1.2直角三角形性质和判定(2)——勾股定理ppt.

直角三角形的性质和判定（Ⅱ）本课内容本节内容1.2做一做如图1-9，在方格纸上（设小方格边长为单位1）画一个顶点都在格点上的直角三角形，使其两直角边分别为3，4，量出这个直角三角形斜边的长度.ABCa=3b=4c=?量得c=5.图1-9在方格纸上，以类似图1-9中的Rt△ABC的三边为边长分别向外作正方形，得到三个大小不同的正方形，如图1-10-1，并填表.说一说为了求S3，可以先算出红色区域内大正方形的面积，再减去4个小三角形的面积.S2S3S1图1-10-1S1S2S3图1-10-1145S1S2S3图1-10-1145图1-10-2图1-10-2S2S1S391625S1S2S3S2S2S3图1-10-3观察表格,三个正方形的面积S1、S2、S3之间有怎样的数量关系呢？S1S2S3图1-10-1145图1-10-291625图1-10-3S1S1+S2=S3.92534在图1-10中，S1+S2=S3，即BC2+AC2=AB2，那么是否对所有的直角三角形，都有两直角边的平方和等于斜边的平方呢？图1-10S2S1S3ACB探究如图1-11，任作一个Rt△ABC，∠C=90°，若BC=a，AC=b，AB=c，那么a2+b2=c2是否成立呢？ABC图1-11acb步骤１先剪出4个如图1-11所示的直角三角形，由于每个直角三角形的两直角边长为a，b（其中ba），于是它们全等（SAS），从而它们的斜边长相等.设斜边长为c.步骤2再剪出1个边长为c的正方形，如图1-12所示.图1-12步骤3把步骤1和步骤2中剪出来的图形拼成如图1-13的图形.4S=S+S大正小正直221(+)=+42bacabcabab222a+b=c思考：如何说明拼出的图形是正方形？图1-13结论直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方.a2+b2=c2公式变形(1)a2=c2-b2(3)b2=c2-a2(5)c2=a2+b2(4)b=ac22(2)a=bc22(6)c=ba22在Rt△ABC中,∠C=90。(1)若a=6,c=10,则b=(2)若a=12,b=5,则c=(3)若c=8,b=6,则a=81372其实我国早在三千多年前就已经知道直角三角形的上述性质，由于古人称直角三角形的直角边中较短的一边为勾，较长的一边为股，斜边为弦（如图1-14），因此这一性质被称为勾股定理.图1-14小知识勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.在直角三角形中，若已知直角三角形任意两条边长，我们可以根据勾股定理求出第三边的长.例1如图1-15，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=13cm，BC=10cm，AD⊥BC于点D.你能算出BC边上的高AD的长吗？ABC图1-15D分析要求AD的长，要把AD放在直角三角形中，通过勾股定理计算出.解：在△ABC中，∵AB=AC=13，BC=10，AD⊥BC，∴1=52BDBC=.在Rt△ADB中，由勾股定理得，AD2+BD2=AB2,∴故AD的长为12cm.2222=-=13-5=188=12.ADABBDABC图1-15D练习已知:如图,等边△ABC的边长是6cm(1)求高AD的长(2)求S△ABCABCD解:(1)∵△ABC是等边三角形,AD是高∴BD=—BC=3在Rt△ABD中AB=6,BD=3,根据勾股定理AD2=AB2-BD2∴AD===1293627332(2)S△ABC=—BC.AD=—×6×=1123339在Rt△ABC中，∠C=90°.（1）已知a=25，b=15，求c；练习（2）已知a=5，c=9，求b；（3）已知b=5，c=15，求a.2222=+=25+15=625225=534.cab2222==9-5=144=214.bc-a2222==15-5=2010=102.ac-b蚂蚁怎样走最近如图，有一个圆柱体，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A点相对的B处的食物，需要爬行的最短路程是多少？（π的值取3）问题的提出：蛋糕AB.BB12OA3蛋糕AC问题的延伸:•如图，在棱长为10厘米的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1厘米\秒，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20秒内从A爬到B？BAA蛋糕问题的延伸:BAB如图1-16，电工师傅把4m长的梯子AC靠在墙上，使梯脚C离墙脚B的距离为1.5m，准备在墙上安装电灯.当他爬上梯子后，发现高度不够，于是将梯脚往墙脚移近0.5m，即移动到C′处.那么，梯子顶端是否往上移动0.5m呢？动脑筋图1-16由图1-16抽象出示意图1-17.在Rt△ABC中，计算出AB；再在Rt△A’BC’中，计算出A’B，则可得出梯子往上移动的距离为（A’B-AB）m.