平面向量复习

向量的相关概念及表示向量的线性运算平面向量的基本定理平面向量的数量积运算1、向量的概念、零向量、单位向量、相等向量、平行向量（也叫共线向量）、相反向量、向量的模、两向量的夹角、向量的坐标表示等2、向量的表示方法：几何表示法、符号表示法、坐标表示法1、几何运算：向量的加法用“平行四边形法则”和“三角形法则”，向量的减法用“三角形法则”，数乘向量考虑方向、长度2、坐标运算3、向量平行(共线)：=0（其中b是非零向量）//abab22()(||||)abab1212xyyx如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使a=e1＋e2。其中e1和e2叫一组基底11221、平面向量的数量积：＝2、a在b方向上的投影3、数量积的性质4、数量积的运算律(不适合消去律、结合律)5、平面向量数量积的坐标运算、模、夹角bacosab一、向量的基本概念向量、零向量、单位向量、共线向量（平行向量）、相等向量、相反向量等.1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小又叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度).2、向量的表示AB1、字母表示：AB或a2、坐标表示：xyaiO(x,y)jAaxyjyixa），（yx），（yxOA3.相等向量:长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量a与b相等,记为ab.注:向量不能比较大小,因为方向没有大小.4.零向量:长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个,其方向是任意的.5.单位向量:长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个,每一个方向都有一个单位向量.6.共线向量:方向相同或相反的非零向量,叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定:0与任一向量共线.注:共线向量又称为平行向量.7.相反向量:长度相等且方向相反的向量.二、向量的运算（一）向量的加法ABC三角形法则：ABCD平行四边形法则：ab2、坐标运算：），（，），（设2211yxbyxaba则），（2121yyxx1、作图（二）向量的减法DBADAB2、坐标运算：），（，），（设2211yxbyxaba则），（2121yyxx1、作图平行四边形法则：abab+ab+ACBCABaλa（1）长度：（2）方向：时，当0异向与aa，时当0同向与aa时，当00aa（三）数乘向量baba）（aaa）（aa、数乘向量的运算律：3：、数乘向量的坐标运算2的大小和方向：、a1），（），（yxyxa5、平面向量基本定理22112121eeaaee使，，有且只有一对实数这一平面内的任一向量不共线向量，那么对于是同一个平面内的两个，如果向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=。baba4、共线向量基本定理1、平面向量数量积的定义：bacos||||ba2、数量积的几何意义：.cos||||的乘积方向上的投影在与的长度等于babaaOABθB1(四)数量积abba）（1）（）（））（（bababa2cbcacba））（（34、运算律:2121yyxxba3、数量积的坐标运算每一种运算的刻划有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。主要内容列表如下：运算图形语言符号语言坐标语言平行四边形法则OAOBOCOBOAAB记OA=(x1,y1),OB=(x1,y2)则OAOB=(x1+x2,y1+y2)OBOA=（x2-x1,y2-y1）加法与减法三角形法则OAABOB实数与向量的乘积AB=λaλ∈R记a=(x,y)则a=(λx,λy)两个向量的数量积cos,ababab记1122(,),(,)axybxy则a·b=x1x2+y1y2五、向量垂直的判定01baba）（022121yyxxba）（六、向量平行的判定(共线向量的判定)）（）（0//1aabba），（），，（，其中）（221112210//2yxbyxayxyxab||32211AByxByxA），则，（），，（）若（||a22yx221221）（）（yyxx），则，（）设（yxa2七、向量的长度，）（2||1aaa2||aa八、向量的夹角||||cosbaba向量表示坐标表示向量表示坐标表示222221212121yxyxyyxx1、判断下列命题的真假；（1）直角坐标系中坐标轴的非负半轴都是向量；（2）向量AB与DC是共线向量，则A,B,C,D必在同一直线上。（3）ab与共线，b与c共线，则a与c也共线。