高等数学多元函数微分学习题集锦

第七章多元函数微分法及其应用习题课一、主要内容二、典型例题三、作业第七章、多元函数微分法习题课平面点集和区域平面点集和区域多元函数的极限多元函数的极限多元函数连续的概念多元函数连续的概念极限运算极限运算多元连续函数的性质多元连续函数的性质多元函数概念多元函数概念一、主要内容第七章、多元函数微分法习题课全微分的应用全微分的应用高阶偏导数高阶偏导数隐函数求导法则隐函数求导法则复合函数求导法则复合函数求导法则全微分形式的不变性全微分形式的不变性微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用方向导数方向导数多元函数的极值多元函数的极值全微分概念全微分概念偏导数概念偏导数概念第七章、多元函数微分法习题课多元函数连续、可导、可微的关系函数连续函数可微偏导数连续函数可偏导方向导数存在第七章、多元函数微分法习题课例1解.)(lim2200yxxxyyx+−→→求极限)0(,sin,cos==ρθρθρyx令.0)0,0(),(→→ρ等价于则yxρθθθρcos)cos(sin)(0222−=+−≤yxxxyθθθρcos)cos(sin−=,2ρ≤.0)(lim2200=+−→→yxxxyyx故二、典型例题第七章、多元函数微分法习题课，求设222,00(,)0,axyxyfxy⎧−−==⎪=⎨⎪⎩或，其它其中0a(0,0),(0,0).xyff解xyz•O220limxaxaxΔ→−Δ−=Δ2220()lim()xxxaxaΔ→−Δ=Δ−Δ+0=0f=xfxffxxΔ−Δ=→Δ)0,0()0,(lim)0,0(0(0,0)0.y同理可得：f=例2第七章、多元函数微分法习题课因点P沿直线(0)ykxk=≠趋于(0,0)时，(,)0fxy=0→Px，而点沿轴趋于(0,0)时，(,)fxy22,axa=−→所以(,)(0,0)lim(,)xyfxy→不存在，从而(,)fxy在(0,0)不连续。但极限(,)(0,0)lim(,)xyfxy→不存在，。222,00(,)0,axyxyfxy⎧−−==⎪=⎨⎪⎩或，其它第七章、多元函数微分法习题课例3.设(,,)ufxyz=有二阶连续偏导数,且2sin,zxt=ln(),txy=+求2,.uuxxy∂∂∂∂∂u解:xyzxtxyux∂=∂1f′+3(f′⋅2sinxt+2cosxt)1xy⋅+1'f3'fxyzxtxy第七章、多元函数微分法习题课例4解.,,)(),,(2223yxzyzyzfxyxyfxz∂∂∂∂∂∂∂=求，具有二阶连续偏导数设3121zxfxfyx∂⎛⎞′′=+⎜⎟∂⎝⎠,2214fxfx′+′=22zy∂=∂,222123115fxfxfx′′+′′+′′=xyyxxfy1f′4x⋅11121fxfx⎛⎞′′′′++⎜⎟⎝⎠2x⋅21221fxfx⎛⎞′′′′+⎜⎟⎝⎠2f′第七章、多元函数微分法习题课xyzyxz∂∂∂=∂∂∂223414xfx′=+⋅)(2214fxfxx′+′∂∂=.2422114213fyfyxfxfx′′−′′+′+′=221222yxfyfx⎛⎞⎛⎞′′′′++−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠11122yfyfx⎛⎞⎛⎞′′′′+−+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠22xf′4212,zxfxfy∂′′=+∂xyyx12,ff′′xy第七章、多元函数微分法习题课例5解.,0),(,sin,0),,(),,,(2dxduzfxyzexzyxfuy求且，具有一阶连续偏导数设≠∂∂===ϕϕϕ,dxdzzfdxdyyfxfdxdu∂∂+⋅∂∂+∂∂=,cosxdxdy=显然,dxdz求得的导数两边求对,0),,(2xzexy=ϕ,02321=′+⋅′+⋅′dxdzdxdyexyϕϕϕ于是),cos2(12sin13ϕϕϕ′⋅+′′−=xexdxdzx.)cos2(1cos2sin13zfxexyfxxfdxdux∂∂′⋅+′′−∂∂+∂∂=ϕϕϕ故第七章、多元函数微分法习题课解法1的函数．都看成是以及将方程组的变元xzyu,得求导方程组各方程两边对,x⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩,(1)xydudyffdxdx=+0,(2)xyzdydzgggdxdx+⋅+⋅=0.