结构可靠度分析的一次二阶矩方法

第三章结构可靠度分析的一次二阶矩方法一次二阶矩就是一种在随机变量的分布尚不清楚的情况下，采用只有均值和标准差的数学模型去求解结构可靠度的方法。由于该法将功能函数Z=g(x1,x2,……,xn)在某点用泰勒级数展开，使之线性化，然后求解结构的可靠度，因此称为一次二阶矩.。一次二阶矩法是近似计算可靠度指标最简单的方法,只需考虑随机变量的前一阶矩(均值)和二阶矩(标准差)和功能函数泰勒级数展开式的常数项和一次项,并以随机变量相对独立为前提,在笛卡尔空间内建立求解可靠指标的公式。因其计算简便,大多情况下计算精又能满足工程要求,已被工程界广泛接受。3.1均值一次二阶矩法早期结构体系可靠度分析中，假设线性化点x就是均值点m,而由此得线性化的极限状态方程,在随机变量X(i=1,2,,n)统计独立的条件下,直接获得功能函数z的均值mZ及标准差Z,由此再由可靠指标的定义求取=mZ/Z该方法对于非线性功能函数,因略去二阶及更高阶项,误差将随着线性化点到失效边界距离的增大而增大,而均值法中所选用的线性化点(均值点)一般在可靠区而不在失效边界上,误差较大。3.2中心点法中心点法是结构可靠度研究初期提出的1种方法,其基本思想是首先将非线性功能函数在随机变量的平均值(中心点)处进行泰勒展开并保留至一次项,然后近似计算功能函数的平均值和标准差,进而求得可靠指标。该法的最大优点是计算简便,不需进行过多的数值计算，但也存在明显缺陷：1）不能考虑随机变量的分布概型，只是直接取用随机变量的前一阶矩和二阶矩；2)将非线性功能函数在随机变量均值处展开不合理,由于随机变量的平均值不再极限状态曲面上，展开后的线性极限状态平面可能较大程度地偏离原来的极限状态曲面;3)可靠度指标会因选择不同的安全裕量方程而发生变化;4)当基本变量不服从正态或对数正态分布时,计算结果常与实际偏差较大；5）对相同力学含义但数学表达式不同的极限状态方程求得的结构可靠指标值不同。如对矩形截面钢梁，可有两种极限状态方程：一种是21/60sZbhM，可靠指标111/LLZZ;另一种是226/()0sZMbh，可靠指标222/LLZZ。尽管这两个极限状态方程力学含义是等价的，但除,,sMbh和均服从对数正态分布的情况外，由这两个极限状态方程求得的可靠指标并不相等。故该法适用于基本变量服从正态或对数正态分布,且结构可靠度指标β=1～2的情况。3.3验算点法（JC法）在一次二阶矩理论的发展中，哈索弗尔（Hasofer）和林德（Lind）、拉克维茨（Rackwitz）和菲斯莱（Fiessler）、帕洛赫摩（Paloheimo）和汉拉斯（Hannus）等人提出了验算点法。其基本原理是将非正态的变量当量正态化，替代的正态分布函数要求在设计验算点处的累积概率分布函数(CDF)和概率密度函数(PDF)值分别和原变量的CDF值PDF值相等当量正态化后，采用改进一次二阶矩法的计算原理求解结构可靠度指标。作为中心点法的改进,主要有两个特点:1)当功能函数Z为非线性时,不以通过中心点的超切平面作为线性相似,而以通过Z=0上的某一点x3(x31,x32,x33,…,x3n)的超切平面作为线性近似,以避免中心点法的误差;2)当基本变量x3具有分布类型的信息时,将x3分布在x31,x32,x33,…,x3n处以与正态分布等价的条件变换为当量正态分布,这样可使所得的可靠指标β与失效概率pf之间有一个明确的对应关系,从而在β中合理地反映分布类型的影响。