（4）四边形ABCD是平行四边形当且仅当ABDC.（5）a=b当且仅当|a|=|b|且a//b；题型一:向量的基本概念2、设0a为单位向量，（1）若a为平面内的某个向量，则a=|a|·0a;(2)若a与a0平行，则a=|a|·0a；（3）若a与0a平行且|a|=1，则a=0a。上述命题中，假命题个数是_____________√×（1）（2）（3）×××题型二：平面向量的几何运算3、如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心，若BA=a，BC=b，试用a，b将向量OE，BF，BD，FD表示出来。baOFEDCBA解：因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心O及顶点A，B，C四点构成平行四边形ABCO，所以BABCBAAOBO，BO=a＋b，OE=BO=a+b，由于A，B，O，F四点也构成平行四边形ABOF，所以BF=BO＋OF=BO+BA=a+b+a=2a+b，同样在平行四边形BCDO中，BD＝BCCD＝BCBO＝b＋(a＋b)＝a＋2b，FD＝BCBA＝b－a。练习．已知梯形ABCD中，||2||ABDC，M，N分别是DC、AB的中点，若AB1e，2ADe，用1e，2e表示DC、BC、MN．AMDCNB4、已知O，N，P在ABC所在平面内，且,0OAOBOCNANBNC，且PAPBPBPCPCPA，则点O，N，P依次是ABC的（A）重心外心垂心（B）重心外心内心（C）外心重心垂心（D）外心重心内心题型三:向量平行与垂直的条件练习：已知,OAOB不共线，OPaOAbOB.求证A,P,B三点共线当且仅当a+b=1。,0OAOBOCOABCNANBNCOABC由知为的外心；由知，为的重心;00,,,PAPBPBPCPAPCPBCAPBCAPBAPBCP，，同理，为ABC的垂心，利用向量共线定理及向量减法运算证明4：设12,ee是不共线的向量,已知向量122ABeek,123CBee,122CDee,若A、B、D三点共线，求k的值.解:∵A、B、D三点共线,∴ABBD(是待定系数)∵123CBee,122CDee,∴124BDCDCBee∴124ABee又∵122ABeek∴24k=∴8k=1.已知(1,3),(,1),abx且a∥b,则x等于()(A)3(B)3(C)31(D)132.已知(1,3),(,1),abx且a⊥b,则x=____.3.已知(1,3),(,1),abx,且2ab与2ab平行,则x等于_____C-3412321323abkkababkabab、已知（，），（，），当为何值时，（）与垂直？（）与平行？平行时它们是同向还是反向？例求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值.解：如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为x轴、y轴建立直角坐标系，设aBaA2,0,0,2，则aCaD,0,0,，从而可求：aaBDaaAC2,,,2,aaaaaaBDACBDAC552,,2cos=545422aa..题型四:运用坐标运算解决求角或距离等问题你能总结一下运用向量解决平面几何中角的计算问题的方法、思路吗？122121,602,32.oeeaeebeeab例：设为两个单位向量，且夹角为，若，求与的夹角解：∵22212122122124422eeeeeeeea71211141460cos44212221eeee∴7a同理可得7b27262322221212121eeeeeeeeba217727cosbaba∴θ=120°题型五:向量与三角函数的综合例已知向量)2,(sina与)cos,1(b互相垂直，其中(0,)2．（1）求sin和cos的值；（2）若10sin(),0102，求)(tan的值．解：（1）∵a与b互相垂直，则0cos2sinba，即cos2sin，代入1cossin22得55cos,552sin，又(0,)2，∴55cos,552sin.（2）∵20，20，∴22，则10103)(sin1)cos(2，31)(tan1.利用向量解题的基本思路有两种。一是几何法：利用向量加减法的法则，抓住几何特征解题；二是坐标法：建立恰当的坐标系，将向量用坐标表示，然后利用向量的坐标运算解题。2.树立和强化应用向量解题的意识，尤其是与几何相关的问题，特别是垂直和平行关系，用向量法解决最为简单。3.向量与三角函数结合的问题，通常是将向量的数量积与模用坐标运算后转化为三角函数问题，然后用三角函数基本公式求解，其中涉及到的有关向量的知识有：①向量的坐标表示及加、减法，数乘向量；②向量的数量积；③向量平行、垂直的充要条件；④向量的模、夹角等。4.注意掌握一些重要结论，灵活运用结论解题。如向量的共线定理，平面向量基本定理，三角形四心与向量有关的常见结论等。