(3)xzdzhhdx+⋅=例6(,),(,,)0,(,)0.ufxygxyzhxz=⎧⎪=⎨⎪=⎩()ux0,0,ghyz∂∂≠≠∂∂.dudx求设函数由方程组所确定，且试第七章、多元函数微分法习题课0.xzdzhhdx+⋅=,xzdzhdxh=−由(3),zxxyzyghdygdxghg⋅=−⋅由(2).yxyzxxyyzfgfghdufdxggh⋅⋅⋅=−+⋅代入(1)得0,xyzdydzgggdxdx+⋅+⋅=xydudyffdxdx=+及上式得得第七章、多元函数微分法习题课解法2(,),(,,)0,(,)0.ufxygxyzhxz=⎧⎪=⎨⎪=⎩.dudx求全微分形式不变性。,(1)xydufdxfdy=⋅+⋅0,(2)xyzgdxgdygdz⋅+⋅+⋅=0.(3)xzhdxhdz⋅+⋅=由(2)、(3)消去,dz解出dy代入(1),得.yxyzxxyyzfgfghdufdxggh⎛⎞⋅⋅⋅=−+⎜⎟⎜⎟⋅⎝⎠即.yxyzxxyyzfgfghdufdxggh⋅⋅⋅=−+⋅第七章、多元函数微分法习题课解法3隐函数求导法，(),(,)ufxyxz=(),(,()),fxyxzx=dudx=xf+yf⋅,zxdzdxyy⎛⎞+⋅⎜⎟⎝⎠(,),(,,)0,(,)0.ufxygxyzhxz=⎧⎪=⎨⎪=⎩.dudx求xxygyg=−zzygyg=−xzdzhdxh=−由隐函数求导法则.yxyzxxyyzfgfghdufdxggh⋅⋅⋅=−+⋅第七章、多元函数微分法习题课=∴xzdd)0(23≠′+′′FFfx=xzdd+′1F23FFfx′−′′−=132FFfx′′′−12FFfxffx′−′′+′−221FffFxfFx′−′′−′′fxfxzxyfx′+=+′−dddd132ddddFxzFxyF′−=′+′+f⋅′fx)dd1(xy++′xyFdd20dd3=′xzF设(),(,,)0,其中f与F分别具有一阶导数或偏导数,求zxfxyFxyz=+=(99考研)解法1方程两边对x求导,得.ddxz第七章、多元函数微分法习题课解法2(),(,,)0zxfxyFxyz=+=方程两边求微分,得化简消去即可得yd.ddxzyFd2′+0d3=′+zFyfxd′+0d=−z)d(dddyxfxxfz+⋅′+=0ddd321=′+′+′zFyFxFxfxfd)(′+xFd1′第七章、多元函数微分法习题课例7.求曲线⎩⎨⎧=−+−=−++0453203222zyxxzyx在点(1,1,1)解:点(1,1,1)处两曲面的法向量为)2,2,1(−=因此切线的方向向量为)1,9,16(−=由此得切线:111−=−=−zyx1691−法平面:0)1()1(9)1(16=−−−+−zyx024916=−−+zyx即的切线与法平面.)1,1,1(1)2,2,32(zyxn−=)5,3,2(2−=n21nnl×=第七章、多元函数微分法习题课2222(,)2fxyxyxy=+−求二元函数{}22(,)|4,0Dxyxyy=+≤≥上的最大值与最小值在闭区域最大值为8，最小值为0.07考研第七章、多元函数微分法习题课解在第一卦限内作椭球面1222222=++czbyax的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标并求此最小体积过),,(000zyxP的切平面方程为则022|,xPxFa′=022|,yPyFb′=022|,zPzFc′=令1),,(222222−++=czbyaxzyxF设),,(000zyxP为椭球面上一点，例8第七章、多元函数微分法习题课+−)(020xxax+−)(020yyby0)(020=−zzcz,该切平面在三个轴上的截距分别为2220002221xyzabc++=求函数V在条件下的最小值。