(实验班课后巩固)特殊的平行四边形(矩形、菱形、正方形)

jerry1特殊的平行四边形【本讲主要内容】特殊平行四边形：矩形、菱形、正方形的概念、性质和判定【知识掌握】【知识点精析】平行四边形与各种特殊的平行四边形之间的联系和区别，是本章的难点，因为各种特殊平行四边形图形交错，概念容易混淆，常会出现“张冠李戴”的现象，也会出现用错、多用或少用条件的错误.突破这一难点的关键是学好概念，分清这些特殊平行四边形和一般平行四边形之间及特殊平行四边形之间的从属关系.1.学概念：抓“限制”，画树图课本上，矩形、菱形、正方形都是在平行四边形的前提下定义的，也就是说，对平行四边形增加不同的限制条件、就分别产生了矩形、菱形和正方形的概念.下面我们把对平行四边形的限制，画成简明的“树图”（形状象树枝分杈那样的图），把矩形、菱形的定义、性质和判定条件都综合在树图上（而把矩形、菱形的定义、性质、判定条件综合起来，就得到正方形的定义、性质和判定条件），一目了然.有一组邻边相等并且有一个是直角有一组邻边相等对角线互相垂直有一个角是直角有一组邻边相等有一个角是直角两条对角线相等矩形平行四边形菱形正方形2.学性质：抓“特性”，识共性由于矩形、菱形和正方形都是特殊的平行四边形，所以它们具有平行四边形的一切性质（即共性），除此之外，还具有自己的特性.矩形的特性对角线相等四个角都是直角菱形的特性对角每一条对角线平分一组对角线互相垂直四条边都相等由于正方形是特殊的矩形和特殊的菱形，所以它具有矩形和菱形的一切性质：jerry2正方形的特性角每条对角线平分一组对对角线互相垂直对角线相等四条边都相等四个角都是直角这里提醒同学们注意：学习矩形、菱形和正方形的性质时，要抓住“特性”，否则，就无法应用“特性”去解决矩形、菱形和正方形的问题，但也不要忽视了它们是平行四边形，仍具有一般平行四边形的性质（即共性），忘了“共性”，它们的性质也就不全了，如菱形的对角线性质，应是“特性+共性”；“对角线互相垂直平分，并且每一条对角平分一组对角”；如正方形的对角线的性质，由“特性+共性”，就得到：“对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角”.在解题时，也要强调“共性”，否则容易造成思维障碍。3.学判定：抓“起点”，凑条件矩形、菱形、正方形最基本的判定方法是它们各自的定义，其它的判定方法都是在定义的基础上推导出来的.因为矩形、菱形、正方形，作为特殊的平行四边形，它们可以在平行四边形的前提下定义，同时，矩形、菱形、正方形，也可以作为特殊的四边形，在四边形的前提下定义，不过，要把平行四边形的条件“溶化”进去.所以，矩形、菱形的判定方法由于“起点”不同可以分成两类：一类的“起点”是平行四边形，另一类的“起点”是四边形，而正方形的“起点”有四个——矩形、菱形、平行四边形和四边形.在应用判定方法时切勿搞错了“起点”，而“起点”不同，判定所需的条件也不同.（1）矩形的判定方法：条件结论有一个角是直角的平行四边形（是）矩形对角线相等有三个角是直角的四边形（2）菱形的判定方法：条件结论有一组邻边相等的平行四边形（是）菱形对角线互相垂直四条边都相等的四边形对角线互相垂直平分（3）正方形的判定方法：条件结论有一组邻边相等的矩形（是）正方形对角线互相垂直有一个角是直角的菱形对角线相等有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形对角线相等，且互相垂直四条边都相等，且四个角都相等的四边形对角线相等且互相垂直平分矩形、菱形、正方形的“掌中宝典”jerry3矩形菱形正方形定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形性质定理①四个角都是直角；②对角线相等；③矩形是轴对称图形.①四条边都相等；②对角线互相垂直平分；③每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形.①四条边都相等；②四个角都相等；③对角线相等；④对角线互相垂直平分；⑤每一条对角线平分一组对角；⑥正方形是轴对称图形.判定定理（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）有三个角是直角的四边形是矩形.