图1-17A’BCC’梯子墙面地面分析A在Rt△ABC中，AC=4m，BC=1.5m，由勾股定理得，在Rt△A’BC’中，A’C’=4m，BC’=1m，故因此A’A=3.87-3.71=0.16（m）.即梯子顶端A点大约向上移动了0.16m，而不是向上移动0.5m.22=4-1.5=13.753.71(m).AB22=4-1=153.87(m).A'B图1-17A’BCC’梯子墙面地面A例1（“引葭赴岸”问题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深，葭长各几何？”意思是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在池的中央，其出水部分为1尺.如果将芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面.问水深与芦苇长为多少？分析根据题意，先画出水池截面示意图，如图1-18.设AB为芦苇，BC为芦苇出水部分，即1尺，将芦苇拉向岸边，其顶部B点恰好碰到岸边B′.宋刻《九章算术》书影ABB’15C图1-18ABB’15C图1-18解：在如图1-18，设水池深为x尺，则AC=x尺，AB=AB’=(x+1)尺.因为正方形池塘边长为10尺，所以B’C=5尺.在Rt△ACB’中，由勾股定理，得x2+52=(x+1)2解得x=12则芦苇长为13尺.答：水池的深度为12尺，芦苇长13尺.练习1.如图，一艘渔船以30海里/h的速度由西向东追赶鱼群.在A处测得小岛C在船的北偏东60°方向；40min后，渔船行至B处，此时测得小岛C在船的北偏东30°方向.已知以小岛C为中心，周围10海里以内有暗礁，问这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触礁的危险？北东CAB60°30°北东CAB60°30°分析取轮船航向所在的直线为AB.过点C作CD⊥AB，垂足为D.CD长为C岛到轮船航道的最短距离，若CD大于10海里，则轮船由西向东航行就不会有触礁的危险.北东CAB60°30°D解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，依题意，∠CBD=60°，∠CAD=30°，由于CD长大于10海里，所以轮船由西向东航行没有触礁危险.11×20=10.22∴BD=BC=（海里）北东CAB60°30°D∠CAD=∠ACB=30°，∴AB=BC=（海里），230=203在Rt△CBD中，∠BCD=30°，2222=-=20-10=10310.∴CDCBBD（海里）（海里）2.如图，AE是位于公路边的电线杆，高为12m，为了使电线CDE不影响汽车的正常行驶，电力部门在公路的另一边竖立了一根高为6m的水泥撑杆BD，用于撑起电线.已知两根杆子之间的距离为8m，电线CD与水平线AC的夹角为60°.求电线CDE的总长L（A，B，C三点在同一直线上，电线杆、水泥杆的粗细忽略不计）.分析要求电线CDE的总长L，即要求CD+DE的长度，需分别把CD和DE放在直角三角形中，于是过点D作DF⊥AE，垂足为F.EABCDFEABCDF解：过点D作DF⊥AE，垂足为F，依题意∠BCD=60°,AB=DF=8m,AF=BD=6m,FE=6m.22=+22=6+8=10m.（）EDFEFD在Rt△DEF中，由勾股定理,得在Rt△DBC中,∠CDB=30°,设BC=x,DC=2x，由勾股定理得,x2+62=(2x)2解得x=23=+=(1043)m.∴LED+CD据《周髀算经》记载，西周开国时期（约公元前1000多年）有个叫商高的人对周公说，把一根直尺折成直角，两端连接得一直角三角形。如果勾是3，股是4，那么弦是5，这就是商高发现的“勾股定理”.因此在中国，勾股定理又被称作“商高定理”，在西方国家，勾股定理又“Pythagoras(毕达哥拉斯)定理”.但毕达哥拉斯发现这一定理的时间要比商高迟得多，可见我国古代人民对人类杰出的贡献.小知识1955年的希腊邮票“赵爽弦图”为2002年在北京召开的国际数学家大会的会标.西班牙教材中的勾股定理，他们称之为“毕达哥拉斯定理”.香港教材中的勾股定理仍然沿用着西方的名称——毕氏定理.分析要求AD的长，要把AD放在直角三角形中，通过勾股定理计算出.如图，等腰△ABC中,AB=AC,AD是底边上的高，若AB=5cm,BC=6cm,AD=_________cm.中考试题例1ABCD4解：∵AB=AC=5cm，BC=6cm，AD⊥BC，∴1=3cm2BDBC=.在Rt△ADB中，由勾股定理得，AD2+BD2=AB2∴故AD的长为4cm.2222=-=5-3=4cm.ADABBDABCD例2如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．ACEDB解(1)∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE=3.（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得，2222=+=6+8=10.ABACBCΔ11==103=15.22ADBSABDE小结1.这节课我们从知识上有哪些收获？2.从研究方法上你有哪些收获？