∵平面平面，∴平面（2）连，∵，且为中点，∴.又且，∴平面.∴.∴.又∵四边形为菱形，∴且.∵侧面底面，∴底面.由（1）知平面.∴.【点睛】本题考查线面平行的判定，三棱锥的体积计算，考查空间想象及推理能力，注意等体积转化的应用，是中档题19.随着科技的发展，近年看电子书的国人越来越多；所以近期有许多人呼呼“回归纸质书”，目前出版物阅读中纸质书占比出现上升现随机选出200人进行采访，经统计这200人中看纸质书的人数占总人数.将这200人按年龄分成五组：第l组，第2组，第3组，第4组，第5组，其中统计看纸质书的人得到的频率分布直方图如图所示.（1）求的值及看纸质书的人的平均年龄；（2）按年龄划分，把年龄在的称青壮年组，年龄在的称为中老年组，若选出的200人中看电子书的中老年人有10人，请完成下面列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为看书方式与年龄层有关？看电子书看纸质书合计青壮年中老年合计附：（其中）.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）,；（2）列联表见解析，能.【解析】【分析】（1）由频率分布直方图均值公式计算求解即可；（2）计算各段的人数完成列联表，利用公式求解的值求解，对照临界值表判断下结论即可【详解】（1）由图可得：，得所以看纸质书的人的平均年龄为：.（2）由题意得看纸质书和电子书的人数分别为：，.所以看纸质书的160人中，青壮年组、中老年组的人数分别为：.所以列联表为：计算得的观测值为，所以我们能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为看书方式与年龄层有关.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，独立性检验的应用，考查运算求解能力，是中档题20.设曲线，点为的焦点，过点作斜率为1的直线与曲线交于，两点，点，的横坐标的倒数和为-1.（1）求曲线的标准方程；（2）过焦点作斜率为的直线交曲线于，两点，分别以点，为切点作曲线的切线相交于点，过点作轴的垂线交轴于点，求三角形面积的最小值.【答案】（1）；（2）2.【解析】【分析】（1）设直线的方程，与抛物线联立，由点，的横坐标的倒数和为-1，结合韦达定理代入求值即可；（2）设的方程为，与抛物线联立求得,求过M,N的切线方程求得Q(2k,0),利用点到线的距离求点到直线/的距离为，利用求解即可【详解】（1）由题意可知：，故可设直线的方程为即联立方程可得∴由题意知：，即，即，得.∴曲线的标准方程为.（2）由题意知直线的斜率是存在的，故设的方程为，设与曲线相交于点，联立方程可得