二次函数零点问题

二次函数零点问题【探究拓展】探究1：设21,xx分别是实系数一元二次方程02cbxax和02cbxax的一个根，且,0,2121xxxx求证：方程022cbxxa有且仅有一根介于21,xx之间.变式1：已知函数f(x)＝ax2＋4x＋b(a0，a、b∈R)，设关于x的方程f(x)＝0的两实根为x1、x2，方程f(x)＝x的两实根为α、β.（1）若|α－β|＝1，求a、b的关系式；（2）若a、b均为负整数，且|α－β|＝1，求f(x)的解析式；（3）若α1β2，求证：(x1＋1)(x2＋1)7.变式2：二次函数2()fxaxbxc满足0,0,0,acabc且方程()fxa有实根.（1）求证：函数()fx在(0,)上是增函数.（2）设函数()()gxfxbx的零点为1x和2x，求证：12||2xx.变式3：设函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(1)＝－a2，3a2c2b，求证：（1）a0且－3ba－34；（2）函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点；（3）设x1、x2是函数f(x)的两个零点，则2≤|x1－x2|574.变式4：设函数2()(0)fxaxbxca且(1)2af.（1）求证：函数()fx有两个零点；（2）设12,xx是函数()fx的两个零点，求12xx的取值范围；（3）求证：函数()fx的零点12,xx至少有一个在区间0,2内.探究2：已知方程xbxabx212有两个不相等的实数根.（1）求ab的取值范围；（2）求证：函数1)(2bxaxxf在区间1,1上是单调函数.变式：已知二次函数1)(2bxaxxf和bxabxxg21)(2（1）若)(xf为偶函数，试判断)(xg的奇偶性；（2）若方程xxg)(有两个不相等的实根，当0a时判断)(xf在1,1上的单调性；（3）若方程xxg)(的两个不相等的实根为21,xx，0)(xf的两实根为43,xx，求使得4213xxxx成立的a的取值范围.探究3：二次函数2()fxxaxa，方程()0fxx的两根1x和2x满足1201xx（1）求实数a的取值范围；（2）试比较(0)(1)(0)fff与116的大小．并说明理由变式：已知))()((1)(babxaxxf，nm,是)(xf的零点，且nm，则nmba,,,从小到大的顺序为_________________探究4：已知a是实数，函数2()223fxaxxa，如果函数()yfx在区间[11]，上有零点，求a的取值范围解析1：函数()yfx在区间[-1，1]上有零点，即方程2()223fxaxxa=0在[-1，1]上有解.a=0时，不符合题意，所以a≠0,方程f(x)=0在[-1，1]上有解=(1)(1)0ff或(1)0(1)048(3)01[1.1]afafaaa15a或372a或5a372a或a≥1.所以实数a的取值范围是372a或a≥1.点评：通过数形结合来解决一元二次方程根的分布问题.解析2：a=0时，不符合题意，所以a≠0,又∴2()223fxaxxa=0在[-1，1]上有解，2(21)32xax在[-1，1]上有解212132xax在[-1，1]上有解，问题转化为求函数22132xyx[-1，1]上的值域；设t=3-2x，x∈[-1，1]，则23xt，t∈[1,5],21(3)217(6)22tyttt，设2277().'()tgttgttt，[1,7)t时，'()0gt，此函数g(t)单调递减，(7,5]t时，'()gt0,此函数g(t)单调递增，∴y的取值范围是[73,1]，∴2()223fxaxxa=0在[-1，1]上有解1a∈[73,1]1a或372a.点评:将原题中的方程化成212132xax的形式,问题转化为求函数22132xyx[-1，1]上的值域的问题,是解析2的思路走向.变式1：已知函数2()243fxaxxa．（1）求证：函数y=f(x)的图象恒过两个定点．（2）若y=f(x)在（1，3）内有零点，求a的取值范围．（1）设2243yaxxa，即2(4)23yaxx．令x2=4，得x=2或2．则函数y=f(x)的图象恒过定点（2，7），（2，1）．（2）∵f(2)=70，f(2)=10，∴y=f(x)在（2，2）内有零点．1）若a0，抛物线开口向上，y=f(x)在（1，3）内有零点，当且仅当f(1)0，或f(3)0．则(1)243310faaa，或(3)9643530faaa．∴013a，或35a．2）若a0，抛物线开口向下，y=f(x)在（1，3）内有零点，当且仅当f(1)0．即(1)243310faaa．∴13a，结合a0，得a0．3）若a=0，y=f(x)的零点为32，在（1，3）内．综合1），2），3），得a的取值范围为（∞，13）∪（35，∞）．变式2：已知函数2()1fxaxbx．（1）若()0fx的解集是)3,1(，求实数ba,的值；（2）若a为整数，2ba，且函数()fx在(2,1)上恰有一个零点，求a的值．