高数上册归纳公式篇(完整)

公式篇目录一、函数与极限1.常用双曲函数2.常用等价无穷小3.两个重要极限二、导数与微分1.常用三角函数与反三角函数的导数公式2.n阶导数公式3.高阶导数的莱布尼茨公式与牛顿二项式定理的比较4.参数方程求导公式5.微分近似计算三、微分中值定理与导数的应用1.一阶中值定理2.高阶中值定理3.部分函数使用麦克劳林公式展开4.曲率四、定积分1.部分三角函数的不定积分2.几个简单分式的不定积分五、不定积分1.利用定积分计算极限2.积分上限函数的导数3.牛顿-莱布尼茨公式和积分中值定理4.三角相关定积分5.典型反常积分的敛散性6.Γ函数(选)六、定积分的应用1.平面图形面积2.体积3.弧微分公式七、微分方程1.可降阶方程2.变系数线性微分方程3.常系数齐次线性方程的通解4.二阶常系数非齐次线性方程(特定形式)的特解形式5.特殊形式方程(选)一、函数与极限1.常用双曲函数(sh(x).ch(x).th(x))2.常用等价无穷小(x→0时)3.两个重要极限二、导数与微分1.常用三角函数与反三角函数的导数公式(凡是“余”求导都带负号)2.n阶导数公式特别地,若n3.高阶导数的莱布尼茨公式与牛顿二项式定理的比较函数的0阶导数可视为函数本身4.参数方程求导公式5.微分近似计算(x很小时)(注意与拉格朗日中值定理比较)常用:(与等价无穷小相联记忆)三、微分中值定理与导数的应用1.一阶中值定理()(xf在],[ba连续,),(ba可导)罗尔定理(端点值相等)()(bfaf)拉格朗日中值定理柯西中值定理(0)('xg≠0)2.高阶中值定理()(xf在),(ba上有直到)1(n阶导数)泰勒中值定理nR为余项(ξ在x和0x之间)令00x,得到麦克劳林公式3.部分函数使用麦克劳林公式展开(皮亚诺型余项)4.曲率四、不定积分1.部分三角函数的不定积分2.几个简单分式的不定积分五、定积分1.利用定积分计算极限2.积分上限函数的导数推广得3.牛顿-莱布尼茨公式和积分中值定理(1)牛顿-莱布尼茨公式(微积分基本公式)(2)积分中值定理函数)(xf在],[ba上可积)(f称为)(xf在],[ba上的平均值4.三角相关定积分三角函数系的正交性5.典型反常积分的敛散性(1)无穷限的反常积分推论1(2)瑕积分(无界函数的反常积分)推论2Convergence:收敛,Divergence:发散6.Γ函数(选)(1)递推公式:推论:(2)欧拉反射公式(余元公式)六、定积分的应用1.平面图形面积(1)直角坐标:由曲线0)(xfy及bxax,与x轴围成图形(2)极坐标:有曲线)(及,围成图形2.体积(1)绕x轴旋转体体积(2)平行截面面积已知的立体的体积平行截面(与x轴垂直)面积为)(xA3.弧微分公式(1)直角坐标:(2)极坐标:七、微分方程1.可降阶方程(1))()(xfyn型n次积分得(2))',(yxfy型作换元'yp得),('pxfp得通解),(1Cxp则21),(CdxCxy(3))',(yyfy型作换元'yp,),(,pyfdxdppdxdppdxdpy得通解dxdyCyp),(1则21),(CxCydy2.变系数线性微分方程(1)一阶线性微分方程:)()('xQyxPy对应齐次方程:0)('yxPy的通解为dxxPCeY)(原方程)()('xQyxPy的通解为dxxPdxxPeCdxexQy)()())((一阶线性非齐次方程的通解等于相应齐次方程的通解和非齐次方程一个特解的和(2)高阶线性微分方程)()(')()(1)1(1)(xQyxPyxPyxPynnnn对应齐次方程为0)(')()(1)1(1)(yxPyxPyxPynnnn若)(,),(),(21xyxyxyn为齐次方程n个线性无关解则齐次方程的通解为)()()()(2211xyCxyCxyCxYnn若)(*xy为非齐次方程的一个特解则非齐次方程的通解为)(*)(xyxYy3.常系数齐次线性方程的通解(1)二阶方程0qpyy特征方程为02qprr①0,两个不等实根abrabr2,221通解为xrxreCeCy2121②0,两个相等实根221prr通解为xrexCCy1)(21③0,一对共轭复根2,2,,21pirir通解为)sincos(21xCxCeyx(2)高阶方程0'1)1(1)(ypypypynnnn特征方程为0111nnnnprprpr对于其中的根r的对应项①实根r一个单实根:rxCe一个k重实根:rxkkexCxCC)(121②复根ir2,1一对单复根:)sincos(21xCxCex一对k重复根:]sin)(cos)[(121121xxDxDDxxCxCCekkkkx通解为对应项之和4.二阶常系数非齐次线性方程(特定形式)的特解形式)('xfqypyy,对应的特征方程为02qprr(1))()(xPexfmx)(xPm为x的m次多项式特解形式为xmkexQxy)(*)2()(1)(0为特征重根为特征单根非特征根k)(xQm是x的m次多项式(2)]sin)(cos)([)()2()1(xxPxxPexfnlx)(),()2()1(xPxPnl分别为x的nl,次多项式特解形式为xmmkexxRxxQxy]sin)(cos)([*},max{nlm,)(),(xRxQmm为x的m次多项式记iz)(1)(0为特征复根非特征根zzk5.特殊形式方程(选)(1)伯努利方程nyxQyxPdxdy)()((1,0n))()(1xQyxPdxdyynn令nyz1,dxdyyndxdzn)1()()1()()1(xQnzxPndxdz得通解),(CxznCxy11)],([(2)欧拉方程)('1)1(11)(xfypxypyxpyxnnnnnn作变换tex或xtln,记dtdDykDDDyxyDDdtdydtyddxydxyxDydtdydxdtdtdyxdxdyxxykk)1()1()1(')(222222将上各式代入原方程得到)(111tfyaDyayDayDnnnn此为常系数线性微分方程可得通解),,,,(21nCCCty即可得原方程通解),,,,(21nCCCxy