该法能够考虑非正态的随机变量,在计算工作量增加不多的条件下,可对可靠度指标进行精度较高的近似计算,求得满足极限状态方程的“验算点”设计值,便于根据规范给出的标准值计算分项系数,以便于工作人员采用惯用的多系数表达式。3.4映射变换法对于结构可靠度分析中的非正态随机变量,映射变换法和JC法类似,都首先将非正态随机变量“正态化”。JC法是将非正态随机变量“当量化”为正态随机变量,而映射变换法是通过数学变换的方法将非正态随机变量变换为正态随机变量。映射变换法少了JC法的当量化过程,但多了映射变换过程,因而二者的计算量基本相当;JC法采用“当量正态化”法,概念上比较直观,而映射变换法在数学上更严密一些,所以结构可靠度分析方法的进一步发展就通过映射变换法将非正态随机变量正态化。3.5实用分析法帕洛赫摩（Paloheimo）和汉拉斯（Hannus）1972年在赫尔辛基工程力学学术研讨会上曾提出甲醛分位值方法。该法引用灵敏系数、加权分位值等概念，用连锁规则法（Chain-RuleMethod）计算极限状态方程1212(,,,...,)0...nnZgXXXXXX中,，,的验算点值及设计参数值，计算比较繁冗。在该法中,当量正态化的方法是把原来的非正态变量xi按对应于pi或1-pi具有相同分位值的条件下,用当量正态变量xi代替,并要求当量正态变量的平均值与原来的非正态变量xi的平均值相等。与JC法相比,该法计算简单而精度相差不多。3.6设计点法将结构功能函数z=g(x1,x2,…,xn)在某点M展开成泰勒级数作线性化处理,随点M的选取方式的不同,分为中心点法和验算点法两种方法。而设计点法就是在此基础上进行改进的一种算法。此方法的设计点为:x3=E(x)±2σ(x),因工程技术人员按设计值进行设计,故设计点近似满足极限状态方程。本方法计算简单明了,无需迭代即可得到令人满意的可靠度设计结果,因此是一种便于工程应用的方法。3.7几何法用以上方法计算时,迭代次数多,而且极限状态方程为高次非线性时误差较大,为此专家们提出几何法即是优化算法。根据可靠指标的几何意义,可靠指标的获得也就是在功能函数面上寻找一点y3,使该点与均值点的距离最短,从而使问题成为一个优化问题,即:目标函数:β=min(y3T・y3)1/2;约束条件:g(y3)=0。用几何法求解可靠指标β的思路:先假设验算点x3,将验算点值代入极限状态方程g(x),若g(x3)≠0,则沿着g(x)=g(x3)所表示的空间曲面x3点处的梯度方向前进(后退),得到新的验算点x3代入极限状态方程,若g(x3)ε,其中ε为控制精度,继续迭代;若g(x3)≤ε则表示该验算点已在失效边界上,迭代停止,即可求出β和x3的值。几何法与一般的一次二阶矩法相比，具有迭代次数少收敛快、精度高的优点，但其结果亦为近似解。3.8相关随机变量的可靠度分析方法前面介绍的结构可靠度分析方法都是随机变量相互独立为前提的。而在实际工程中，随机变量见可能存在这一定的相关性，如海上结构承受的风荷载和波浪力，岩土工程中的粘聚力和内摩擦角，大跨度结构的自重和抗力等。研究表明，随机变量之间的相关性对结构的可靠度有着明显的影响，特别是在高度正相关或高度负相关时。因此，若随机变量相关，则在结构可靠度分析中应充分予以考虑。对于含有相关随机变量的结构可靠度问题，早起一些研究采用正交变换的方法，首先讲相关随机变量变换为不相关的随机变量，然后用JC法进行计算。从原理上讲，这种方法是正确的，但计算过于繁琐，特别是需要球矩阵的特征值，不便于应用。近年的一些研究则直接在广义空间（仿射坐标系）内建立求解可靠指标的迭代公式，不需要过多的准备工作，应用简单，是对现有可靠度计算方法的推广。