第十章：弯曲强度和刚度

11用截面法作梁的内力图2梁的应力与强度条件3梁的变形第九章梁的平面弯曲2第九章梁的平面弯曲承受弯曲作用的杆，称为梁。轴向拉压—内力为轴力。如拉、撑、活塞杆、钢缆、柱。杆件：某一方向尺寸远大于其它方向尺寸的构件。直杆：杆件的轴线为直线。杆的可能变形为：轴向拉压弯曲扭转扭转—内力为扭矩。如各种传动轴等。(轴)弯曲—内力为弯矩。如桥梁、房梁、地板等。(梁)概述返回主目录3梁的分类平面问题，梁受三个约束，都是静定梁。平面弯曲悬臂梁简支梁Fq外伸梁M梁有纵向对称面，且载荷均作用在纵向对称面内，变形后梁的轴线仍在该平面内，称为平面弯曲。纵向对称面梁的横截面都有对称轴集中力，集中力偶，分布载荷返回主目录4截面法求内力的步骤：求约束反力截取研究对象受力图，内力按正向假设。列平衡方程求解内力，负号表示与假设反向内力右截面正向左截面正向微段变形（正）内力的符号规定yx左上右下，FQ为正左顺右逆，M为正xFSMMFS顺时针错动FS向上凹M9.1用截面法作梁的内力图返回主目录5例1求悬臂梁各截面内力并作内力图。解：1）求约束力。画受力图。由平衡方程得：FAx=0;FAy=F;MA=Fl2）求截面内力。截面x处内力按正向假设，在0xl内，有平衡方程：SFy=FAy-FS=0SMC(F)=MA+M-FAyx=0得到：FS=F；M=-F(l-x)xFSo+F剪力图xMo_Fl弯矩图ABlFMAFAyFAxcMFSFAyAxMA3)画内力图。悬臂梁在固定端A处弯矩值最大。6例2求外伸梁AB的内力。解：1）求约束反力：受力如图。2)截面法求内力(取坐标如图)0xa:aaaAB3F45yx0FFAyFAxFB有平衡方程：SMA(F)=2aFBcos45+Fa-3Fa=0FB=F2SFx=FAx-FBsin45=0FAx=FSFy=FAy+FBcos45-F-3F=0FAy=3FMFSxFFN0FN=0;FS=-F;M=-Fx7例2求外伸梁的内力。ax2a:2ax3a:2)截面法求内力0xa:FN=0;FS=-F;M=-FxaaaAB3F45yx0F3FFFBMFSxFFN0MFSxFFN03FFMFSxFFN03FF3FFN=-F；FS=3F-F=2FM=3F(x-a)-Fx=F(2x-3a)FN=-F；FS=3F-F-3F=-FM=3F(x-a)-Fx-3F(x-2a)=F(3a-x)8内力方程：截面法给出的描述内力与截面位置关系。3)画内力图：内力图：按内力方程绘出各截面内力的图。ax2a:FN=-F；FS=2FM=F(2x-3a)0xa:FN=0;FS=-F;M=-Fx2ax3a:FN=-F；FS=-FM=F(3a-x)3PB45x0FFAxFAyFBAMFaFa+-x2F+-FS-FFx-FNFx9作梁的内力图的一般步骤求约束反力截取研究对象受力图列平衡方程求解内力画内力图静力平衡方程载荷突变处分段。内力按正向假设。矩心取截面形心。内力方程图形应封闭。aaaAB3F45yx0FFAyFAxFBxF0MFSFN101）承受弯曲作用的杆，称为梁。2）平面弯曲：载荷均作用在梁的纵向对称面内。3）梁的内力有剪力、弯矩。作内力图一般步骤：求约束反力截取研究对象受力图列平衡方程内力方程画内力图必须掌握小结11概念回顾:1.平面弯曲梁有纵向对称面，且载荷均作用在纵向对称面内，变形后梁的轴线仍在该平面内，称为平面弯曲。纵向对称面Fq9.2梁的应力与强度返回主目录12概念回顾:2.纯弯曲纯弯曲:梁横截面上的内力只有弯矩。梁的横截面上既有弯矩，又有剪力。FFM0aaFSFS=0F一般情况简单特例FS=0FSMM=FaM=M0M139.2梁的应力与强度问题:平面纯弯曲梁横截面上的正应力?讨论平面纯弯曲梁。横截面上只有弯矩。弯矩分布在横截面上，xMMys只能是正应力。z14讨论矩形截面纯弯曲梁。1.弯曲变形实验现象AA、BB仍保持直线，但相对地转过一角度d。