（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四条边都相等的四边形是菱形；（4）对角线互相垂直平分的四边形是菱形.（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；（2）对角线互相垂直的矩形是正方形；（3）有一个角是直角的菱形是正方形；（4）对角线相等的菱形是正方形.判定定理的表述句型：具有什么特殊性质的某大类图形，是这类图形.典例分类剖析（矩形）如图所示，延长矩形的边CB至E，使CE＝CA，F是AE的中点，求证：BF⊥FD.ABCDEF分析：由∠ABE＝90°，F为AE中点，得BF＝12AE＝AF，易证△ADF≌△BCF，有∠AFD＝∠BFC，又CA＝CE，所以CF⊥AE，即可证得BF⊥FD.证明：因为四边形ABCD是矩形，所以∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝BC，因为F是AE的中点，所以BF＝12AE＝AF，所以∠BAF＝∠ABF，所以∠DAF＝∠CBF.在△ADF和△BCF中，AD＝BC，∠DAF＝∠CBF，AF＝BF.所以△ADF≌△BCF，所以∠AFD＝∠CFB，jerry4又CA＝CE，AF＝BF，所以CF⊥AE，所以∠AFD＋∠DFC＝90°，∠CFB＋∠DFC＝90°，所以BF⊥FD.评析：已知条件中有直角三角形斜边中点，要考虑运用直角三角形斜边中线等于斜边一半构成等腰三角形求解或证明.（菱形）例.已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3∶4，求菱形的面积．分析：如图所示，由菱形的性质可得△OAB是直角三角形，它的两条直角边之比等于菱形的两条对角线之比，再由勾股定理列方程求解．ABCDO解：因为菱形ABCD的周长是40cm，所以AB＝10cm．因为OA＝12AC，OB＝12BD，AC∶BD＝4∶3，所以OA∶OB＝4∶3．设OA＝4x，OB＝3x，由勾股定理，得（4x）2＋（3x）2＝102，解得x＝2．那么OA＝8，OB＝6．所以AC＝16，BD＝12，S菱形ABCD＝12AC·BD＝12×16×12＝96cm2．评析：由四边形的两条对角线和一边组成的三角形（如图中△OAB）是我们经常考查的对象．特殊的四边形对应特殊的三角形．矩形、菱形、正方形对应的三角形分别是等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形．掌握这一点，对于解决四边形的问题是大有益处的．（正方形）例.如图所示，正方形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，菱形AEFC，EH⊥AC，垂足为H，求证：EH＝12FC.ABCEFHDO分析：要证EH＝12FC，EH在矩形OBEH中，得EH＝OB＝12BD，而FC是菱形AEFC的边，CF＝AC＝BD，所以EH＝12FC，问题的关键是要证四边形OBEH是矩形.证明：由正方形ABCD得AC＝BD，AC⊥BD，∠BOC＝90°.又因为EH⊥AC，所以EH∥OB.又因为四边形AEFC是菱形，得AC＝CF，AC∥EF，所以OH∥BE.因此四边形OBEH是矩形，因此EH＝OB＝12BD＝12AC＝12FC.评析：综合考查了正方形、菱形的性质和矩形的判定方法.【解题方法指导】例1.已知：△ABC中，AB=AC，M为BC的中点，MG⊥AB，MD⊥AC，GF⊥AC，DE⊥AB，垂足分别为G、D、F、E，GF、DE相交于H.试判断四边形HGMD的形状，并证明你的结论.解：如图所示，∵MG⊥AB，DE⊥ABjerry5AEFHGDBMC∴MG//DE同理MD//GF∴四边形HGMD为平行四边形又∵AB=AC，M为BC的中点，∴∠B=∠C，BM=CMCMDRtBMGRt∴MG=MD∴四边形HGMD是菱形.例2.在四边形ABCD中，AB=CD，E、F、G、H分别为AD、BC、BD、AC的中点.求证：EF⊥GH.