探究5：已知函数mxmxxf4)4(2)(2，mxxg)(，若对于任意的实数x，)(xf与)(xg的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是________.变式1：已知函数f(x)＝2mx2－2(4－m)x＋l，g(x)＝mx，若对于任一实数x，f(x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是.8,0分析：问题可转化为数学符号语言：“已知函数f(x)＝2mx2－2(4－m)x＋l，g(x)＝mx，xR，0fx或0gx”，求实数m的取值范围.不难发现，若利用上述解法3，采用对立转化法，即可设命题:qxR，0fx或0gx；则命题:qxR，00fxgx.若命题q成立时：首先，当0m时，810fxxgx，存在实数x，使得不等式组成立.其次，当0m时，函数f(x)为开口向下的二次函数，g(x)为R上的减函数且值域为R，必存在0xR，使得函数00fx且00gx.再者，当0m时，g(x)为R上的增函数且值域为R；若存在实数x使0fx成立，即要有min0fx.又2min2402mmfxm，解得8m或02m；综上，若命题q成立时：有2m或8m；即可知当命题q成立时：2,8m.答案错了变式2：设函数3)(2aaxxxf，函数aaxxg2)(，若存在Rx0，使得0)(0xf与0)(0xg同时成立，则实数a的取值范围是____________挖掘题中隐含条件：存在Rx0，使得0)(0xf，从而对参数的范围进行局部缩小；解析：由2()3fxxaxa知03,14faf，又存在0Rx，使得0()0fx知2430aa即2a或6a，另()2gxaxa中恒过2,0，故由函数的图象知：①若0a时,2()3fxxaxa23x恒大于0，显然不成立。②若0a时，0720aaf③若0a时，x对12a，另14f，显然不成立。解法1（分离参数法）20xa当，时，或者当20xa，时，都有0gx.当0fx时231xax，则有：当1x时，231xax0；当1x时，231xax0；因此，若0xR，使得00fx与00gx同时成立，则由上分析可知：只有当012x时，不等式20031xax成立.设函数231xhxx，1,2x.令101txt，24httt，易求7ht.则7.a解法2（数形结合法）由于0gx02ax当时，；02ax当时，.若存在0xR，使得00fx，则2=4120aa，即62aa或；则：1°当6a时，由题意可知，02x，00fx.二次函数对称轴32ax，yfx在,2上为减函数，则20f，即7a.2°当2a时，02x，00fx.而二次函数对称轴02ax，yfx在0,上为增函数，又14f，因此2x，0fx，此情形下a.综上，7a.解法3（对立转化法）命题p：若0xR，使得00fx与00gx同时成立.则p：对xR，0fx或0gx成立.下研究若命题p成立时，参数a的取值范围：1°当0a时，xR，0gx恒成立，因此，0a适合题意.2°当0a时，0gx2x；则(,2]|0xfx，2.1°2220af，即47a；2.2°0220a，即04a；因此有07a.3°当0a时，0gx2x；则[2,)|0xfx，有2220af，即0a；因此，0a.综上，当7a时，p成立；那么，命题p成立时，7a.变式3：设函数3)(2aaxxxf，函数axxg)(，若不存在Rx0，使得0)(0xf与0)(0xg同时成立，则实数a的取值范围是_______评注：（1）含参曲线的特征观察（定点？平行直线系？切线构成的包络线？）（2）充分挖掘题中的隐含条件，从而对参数的范围进行局部缩小；变式4：函数)2)(2()(mnxmnxnxf，4121)(xxg，对,Rx有0)(xf或0)(xg成立.若annm32，则实数a的取值范围是________.变式5：已知)3)(2()(mxmxmxf，22)(xxg，若同时满足条件：①Rx，0)(xf或0)(xg；②x(-∞,-4),)(xf0)(xg，则m的取值范围是_______2-4-，分析：对于条件①，仍然采用对立转化法，分析命题:p“xR，0fx且0gx”.又当1x时，函数0gx，则只要存在实数[1,)x使0fx成立即可.首先，当0m时，0fx，则0m适合；其次，当0m时，二次函数fx开口向上，则总存在实数x使0fx成立.再者，当0m时，二次函数fx开口向下，即要有max0fx；又此时二次函数对称轴方程为3302mx，则max11240fxfmmm，解得4m；因此，命题p成立时，0m或4m；那么条件①成立时，4,0m；对于条件②，当4x时，0gx，则可知存在4x，0fx；并且4,0m.可分如下两种情形：(1)2434(4)0mmf，解得4,2m；(2)2434(4)0mmf，解得m；综上可知，当条件①②都成立时，4,2m.探究6：设2()(0)fxaxbxca，方程()fxx的两个根是1x和2x，且10x，211xxa.又若10tx，试比较()ft与1x的大小.【解】因为1x、2x是方程2axbxcx的两个根，所以121bxxa，12cxxa，2111axbxcx.因此22111()()()ftxatbtcaxbxc