体检中的排队论5

体检排队论模型摘要排队论是20世纪初由丹麦数学家Erlang应用数学方法在研究电话话务理论过程中而发展起来的一门学科，排队论也称随机服务系统理论，它涉及的是建立一些数学模型，以对随机发生的需求提供服务的系统预测其行为，它已应用于电讯、纺织、矿山、交通、机器维修，可靠性，计算机设计和军事领域，都已取得了显著的成绩。排队论(又称随机服务系统)的理论和方法已经广泛应用于各种服务系统，如通信系统、交通系统、计算机存储系统、生产管理系统等许多方面，体检排队系统作为体检人员接受体检中心服务的第一个环节，是体检人员评价体检中心服务满意度的一个重要方面，故在体检系统中起着常重要的作用。因此，利用排队论的知识对体检系统建立数学模型进行分析优化，从而使系统达到最佳的运营状态，具有十分重要的经济价值和实际意义。排队的内容虽然不同，但有如下共同特征：（1）有请求服务的人或物，如候诊的病人、请求着陆的飞机等，我们将此称为“顾客”。（2）有为顾客提供服务的人或物，如医生、飞机跑道等，我们称此为“服务员”。由顾客和服务员就组成服务系统。（3）顾客随机地一个一个（或者一批一批）来到服务系统，每位顾客需要服务的时间不一定是确定的，服务过程的这种随机性造成某个阶段顾客排长队，而某些时候服务员又空闲无事。关键字：排队论；体检排队系统；M/M/n模型;M/M/1模型二、问题重述某城市的体检中心每天有许多人前去体检，全部体检项目包括：抽血、内科、外科、B超、五官科、胸透、身高、体重、…等等。每个人的体检项目可能各不相同，假设每个体检项目的服务时间是确定的，并且只有1个医生值班，每次只能为1个客户服务。为提高设备利用率、降低客人的等待时间，中心请你帮助完成如下任务：1.请你为某个新来的客人安排他的体检顺序，使其完成需要的全部检查的时间尽量少（在各个体检项目处都可能有人排队等待）；2.设计1组数据来验证上述结论。3.接待团体客人时，如何安排每个人的体检顺序，使得体检中心能尽快完成任务，设计1组数据来验证该结论。三、条件假设3.1基于排队系统的假设输入过程：某一时段内到达顾客的总体是有限的，且到达的方式是一个一个的，相继到达的间隔时间是随机性的，但是服从一定条件的概率分布；顾客的到达也是相互独立的，就是说，以前的到达情况对以后顾客的到来没有影响；输入过程是平稳的，也可以认为是时间齐次的，是指描述相继到达的时间间隔分布和所含参数（如期望值、方差等）都是与时间无关的。排队规则：根据题目的已知数据进行分析，顾客到达时，如所有的服务台均被占用着，则顾客将会等待，服务机制属于先到先服务；从占有的空间上来看，对于等待队伍的长度没有最大限制；从等待队伍的数量上来看，队伍是单列的。服务机构：带有多个服务台的机构中，它们应该是平行并列的（如第一问）服务的方式为每次一名医生对一个顾客进行体检；跟输入过程一样，服务时间也是随机性的，但是服从一定条件的概率分布，并且服务时间也是时间齐次性的。3.2对于到达时刻的假设对于顾客到达时间：1、根据排队论和概率论的相关理论，我们易知在不相重叠的时间间隔内顾客到达数是相互独立的，即为无后效性，2、在充分小的一段时间间隔之内，在区间[,]tt内有一个顾客到达的概率与时间t无关，而约与时间长度成正比，即(,)()Pttttot其中0是常数，它表示单位时间有一个顾客到达的概率，称为概率强度。3、另一方面，对于充分小的t，在时间间隔[,]tt内有两个或两个以上顾客到达的概率极小，以至于可以忽略，即2(,)()nPtttot（1）泊松分布的概率如下所示，意为在t的时间间隔中到达n个顾客的概率()(),!0,0,1,2,...ntntPtentn满足以上三个条件的分布被称作泊松流，我们得知该题目的工具到达时间服从泊松分布。3.3排队规则排队规则指顾客按怎样的规定的次序接受服务。常见的有等待制，损失制，混合制，闭合制。