函数的凹凸性

函数的凹凸性一、曲线的凹凸性与拐点一、曲线的凹凸性与拐点如图，观察抛物线，它们在区间[0，1]上都是单调增加的，但弯曲的方向不一样。xyxy,2xoy11还需要考察曲线的弯曲方向及扭转弯曲方向的点。仅知道他们的单调性是不够的，这说明，在研究函数的图形时，二、凹凸与拐点的定义定义:若曲线段向上（下）弯曲，则称之为凹（凸）的。xyoxyo1x2x)(xfy图形上任意弧段（）位于所张弦的上方。xyo)(xfy1x2x图形上任意弧段（）位于所张弦的下方。ABC问题:如何用准确的数学语言描述曲线的凹凸性?的中点的中点二、曲线的凹凸性与拐点问题:如何研究曲线的弯曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy图形上任意弧段位于所张弦的上方xyo)(xfy1x2x图形上任意弧段位于所张弦的下方ABC221xx221xx2)()(21xfxf2)()(21xfxf)2(21xxf)2(21xxf)(1xf)(1xf)(2xf)(2xf定义.设函数在区间I上连续,(1)若恒有则称图形是凹的;(2)若恒有则称连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点.图形是凸的.yox2x1x221xxyox1x221xx2xyox二、曲线的凹凸与拐点【知识背景】函数的凹凸性是高等数学的数学分析中的研究函数的一个概念，是用来研究函数图象的变化趋势的。【高考联接】在高考中常借助函数的凹凸性来考查基本初等函数的图象及性质，这一知识点常渗透在与函数的图象与性质的选择填空题中。经常与高中所学的函数、三角、不等式知识相结合。此类问题的常规处理思路有数形结合法、导数分析法、增量分析法、估猜法等。典例1.（05湖北卷）在xyxyxyyx2cos,,log,222这四个函数中，当1021xx时，使2)()()2(2121xfxfxxf恒成立的函数的个数是（B）A．0B．1C．2D．3解析:答案为B。要使2)()()2(2121xfxfxxf恒成立，由函数值的定义及函数图象即需要函数在01x内为凸函数。而22,xyyx在01x内为凹函数，cos2yx在01x内先凸后凹函数。只有2logyx在01x内为凸函数。所以答案为B。点评:只要能作出这四个初等函数的草图,马上根据函数的凹凸性可直接作结论.典例2.（05北京理工科13）．对于函数)(xf定义域中任意的)(,2121xxxx，有如下结论：①)()()(2121xfxfxxf；②)()()(2121xfxfxxf；③;0)()(2121xxxfxf④.2)()()2(2121xfxfxxf当xxflg)(时，上述结论中正确结论的序号是.【详解】对于①②可以用()lgfxx直接验证即可②满足题意对于③④如右图所示：对于()lgfxx图象上任意不同两点1122(,())(,())AxfxBxfx1212()()0ABfxfxkxx显然成立（可以用1'()0(0)ln10fxxx）故③正确再有AB中点C（1212()(),)22xxfxfx过C作DCx轴交()fx于D（12,)2DxxyD在()fx上有：1212()()()22DCxxfxfxyfy故④不正确点评:本题主要考查了()lgfxx函数运算性质以及直线斜率应用,题目较综合.判断④不正确也可直接利用函数图象的上凸性作结论.定义在R上的函数)(xf满足：如果对任意Rxx21,都有)()(21)2(2121xfxfxxf则称函数)(xf是R上的凹函数，已知二次函数Raxaxxf()(2且)0a，（1）求证：当0a时函数)(xf是凹函数；（2）如果1,0x时1)(xf，试求实数a的范围。解析：（1）对任意的0,,21aRxx，)2(2)()(2121xxfxfxf＝)2(212)2(2212221222121221222121xxxxaaxaxxxxxaxaxxax＝0)(21221xxa，)()(21)2(2121xfxfxxf故函数)(xf是凹函数。（2）由111)(11)(2xaxxfxf①当0x时，Ra，当]1,0(x时①即1122xaxxax恒成立即41)211(1141)211(112222xxxaxxxa恒成立，当]1,0(x时11x，当11x时，41)211(2x取得最大值2，41)211(2x取得最小值002a结合0a，)0,2[a。1、指数函数)1,0(aaayxxayxay)1()1(a)1,0(xey指数函数、对数函数、幂函数等基本初等函数的凹凸性。2、对数函数)1,0(logaaxyaxylnxyalogxya1log)1(a)0,1(3、幂函数)(是常数xyoxy)1,1(112xyxyxy1xy6、双曲函数由构成.2sinhxxeex双曲正弦xycoshxysinh),,(:D奇函数.2coshxxeex双曲余弦),,(:D偶函数.xey21xey21xxee,xxxxeeeexxxcoshsinhtanh双曲正切奇函数,),(:D有界函数,xxxxeeeexxxchshth奇函数有界双曲正切定义域：),(单调递增xxxxeeeexxxshchcoth双曲余切奇函数定义域：),(xycothxyth双曲函数常用公式;sinhcoshcoshsinh)sinh(yxyxyx;sinhsinhcoshcosh)cosh(yxyxyx;1sinhcosh22xx;coshsinh22sinhxxx.sinhcosh2cosh22xxx例9求函数的反函数.)(21)(xxeexf解则令),(21xxeey0122xxyee12yyex(舍去“-”))1ln(2yyx将字母与互换,得yx)1ln(2xxy)1ln()(21xxxf即