类周期函数

类周期函数例1：利用类周期性求值1、若函数)(xf对于任意x都有)()1()2(xfxfxf，且2lg3lg)1(f，5lg3lg)2(f，则f(2019)=（）AA、1B、-2C、2lg3lgD、-12.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(2x)=2f(x)，当x∈[1,2)时，f(x)=x2，则f(10)=______.252变式训练1.已知定义在,0上的函数)(xf满足：对一切正数x均匀)(3)3(xfxf成立，且当31x时，21)(xxf，则)100(f。192、定义在R上的函数)(xf满足)(3)2(xfxf，当2,0x时，xxxf2)(2，则)(xf在2,4x上的最小值为（）AA、91B、91C、31D、31小结：)(xf满足)()(xfaxf处理方法：将)(xf平移a个单位，再将纵坐标扩大为原来的倍。例2：类周期函数与零点的结合1、已知函数)(xf满足条件：①定义为R；②)(2)2(,xfxfRx有；③当1,1x时，xxf2cos)(，则方程xxf4log)(在区间10,10内的解的个数是（）CA、20B、12C、11D、102、已知函数)(xf满足条件：①定义为R；②)(2)2(,xfxfRx有；③当2,0x时，222)(xxf，记)8,8(,)()(xxxfxg。根据以上信息，可以得到函数)(xg的零点个数为（）BA、15B、10C、9D、8例3：类周期性求解析式1.定义在R上的函数)(xf满足)(2)2(xfxf，当]2,0[x时，xxxf2)(2，则当]2,4[x时，函数)(xf的解析式_______________．例4:类周期函数相关的求参数取值范围1.若集合M满足下列性质的函数)(xf的全体，存在非零实数T，对任意的Rx，有)()(xTfTxf成立，若函数Mkxxfsin)(，则实数k的取值范围是。2.设f(x)=sin(ωx+φ)(ω0,φ∈R),若存在T(T0),使恒f(x+T)=Tf(x)成立,则ω的范围为解:取x1,使得f(x1)=1,则f(x1+T)=Tf(x1)=T|T|=|f(x1+T)|≤1;取x2,使得f(x2+T)=1,则f(x2+T)=Tf(x2)=11=|Tf(x2)|≤|T||T|=1(T0)T=-1f(x-1)=-f(x)f(x+1)=-f(x)f(x+2)=f(x)2是函数f(x)的周期,又因f(x)的最小正周期=2,所以存在正整数k,使得k×2=2ω=kπ,但当k=2n时,f(x)=sin(2nπx+φ)f(x+1)=sin(2nπ+2nπx+φ)=sin(2nπx+φ)=f(x),不满足f(x+1)=-f(x),故ω=(2n+1)π(n∈N).3.若函数y=f(x),x∈M,对于给定的非零实数a,总存在非零常数T,使得定义域M内的任意实数x,都有af(x)=f(x+T)恒成立,此时T为f(x)的类周期,函数y=f(x)是M上的a级类周期函数。若函数y=f(x)是定义在区间[0,+∞)内的2级类周期函数,且T=2,当x∈[0,2)时,f(x)=函数g(x)=𝟏𝟐x2-x+m.若∃x1∈[6,8],∃x2∈[0,+∞),使g(x2)−f(x1)⩽0成立,则实数m的取值范围是例5：类周期函数与数列的结合1、【2011四川理，11】已知定义在0,上的函数()fx满足()3(2)fxfx，当0,2x时，2()2fxxx.设()fx在22,2nn上的最大值为(*)nanN，且na的前n项和为nS，则limnnS()．（A）3（B）52（C）2（D）32答案：D解析：由题意1(2)()3fxfx,在[22,2]nn上，2111()111331,()1,2,(),3,()()()lim1333213nnnnnnfxnfxnfxaSS例6：其它类周期函数1、已知函数()fx满足：①对任意(0,)x，恒有(2)2()fxfx成立；②当(1,2]x时，()2fxx.若()fa)2020(f，则满足条件的最小的正实数a是.2、【2011福建理】已知定义域为0（，）的函数f(x)满足：①对任意x0（，），恒有f(2x)=2f(x)成立；当x]（1，2时，f(x)=2-x。给出如下结论：①对任意mZ，有mf(2)=0；②函数f(x)的值域为[0，）；③存在nZ，使得nf(2+1)=9；④“函数f(x)在区间(,)ab上单调递减”的充要条件是“存在Zk，使得1(,)(2,2)kkab”。其中所有正确结论的序号是。【答案】①②④【解析】○10)2(2)2(2)22()2(111ffffmmmm，正确；○2取]2,2(1mmx，则]2,1(2mx；mmxxf22)2(，从而xxfxfxfmmm12)2(2)2(2)(，其中，,2,1,0m，从而),0[)(xf，正确；○3122)12(1nmnf，假设存在n使9)12(nf，即存在..,,21tsxx102221xx，又，x2变化如下：2,4,8,16,32，……，显然不存在，所以该命题错误；○4根据前面的分析容易知道该选项正确；综合有正确的序号是○1○2○4.3、已知定义在,1上的函数2),2(2121,2384)(xxfxxxf，给出下列结论，其中正确的有。①函数)(xf的值域为4,0；②关于x的方程)(,)21()(*Nnxfn有42n个不等实根；③当nnx2,21时，函数)(xf的图像与x轴围成的面积2S；④存在8,10x，使得不等式6)(00xfx成立。7.(2010年广东高考试题)已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)=kf(x+2).其中常数k为负数,且f(x)在区间[0,2]上有表达式f(x)=x(x-2).(Ⅰ)求f(-1),f(2.5)的取值;(Ⅱ)写出f(x)在[-3,3]上的表达式,并讨论函数f(x)在[-3,3]上的单调性;(Ⅲ)求出f(x)在[-3,3]上的最小值与最大值,并求出相应的自变量的取值.这道题类周期函数问题,解:(Ⅰ)由f(x)=kf(x+2)f(-1)=kf(1)=-k;又由f(x)=kf(x+2)f(x+2)=k1f(x)f(2.5)=k1f(0.5)=-k43;(Ⅱ)①当x∈[0,2]时,f(x)=x(x-2);②当x∈[-2,0]时,x+2∈[0,2]f(x)=kf(x+2)=k(x+2)x=kx(x+2);③当x∈[-3,-2]时,x+2∈[-1,0]f(x)=kf(x+2)=k×k(x+2)(x+4)=k2(x+2)(x+4);④当x∈[2,3]时,x-2∈[0,1]f(x)=k1f(x-2)=k1×(x-2)(x-4);由k0知,f(x)在[-3,-2]、[-2,-1]、[1,2]和[2,3]上为增函数,在[-1,0]和[0,1]上为减函数;(Ⅲ)由函数f(x)在[-3,3]上的单调性可知,fmin(x)=min{f(-3),f(1)}={-k2,-1};fmax(x)=max{f(-1),f(3)}=max{-k,-k1};①当k=-1时,fmin(x)=f(-3)=f(1)=-1;fmax(x)=f(-1)=f(3)=1;②当k-1时,fmin(x)=f(-3)=-k2;fmax(x)=f(-1)=-k;③当-1k0时,fmin(x)=f(1)=-1;fmax(x)=f(3)=-k1.