aa缩短，bb伸长，变为弧形，但仍与AA、BB线正交。2.弯曲的基本假设—平面假设梁的横截面在弯曲变形后仍保持为平面，且仍与梁的轴线垂直。AABBaabbMMABBAaabbdMM变形后9.2.1弯曲变形几何分析返回主目录153.推论：若梁由纵向纤维组成，则其变形是伸长或缩短。凹部纤维aa缩短，凸部bb纤维伸长，总有一层纤维既不伸长又不缩短，此层称为中性层。2.弯曲的基本假设—平面假设梁的横截面在弯曲变形后仍保持为平面，且仍与梁的轴线垂直。有中性层存在AABBaabbMM中性层(面)中性轴中性层(面)中性层与横截面的交线称为中性轴。ABBAaabbdMM变形后16横截面上各点的正应力s的大小与该点到中性轴的距离y成正比。中性轴以上，s为负，是压应力，纤维缩短。中性轴以下，s为正，是拉应力，纤维伸长。到中性轴距离相同各处，应力相等。中性轴上，s=0，截面上、下缘，s=s。maxMxyz中性轴smax压smax拉17截面对z轴的惯性矩I的计算：z矩形截面：ozybhydy取微面积如图dA=bdyoyzd圆形截面：取微面积如图。()222IIdAzydAIyzAArr+=+==由对称性知：yzrdA=AzdAyI212322hbdybydAyIh/2Az===-h/2642/4dIIIzypr===18结论：s=My/Iz中性轴上，s=0，截面上、下缘，s=s。maxMyxsmax压smax拉19按绝对值计算应力s的大小，依据弯曲后的拉压情况判断正负。弯曲正应力公式：横截面有对称轴的平面弯曲。载荷作用在纵向对称面内；梁的高跨比h/L0.25；适用范围：Myxsmax压smax拉MzIMy=s9.3平面弯曲的最大正应力及强度条件返回主目录20最大弯曲正应力:y=y时，s=s，故maxmaxW=I/y，是抗弯截面模量。(如表10-1或手册)zzmax梁的弯曲强度条件：][maxss=zWM抗力作用处处均应满足强度条件。若材料拉压性能不同，则][][maxmax压压拉拉ssssMyxsmax压smax拉MzzWMIMy==maxmaxs21例9.9空心矩形截面梁的横截面尺寸H=120mm，B=60mm，h=80mm，b=30mm，若[s]=120MPa，试校核梁的强度。解：1）作FS、M图。固定端弯矩最大，M=qL/2=14.4kN.mmax22)抗弯截面模量Wz查表9-1有：W=H[B-b(h/H)]/6=1.22710m23-43z3）强度校核:L=1.2mOq=20kN/mAxqLFS图xqL/22M图bHBhz[s]=120Mpa强度足够。MPaWMz11710227.1104.1443maxmax===-s22例9.10矩形截面木梁的横截面高宽比h/b=3/2，已知F=15kN，a=0.8m，[s]=10MPaFAFB解：1.求支反力：F=F=3FAB2.作FS、M图。xFSFF2F2FxFaMFaFaFaM=Fa=12kN.mmax4.强度条件：3.注意h/b=3/2，则：W=bh/6=3b/8z23解得：b0.147m150mmxaaaaaaFF2F2F63max310101012][83==sMbWz23W=bh/6=3b/8z23讨论一：试设计木梁不同截面的尺寸。M=Fa=12kN.m，[s]=10MPa，maxbh/b=3/2h/b=1hbh/b=2/3Wz=b3/6W=2b/27z337249mm232413mm242757mm2面积重量:87%100%115%hbbb强度条件：][83max3sMbb=147h=220.5mmb==h=193mm强度条件：][6max3sMb强度条件：b=253h=169mm][272max3sMb截面设计应尽可能使材料远离中性轴。OMmaxs24纯弯曲内力：弯矩M横截面上：正应力s横力弯曲M;剪力FSs：剪应力t?9.3.5矩形截面梁的弯曲剪应力25矩形截面梁的弯曲剪应力为：yzbh截面上t与FS平行，指向相同。