20,axx=20,byy=20,czz=所围四面体的体积022200166abcVxyxzyz==化简为0002221,xxyyzzabc⋅⋅⋅++=第七章、多元函数微分法习题课000(,,,)Lxyzλ+++=000lnlnlnzyx222000222(1),++−xyzabcλ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩由0020120,=+=yyLybλ0020120,=+=zzLzcλ22200022210,=++−=xyyLabcλ0020120,=+=xxLxaλ222000222ln1xyzuxyzabc=++=转化为在下的极值得000333axbycz⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩第七章、多元函数微分法习题课可得当切点坐标为,,333⎛⎞⎜⎟⎝⎠abc时，四面体的体积最小，min3.2=Vabc222000.6=abcVxyz其最小体积为000333axbycz⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩由实际问题,最小值一定存在而驻点唯一,故第七章、多元函数微分法习题课例9.要设计一个容量为0V则问题为求x,y,令解方程组解:设x,y,z分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.z使在条件=xF02=++zyyzλ=yF02=++zxxzλ=zF0)(2=++yxyxλ=λF00=−Vzyx水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱,试问0Vzyx=yxzyzxS++=)(2)()(20VzyxyxzyzxF−+++=λxyz第七章、多元函数微分法习题课得唯一驻点,2230Vzyx===3024V−=λ由题意可知合理的设计是存在的,因此,当高为长、宽为高的2倍时，所用材料最省.,340Vxyz思考:1)当水箱封闭时,长、宽、高的尺寸如何?提示:利用对称性可知,30Vzyx===2)当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时,欲使造价最省,应如何设拉格朗日函数?长、宽、高尺寸如何?提示:)()(20VzyxyxzyzxF−+++=λ2长、宽、高尺寸相等.第七章、多元函数微分法习题课测验题1.设(),(,,)其中f与F分别具0,zxfxyFxyz=+=有一阶导数或偏导数,求d.dzx22113450xyzxyxy++=+=2.求平面和柱面的交线上到面距离最短的点(99考研)第七章、多元函数微分法习题课3、=+→→22)(lim2200yxyxyx().(A)0；(B)1；(C)2；(D)e.4、函数),(yxf在点),(00yx处连续,且两个偏导数),(),,(0000yxfyxfyx存在是),(yxf在该点可微的().（A）充分条件,但不是必要条件；（B）必要条件,但不是充分条件；（C）充分必要条件；（D）既不是充分条件,也不是必要条件.第七章、多元函数微分法习题课5、设),(yxf⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0,00,1sin)(22222222yxyxyxyx则在原点)0,0(处),(yxf().(A)偏导数不存在；(B)不可微；(C)偏导数存在且连续；(D)可微.6、设),(),,(yxvvvxfz==其中vf,具有二阶连续偏导数.则=∂∂22yz().(A)222yvvfyvyvf∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂；(B)22yvvf∂∂⋅∂∂；(C)22222)(yvvfyvvf∂∂⋅∂∂+∂∂∂∂；(D)2222yvvfyvvf∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂.第七章、多元函数微分法习题课7、曲面)0(3=aaxyz的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积V=().(A)323a；(B)33a；(C)329a；(D)36a.8、二元函数33)(3yxyxz−−+=的极值点是().(A)(1,2)；(B)(1.-2)；(C)(-1,2)；(D)(-1,-1).9、函数zyxusinsinsin=满足)0,0,0(2=++zyxzyxπ的条件极值是().(A)1；(B)0；(C)61；(D)81.第七章、多元函数微分法习题课10、设函数),(),,(yxvvyxuu==在点),(yx的某邻域内可微分,则在点),(yx处有()uv=grad().();();();