当一个顾客到达时所有服务台都不空闲，则此顾客排队等待直到得到服务后离开，称为等待制。在等待制中，可以采用先到先服务，如排队买票；也有后到先服务，如天气预报；也有随机服务，如电话服务；也有有优先权的服务，如危重病人可优先看病。当一个顾客到来时，所有服务台都不空闲，则该顾客立即离开不等待，称为损失制。顾客排队等候的人数是有限长的，称为混合制度。当顾客对象和服务对象相同且固定时是闭合制。如几名维修工人固定维修某个工厂的机器就属于闭合制。3.4排队系统的数量指标的假设(1)队长与等待队长队长（通常记为sL）是指系统中的平均顾客数（包括正在接受服务的顾客）。等待队长（通常记为qL）指系统中处于等待的顾客的数量。显然，队长等于等待队长加上正在服务的顾客数。(2)等待时间等待时间包括顾客的平均逗留时间（通常记为sW）和平均等待时间（通常记为qW）。顾客的平均逗留时间是指顾客进入系统到离开系统这段时间，包括等待时间和接受服务的时间。顾客的平均等待时间是指顾客进入系统到接受服务这段时间。(3)忙期从顾客到达空闲的系统，服务立即开始，直到再次变为空闲的时间，这段时间是系统连续繁忙的时期，称之为系统的忙期。它反映了系统中服务机构工作强度，是衡量服务系统利用效率的指标，即服务强度=忙期/服务总时间=1─闲期/服务总时间，闲期与忙期对应的系统的空闲时间，也就是系统连续保持空闲的时间长度。四、符号约定sL队长，指在系统中的顾客数qL指在系统中排队等待服务的顾客数sW指一个顾客在系统中的停留时间，期望值qW一个顾客在系统中排队等待的时间，期望值平均到达率五、问题分析与模型建立排队论中的记号是20世纪50年代初由D.G.Kendall引入的，通常由3~5个字母组成，形式为：A/B/C/n其中A表示输入过程，B代表服务时间，C代表服务台数量，n表示系统空间数。如：(1)M/M/S/∞表示输入过程是Poisson流，服务时间服从负指数分布，系统有S个服务台平行服务，系统容量为无穷大的等待制排队系统。(2)M/G/S/∞表示输入过程是Poisson流，服务时间服从一般概率分布，系统有S个服务台平行服务，系统容量为无穷大的等待制排队系统。（3）D/M/S/K表示顾客相继到达时间间隔独立、服从定长分布，服务时间服从负指数分布，系统有S个服务台平行服务，系统容量为K个的混合制系统。(4)M/M/S/S表示输入过程是Poisson流，服务时间服从负指数分布，系统有S个服务台平行服务，顾客到达后不等待的损失制系统。（5）M/M/S/K/K表示输入过程是Poisson流，服务时间服从负指数分布，系统有S个服务台平行服务，系统容量和顾客容量都为K个的闭合制系统以单个体检项目为例，可以将此系统当做M/M/S进行分析，其中体检人员到达规律服从参数为的Poisson分布，在[0,]t时间内到达的人数()Xt服从的的分布为：().{()}!kttePXtkk（1）其单位时间到达的平均人数为，[0,]t时间内到达的平均人数为t。体检者接受服务的时间服从负指数分布，单位时间服务的平均人数为，服务时间的分布为：0()0tetft（2）每个人接受服务的平均时间为1。可以计算出稳定状态下系统有n个人的概率：(1)nnp0,1,2,3n（3）其中称为系统的服务强度。则系统全部空闲的概率为：011p系统的平均队长为：00.(1).1nsnnnLnpn（4）系统的平均等待队长为：2211(1).(1)(1).1()nqnnnLnpn（5）系统的平均逗留时间为：1sW（6）系统的平均等待时间为：11()qW（7）从(4)~(6)式可以看出：ssLWqqLW（8）或ssLW，qqLW（9）该公式称为Little公式，在其它排队论模型中依然适用。Little公式的直观意义：ssLW表明排队系统的队长等于一个顾客平均逗留时间内到达的顾客数。