证明：如图所示，连结EG、GF、FH、HE.BDCFGHAE∵在△ABD中，E、G分别为AD、BD的中点，∴EG//AB，AB21EG（三角形中位线定理）同理HF//AB，AB21HF∴EG//HF，EG=HF∴四边形EGFH是平行四边形.∵CDABCD21GFAB21EG，，∴EG=GF，∴平行四边形EGFH是菱形.∴EF⊥GH（菱形的对角线互相垂直）.注意：画图时，不要把一般四边形ABCD画成特殊四边形.例3.已知两边长为a的正方形ABCD、OKPQ，O为正方形ABCD的中心.求证：不论OKPQ在什么位置，两正方形重叠部分为定值.分析：既然要证明重叠部分面积与OKPQ位置无关，可将OKPQ绕O点旋转至特殊位置，求出定值后再证明其面积与在一般位置时面积相等即可.证明：将正方形OKPQ绕O点旋转至图中正方形OMSH位置，jerry6正方形OMSH与正方形ABCD重叠部分为△OBC，S△OBC=4a2，又∠OBE=∠OCF，∠BOE=90°－∠EOC=∠COF，OB=OC，OCFOBE，OECOCFOECOBEOBCSSSSS，即正方形OKPQ与正方形ABCD重叠部分面积为4a2.点评：本例是从事物的联系、变化中探索不变量，找到解决问题的关键，使问题迎刃而解，基本思路是“一般问题→特殊化→探索解法→解决问题”.【考点突破】【考点指要】特殊平行四边形的定义、性质和判定在中考说明中是C级知识点，它常与平行四边形、梯形、全等三角形综合在一起以选择题、填空题、解答题和论证题等题型出现在中考题中，大约占有4—8分左右，近几年，这部分的考题从以往的论证题转向动手操作、发现、猜想和探究的开放题.【典型例题分析】例1.（2006年海南省中考题）如图所示，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点（点G与B、C不重合），AE⊥DG于E，CF//AE交DG于F，（1）在图中找出一对全等三角形，并加以证明；（2）求证：AE=FC+EF.EFBCADG（1）DFCAED证明：∵四边形ABCD是正方形∴AD=DC，∠ADC=90°又∵AE⊥DG，CF//AE∴∠AED=∠DFC=90°∴∠EAD+∠ADE=∠FDC+∠ADE=90°∴∠EAD=∠FDCDFCAED（2）DFCAEDFCEDDFAE，∵DF=DE+EF∴AE=FC+EF例2.（2006年山东省青岛市中考题）已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG//DB交CB的延长线于G.（1）求证：CBFADE；（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论.jerry7ABGEFDC1234（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠1=∠C，AD=CB，AB=CD∵点E、F分别是AB、CD的中点，CD21CFAB21AE，CBFADECFAE（2）当四边形BEDF是菱形时，四边形AGBD是矩形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC∵AG//BD∴四边形AGBD是平行四边形∵四边形BEDF是菱形∴DE=BE∵AE=BE∴AE=BE=DE∴∠1=∠2，∠3=∠4∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°∴2∠2+2∠3=180°∴∠2+∠3=90°即∠ADB=90°∴四边形AGBD是矩形.例3.（2006年贵州省毕节地区中考题）如图所示，四边形OABC与ODEF均为正方形，CF交OA于P，交DA于Q.（1）求证：AD=CF.（2）AD与CF垂直吗？说说你的理由.（3）当正方形ODEF绕O点在平面内旋转时，（1），（2）的结论是否有变化（不需说明理由）.DQEFPCABO（1）证明：∵四边形OABC与ODEF均为正方形∴AO=CO，DO=FO，∠AOC=∠DOF=90°∴∠DOF+∠FOA=∠AOC+∠FOA即：∠AOD=∠COFCOFAOD∴AD=CF（2）AD⊥CF，理由为：COFAOD∴∠OCF=∠OAD∴∠APQ+∠OAD=∠OCF+∠CPO=90°∴∠AQP=90°即：AD⊥CF（3）当正方形