2018年高考文科数学全国卷2及答案解析

数学试题第1页（共16页）数学试题第2页（共16页）绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷共23题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．i(2+3i)A．32iB．32iC．32iD．32i2．已知集合1,3,5,7A，2,3,4,5B则ABA．3B．5C．3,5D．1,2,3,4,5,73．函数2ee()xxfxx的图象大致为4．已知向量a，b满足||1a，1ab，则(2)aabA．4B．3C．2D．05．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中2人都是女同学的概率为A．0.6B．0.5C．0.4D．0.36．双曲线22221(0,0)xyabab的离心率为3，则其渐近线方程为A．2yxB．3yxC．22yxD．32yx7．在ABC△中，5cos25C，1BC，5AC，则ABA．42B．30C．29D．258．为计算11111123499100S，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入A．1iiB．2iiC．3iiD．4ii-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试题第3页（共16页）数学试题第4页（共16页）9．在长方体1111ABCDABCD中，E为棱1CC的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为A．22B．32C．52D．7210．若()cossinfxxx在[0,]a是减函数，则a的最大值是A．π4B．π2C．3π4D．π11．已知1F，2F是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若12PFPF，且2160PFF，则C的离心率为A．312B．23C．312D．3112．已知()fx是定义域为(,)的奇函数，满足(1)(1)fxfx．若(1)2f，则(1)(2)(3)(50)ffffA．50B．0C．2D．50二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．曲线2lnyx在点(1,0)处的切线方程为__________．14．若,xy满足约束条件250,230,50,xyxyx≥≥≤则zxy的最大值为__________．15．已知51tan45πα，则tanα__________．16．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30，若SAB△的面积为8，则该圆锥的体积为__________．三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。）（一）必考题：共60分。17．（12分）记nS为等差数列{}na的前n项和，已知17a，315S．（1）求{}na的通项公式；（2）求nS，并求nS的最小值．18．（12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．数学试题第5页（共16页）数学试题第6页（共16页）为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,,17）建立模型①：ˆ30.413.5yt；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,,7）建立模型②：ˆ9917.5yt．（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．19．（12分）如图，在三棱锥PABC中，22ABBC，4PAPBPCAC，O为AC的中点．（1）证明：PO平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且2MCMB，求点C到平面POM的距离．20．（12分）设抛物线24Cyx：的焦点为F，过F且斜率为(0)kk的直线l与C交于A，B两点，||8AB．（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．21．（12分）已知函数321()(1)3fxxaxx．PAOCBM-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试题第7页（共16页）数学试题第8页（共16页）（1）若3a，求()fx的单调区间；（2）证明：()fx只有一个零点．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2cos,4sin,xθyθ（θ为参数），直线l的参数方程为1cos,2sin,xtαytα（t为参数）．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）设函数()5|||2|fxxax．（1）当1a时，求不等式()0fx≥的解集；（2）若()1fx≤，求a的取值范围．绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学答案解析一、选择题1.【答案】D【解析】2323iii2.【答案】C数学试题第9页（共16页）数学试题第10页（共16页）【解析】因为1,3,5,7A,2,3,4,5B,故3,5AB3.【答案】B【解析】fxfx,所以fx为奇函数,排除A,又x,xxee,2x.4.【答案】B【解析】2213aabaab（2-）=2.5.【答案】D【解析】记选中的2人都是女同学为事件A,则2335310CCPA.6.【答案】A【解析】3cea,22222312bcaaa,2ba.7.【答案】A【解析】5cos25C,213cos2cos121255CC,222315215()266325AB,42AB.8.【答案】B【解析】1i时,120011NT，,2i时,1111102034NT，,依次下去…2ii.9.【答案】C【解析】如图：取中点1DD中点为F,连接EF,则EFCD∥AE与CD所成的角即为AEF,在AEF△中,90AEF52AEtanAEFEF10.【答案】C【解析】cossin2cos4fxxxx,fx在0,a上单调递减,则34a.34maxa11.【答案】D【解析】设2PFr,13PFr,122FFr,又32rra,312ar,22rc,cr31cea12.【答案】C【解析】11fxfx,yfx图象关于1x对称,又是奇函数,fx是一个周期函数,且4T;又12f,2fxfx,200ff,3112fff,400ff,12,20,32,40ffff,1250122fffff二、填空题13.【答案】22yx【解析】2lnxy,2'yx1'2xy数学试题第11页（共16页）数学试题第12页（共16页）在点0,0处的切线方程为：2122yxx.14.【答案】9【解析】当zxy,过点5,4C时,z有最大值9maxz15.【答案】32【解析】∵51tan45,即1tan1tan451tan∴tan=3216.【答案】8π【解析】ABCSSSl,30,3CClSAA,2ABl.2182ABCSl,4l,4AC,23r,24122 h211122833Vrh.三、解答题17.【答案】(1)29nan(2)22()8416nSnnn,最小值为–16【解析】解：(1)设na的公差为1d由题意得133?15ad.由1–7a得.所以na的通项公式为29nan(2)由(1)得22(–8416)nSnnn.所以当4n时,nS取得最小值,最小值为–1618.【答案】(1)模型①:–30.413.519226.1y(亿元),模型②:9917.59256.5y(亿元)(2)利用模型②得到的预测值更可靠.【解析】解：(1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为–30.413.519226.1y(亿元).利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为9917.59256.5y(亿元).(2)利用模型②得到的预测值更可靠.理由如下：(i)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线–30.413.5yt上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型9917.5ty可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.(ii)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型②得到的预测值更可靠.以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.19.【答案】(1)见解析数学试题第13页（共16页）数学试题第14页（共16页）(2)455【解析】证明：(1)因为4APCPAC,O为AC的中点,所以OPAC,且OP=23.连结OB.因为22ABBCAC,所以ABC△为等腰直角三角形,且OBAC,122OBAC.由222OPOBPB知,OPOB.由OPOB,OPAC知POABC平面.(2)作CHOM,垂足为H.又由(1)可得OPCH,所以CHPOM平面.故CH的长为点C到POM平面的距离.由题设可知OC=12AC=2,23CMBC=423,45ACB.所以OM=253,CH=sinOCMCACBOM=