qqLW表明排队系统的等待队长等于一个顾客平均等待时间内到达的顾客数。根据以上建立的模型，我们可以使用Lingo软件计算出系统的平均等待时间，平均逗留时间，平均队列长度，等系统指标，从而可以对问题进行系统分析。LINGO中的相关函数及相关参数计算公式1.顾客等待概率的公式：waitP=@peb(load,S)（10）其中S是服务台或服务员的个数，load是系统到达负荷，即load=λ/μ=R*T,式中R表示λ,T表示1/μ,R表示λ,在下面的程序中，因此，R或λ是顾客的平均到达率，μ是顾客的平均被服务数，T就是平均服务时间.2.顾客的平均等待时间公式：qwaitTW=PSload（11）其中T/(S-load)是一个重要指标，可以看成一个“合理的长度间隔”。注意，当load→S时，此值趋于无穷。也就是说，系统负荷接近服从器的个数时，顾客平均等待时间将趋于无穷.当loadS时,上式Wq无意义。其直观的解释是：当系统负荷超过服从器的个数时,排队系统达不到稳定的状态,其队将越排越长.3.系统中顾客的平均逗留时间1sqWW（12）4.系统中顾客的的平均队长ssLW（13）5.系统中顾客的的平均等待队长nt5.1单人体检最优模型假设每个项目单位时间内接受体检的人数相同，即参数就有相同的值，而每个体检项目由于其执行的复杂程度的不同，例如，胸透，核磁共振等项目所耗费的时间要多于测体重，视力所耗费的时间，因此，参数u的取值不相同。要为单名体检者安排最优方案，我们就只需要考虑到其所需要体检的具体项目，其他项目不再考虑反之内。对于这个M/M/S系统，我们可以将其看成n个并立案的M/M/1系统。由于体检人员的到达率符合Possion分布，根据已知的和u的值，我们可以用Lingo软件计算出qW和qL的值。例如当每小时到达人数为8人，每小时可以体检的人数为9人时，qW=53.33min，qL=7.11人。体检项目1234N服务时间1u2u3u4unu到达时间平均等待时间q1Wq2Wq3Wq4WqnW平均队列长1qL2qL3qL4qLqnL度设检查完n个项目所耗费的时间为nt，要得到最优检查路线就是要求出nt的最小值，因此我们需要研究nt与平均队列长度，平均等待时间，以及服务时间之间的关系。（1）1t表示检查完第一个项目所花费的是时间，在第一个项目的检查中，等待时间的期望，即为q1W，检查的时间为1u，1t=1u+q1W。（2）2t表示检查完第二个项目所花费的是时间，在第一个项目的检查中，花费的时间为1t，在此期间内，项目二的队列又有所增加，由于体检者的到达人数服从possion分布，在1t时间内到达的人数为1t，加上最初队列的长队，即2qL，队列的总长度为1t+2qL，项目二的检查时间为2u，因此完成前两个检查项目所花费的时间为2u+2u（1t+2qL）=2t。（3）nt表示检查完第n个项目所花费的是时间，在前n个项目的检查中，花费的时间为1nt，在此期间内，项目n的队列又有所增加，由于体检者的到达人数服从possion分布，在1t时间内到达的人数为1nt，加上最初队列的长队，即qnL，队列的总长度为1nt+qnL，项目n的检查时间为nu，因此完成前两个检查项目所花费的时间为nu+nu（1nt+qnL）=nt。根据实际情况的与u的值，编写程序，计算以不同的排队顺序所要花费的时间长短，从中找到最短时间。以以下数据为例：体检项目体重胸透视力体检速度201015到达人数888根据上面的数据可以计算出每个项目的W_Q及L_Q如下：体检项目体重胸透视力W_Q0.3333333E-010.40000000.7619048E-01L_Q0.26666673.2000000.6095238则由上式计算出六种不同排队方式所耗费的时间如下：体检顺序1t2t3t13.7828.1521.0423.788.3716.13319.21