高中物理问题的数学方法

高中物理问题与数学方法（国际中文核心期刊《中国现代教育论坛》发表洪奇标）内容提要：物理问题的解决有赖于数学知识的掌握和熟练运用，而灵活的数学方法与独到运算技巧往往为复杂的物理问题的解决提供了快捷、简便的窍门。如何培养和发展学生的物理学科思维能力，有赖于在长期的习题训练中，使学生学会整合物理科与数学科及其它相关学科的知识，寻找有用的信息和方法，并运用学过的知识去分析、解决实际问题的过程中，用心钻研和总结解决各种物理问题的思路和方法，才能逐步提高。本文在此仅对高中物理问题解题方案中的常用的数学方法与解题技巧浅作介绍，望能为正在进行紧张复习并即将面临高考的莘莘学子们起到启迪的作用。关键词.：物理问题解题方法一、代数法代数法解决物理问题又分为若干种技能技巧：1、联立方程组解答物理问题典型例题：如图所示,两端封闭的内径均匀的直玻璃管内，有一段水银柱将两种气体a和b隔开将管竖立着，达到平衡时，若温度为T，气柱a和b的长度分别为La和Lb,若温度为T/，长度分别为La/和Lb/。然后将管平放在水平桌面上，在平衡时，两段气柱长分别是La//和Lb//。已知T、T/、La、La/、Lb、Lb/,求La///Tb//。分析：这是一道高考题，其物理过程分列式并不难，但做数学联立解答时，由于方程多，往往不易熟练解出正确答案。为此平时要多练，尤其要多练比例法，最终才使本题在Pa、Pb、Pa/、Pb/、H及Pa//、Pb//都不知情的情况下能得出答案。解答：对a段气体有：///.TlPTlpaaaa①//////..aaaalplp②对b段气体有：///..TlpTlpbbbb③//////..bbbblplp④另有压强关系：hppab⑤hppab//⑥////bapP⑦，由⑤、⑥消去h得：//ababpppp⑧化①、②、③、④得：ap、ap/、bp、/bp的值，代入⑧中，且由⑦整理得：///////////...TlTlTlTlllllllaabbbbaaba2、运用一元二次方程判别式解答物理问题在不少情况下，不一定能显然地得出一元二次方程标准式，但只要有这样的可能性，则就要做倾向性的代换、变形和组合，才有可能最终整理成功一元二次方程式，也许此时的系数a、b、c都分别是较为复杂的多项式，但用判别式042acb也正当其时了。典型例题：凸透镜焦距为f，物体与成像屏幕之间的距离为L，当L至少为多大时，才能在屏幕上呈现清晰的像？解答：由透镜成像公式fvu111①依题意得Lvu②联立①、②得02LfLvv③；式③是一个关于像距v的一元二次方程，为使屏上出现清晰的像，v须为实数，由042acb得042LfL，即fL43、用二元二次方程组解答物理问题对于某些需要综合运用动量守恒定律与动能定理联合解决的物理问题，则可考虑通过运用动量守恒定律与动能定理分别列出二元一次方程和二元二次方程组成方程组求解。在联立方程的时候，设法将二元二次方程通过特定的关系处理成二元一次方程后，再次联立方程解答。典型例题：试求质量为1m、速度为1v的物体和质量为2m、速度为2v的物体相碰撞后的速度。假设碰撞后动能没有损失。解答：由于碰撞后没有动能损失，那么碰撞前后动量守恒，能量也守恒。那么有：/22/112211vmvmvmvm①；22/221/122221121212121vmvmvmvm②由①得：22/21/11vvmvvm③；由②得：2222/221/211vvmvvm④式④除以式③得；2/2/11vvvv⑤；联立①、⑤组成二元一次方程组再求解就方便多了，可以的到：2122121/12mmvmvmmv2111212/22mmvmvmmv4、运用合、分比定理解答物理问题物理学中经常遇到分量之间，某一分量之间的比例计算和换算问题，因此常用到数学中的合比及分比定理。在形如dcba的比例关系中，如果a和b，c和d是同一物理量，则可根据分比定理和合比定理解答。定理：如果a、b、c、d均不为零，当dcba时，则有：ddcbba（合比定理）；ddcbba（分比定理）；典型例题：例1：如图所示装置，水银柱将气体2o、2N分隔成两部分。开始时2N的温度为10C，2o的温度为20C，水银柱静止，求下列情况下，水银柱移动的方向。⑴2o、2N的温度都升高10C。水银⑵2o、2N的温度都降低10C。CN0210CO0220⑶2N的温度升高10C，2o的温度升高20C。解：⑴2o、2N变化前的压强为p、绝对温度为T，升高10C后的压强为/P，绝对温度为/T，假设2o、2N均发生等容变化，对气体2o、2N分别用查理定律，由TTpp//得：对于2N有：TTTppp//TTTppp//28310PP①对于2o有：TTTppp//TTTppp//29310PP②比较①、②：因为2931028310pp，所以水银柱向2N方向移动。⑵对于2N同理可得：TTTppp//TTTppp//28310PP③对于2o同理可得：TTTppp//TTTppp//29310PP④比较③、④：因为2931028310pp，所以水银柱向2N方向移动。⑶对于2N同理可得：TTTppp//TTTppp//28310PP⑤对于2o同理可得：TTTppp//TTTppp//29310PP⑥比较⑤、⑥，因为：2222/0/ONNPPPp，所以水银向着2N方向移动。例2：将电阻1R接到恒压电源上，功率为1P；将电阻2R接到同一恒定电源上，功率为2P。那么将1R、2R串联后接到同一恒定电源上，总功率为多少？