hb时，截面上y相同处t相同。y=h/2处，t=0。±tmax弯曲梁中有剪应力。纵向面上的剪应力t由剪应力互等定理确定。t是y的函数，呈抛物线分布，最大剪应力在中性轴处且等于平均剪应力的1.5倍。截面上t与Q平行，指向相同。y=h/2处，t=0。±中性轴处，y=0，Iz=bh/12，故有：剪应力强度条件：mzbhFSIFShtt5.12382max===][maxttFSt)4(222yhIFSSzz-=t26讨论二、矩形截面梁AB受力如图。[s]=150MPa，[t]=60MPa，若取h/b=2，试设计其尺寸。解：1.求反力，作FQ、M图。2.按弯曲正应力设计：AB1m10kN4kN.m1mFBMBxFS10kNxM4kN.m6kN.m][6/2maxmaxss=bhM6331015010664b2.按弯曲剪应力设计：][23Smaxmaxtt=bhF一般按正应力设计，再校核剪切强度。mb182.06321060410103bmb035.0271.梁横截面上的正应力s呈线性分布，其大小为s=My/Iz正负由弯曲后的拉压情况判断。2.中性轴过截面形心，该处正应力s等于零。][maxmaxss==zzWMIMy3.梁的弯曲强度条件：I为截面对z轴的惯性矩，W为抗弯截面模量。zz4.矩形截面梁的弯曲剪应力呈抛物线分布，最大剪应力在中性轴处且等于平均剪应力的1.5倍。CMymax压smax拉syzbhFSttmax=3FS2bh小结28杆的拉压9.4.1梁的挠度和转角梁在xy平面内弯曲。挠曲线：弯曲后梁的轴线。伸长或缩短DL轴的扭转单位扭转角q梁的弯曲变形如何描述？xyo挠曲线挠度y：梁弯曲后各截面形心的垂直位移，y=y(x)。ccx挠度转角q：各截面转过的角度(角位移)，q=q(x)。即x处挠曲线的切线与x轴的夹角。qq转角y为正q截面正9.4梁的变形返回主目录29再讨论:线性叠加方法在线弹性小变形条件下，s=Ee，变形与载荷间有线性关系。图(a)=图(b)+图(c)l/4xyBAFlCFAFBl/2l/4FD(a)xyBAFCFA1FB1l/2(b)l/4xyBAFA2FB2FD(c)若要求图(a)中的yC、qB，有：yC=yC1+yC2;qB=qB1+qB2即可由已知简单情况的解，用叠加方法求复杂载荷情况下的变形。yCyC1yC230已有结果：xyBAabLFLEIbLFabzA6)(+-=qLEIaLFabzB6)(+=q转角情况一：xyBAFCl/2la=b=l/2F(l2/4)(3l/2)A1lEIz6-=q-=EIz483Fl2F(l2/4)(3l/2)B1lEIz6=q=EIz483Fl2挠度4/3(6222/LbLEIFbL/2yzLx-==))4/322ll/4y1x=l/2-(6lEIFl2/4z=Fl348EIz=-31已有结果：xyBAabLFLEIbLFabzA6)(+-=qLEIaLFabzB6)(+=q转角情况二：xyBAFD3l/4la=3l/4b=l/4F(3l2/16)(5l/4)A2lEIz6-=q-=EIz1285Fl2挠度4/3(6222/LbLEIFbL/2yzLx-==))4/322ll/16y2x=l/2-(6lEIFl2/8z=11Fl3768EIz=-F(3l2/16)(7l/4)B2lEIz6=q=EIz1287Fl232情况一：xyBAFCl/2l情况二：xyBAFD3l/4l叠加后得到：l/4xyBAFCl/2l/4FDlA1=q-EIz483Fl2B1=qEIz483Fl2y1CFl348EIz=-A2=q-EIz1285Fl2y2C11Fl3768EIz=-B2q=EIz1287Fl2A=q-EIz38439Fl2B=qEIz38445Fl2yC27Fl3768EIz=-返回主目录33除保证梁的强度条件外，还可能要求变形不能超过允许的限度。即需满足梁的刚度条件：；[