A、1P+2PB、221PPC、1P2PD、2121ppppp解：根据RUp2可知，电压一定时功率和电阻成反比，则有：1221RRpp①设两电阻串联后接到恒压电源上，功率为P，则有：1211RRRpp②由合比定理整理①得：221221RRRppp③联立②、③解得：2121ppppp，故正确选项为D5运用指数和对数知识解答物理问题典型例题：在一原子反应堆中，用石墨（碳）做减速剂使快中子减速。已知碳核质量是中子质量的12倍，假设把中子与碳核的每次碰撞都看作是弹性正碰撞，而且认为碰撞前碳核都是静止的。（114.113lg、1041.111lg）⑴没碰撞前中子的动能是0E，问经过一次碰撞中子损失的能量是多少？⑵至少经过多少次碰撞，中子动能损失小于0810E？解答：⑴设中子和碳核的质量分别为m和M，碰撞前中子的速度为0v，碰撞后中子和碳核的速度分别是v和V，根据动量守恒定律得：MVmvmv0①，又由于动能守恒，则有：2202212121MVmvmv②联立①、②解得：Vvv0③把③代入①德：0vMmMmV④已知M=12m，代入④得01311vV⑤算得一次碰撞时中子损失能量为：02201694821121EmvmvE⑵E1、E2······En分别表示中子第1次、第2次······第n次碰撞后的动能，由⑸得：01)1311(EE⑥022122)1311()1311(EEE……02)1311(EEnn⑦已知：0610EEn。代入上式得：0206)1311(10EEn，即：6210)1311(n两边取对数得：611lg13lg2n，将13lg和11lg的值代入上式得：1.41073.03n故需要至少经过42次碰撞，中子动能才能小于0610E二、几何法我国的高考经过多年的理论研究和实践，命题思想、题型题量都有了很大的变化，近几年的高考，考查的重点主要放在系统地掌握课程内容的内在联系上，放在掌握分析问题的方法和解决问题的能力上。而许多担负考查能力的高考题，都要用到几何方法，对于这类问题，如果我们仅仅是列出物理的关系式，而看不出问题的几何关系式，最终就无法解出这道物理题。在这里通过一典型例题，探讨运用几何原理解决物理问题的方法。典型例题：如图所示，跨过定滑轮的绳子一端连结在质量为m的物体上，另一端连接在质量为M的物体上，M套在光滑的直杆中，可以自由滑动。开始时，连接M、m的绳子成水平状态，其水平段的长度为S，放手后M下落并通过连接绳子向上提起m，当M下落高度为h时，物体m的速度为多大？解答：作出求解长度关系式和速度分解关系式的几何图如下：sshh22/①由于AMBVMVT，所以：hShVVT22②由机械能守恒定律再得：/222121mghmVMVMghT③联立①、②、③得：1222222hSMmshsmgMghVT三、三角函数法典型例题：光线从空气斜射到玻璃砖的一个平面上，再从另一平面射出，试证出射光线跟入射光线平行，并求出射光线对入射光线的平移。解答：如图，n为玻璃对空气的折射率，玻璃砖厚为h，入射角I，EF、FG和GH分别代表入射光线、折射光线和出射光线。应有：nisinsin①①×②=1ni1sinsin//②即：1sinsinsinsin//ii又因为/所以/sinsinii或/ii，那么侧移FI=a即：iniihnniihniihniihniiihiihihFGIFGa22222sincos1sinsincos1sincoscos1sincoscoscossincossincoscossincossincoscossin)sin(cossin四、极值法⑴用配方法求物理问题的极值典型例题：把某一电何Q分成q与(Q-q)两个部分，且此两部分相隔一定距离，如果使这两部分有最大的斥，则Q与q的数量关系如何确定？斥力大小如何？解：由2rqQkqF得：222rQqkrqkF①得：2222222222422222rkQQQrkQQQqqrkrQqqkF讨论：当2Qq时，22max4rkQF⑵应用二次三项性质求物理问题的极值（以上题为例）把某一电何Q分成q与(Q-q)两个部分，且此两部分相隔一定距离，如果使这两部分有最大的斥，则Q与q的数量关系如何确定？斥力大小如何？解：由2rqQqKF得：222rQqKrqKF①将二次三项式：cbxaxy2②与之对照得：2rKa、2rKQb、c=0因为0a,故当abx2涵数有极大值：aacby442max；也即当2222QrKrKQq时，有极大值：22222max440)(rKQrKrKQF⑶用不等式性质求物理问题的极值（以上题为例）把某一电何Q分成q与(Q-q)两个部分，且此两部分相隔一定距离，如果使这两部分有最大的斥，则Q与q的数量关系如何确定？斥力大小如何？解：将2rqQqKF中的q和视作x，(Q-q)视作y，而0y、0y。由2yx、xy得：xyyx2，现属于QqQqyx)(（定值）故当x=y时有：42maxyxxy，亦即当q=(Q-q)，2Qq时有：442222maxQQQqQq，此式算得：22max4rKQF⑷利用一元二次方程02cbxax的判别式求物理问题的极值（以上题为例）把某一电何Q分成q与(Q-q)两个部分，且此两部分相隔一定距离，如果使这两部分有最大的斥力，则Q与q的数量关系如何确定？斥力大小如何？解：如果02cbxax有实数根，则：042acb由2rqQkqF得：222rQqkrqkF①整理①得：0222FrQqkrqk②；由②有：2rka