高一数学：1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象

1.5函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象二.合作探究sin),yxxR(一)探索对（的图象的影响.sin)3sinyxyx1.作函数（的图象，观察它与函数图象有怎样的关系？xx302322sin()x3010－10-36237653sin).3yx函数（在一个周期内的简图ox223531-1y3-π6描点作图:76二.合作探究sin),yxxR(一)探索对（的图象的影响.2sin-)4sinyxyx.作函数（的图象，观察它与函数图象有怎样的关系？2.sin).4yx-作出函数（在一个周期的闭区间上的简图00-101sin()4x-4x-x23220434547494y22Ox-114432-454749sin()4yx-描点作图:y2223Ox-114432-3-3245474966735sin()4yx-sinyxsin()3yx对于φ取不同的值情况如何呢？二.合作探究sin),yxxR(一)探索对（的图象的影响.sin)s0in.0yxyx函数（的图象可看作是把函数的图象上的所有点向左当时或向右当时平移个单位得到sin)sin)33yxyx对比函数（2与函数（的简图，通过点的运动演示,寻找规律.(0)sin)yx(二)探索对（的图象的影响.sin)3yx例如：函数（2二.合作探究列表：3.sin)3.yx作出函数（2在一个周期的闭区间上的简图02010-10sin)3x（23x2x2236-12312765y12Ox-112-6-712563描点作图：对多次取值实验演示，寻找规律：1sin)sin)11yxyx（的图象可看作是把（的图象上所有点的横坐标缩短(当时)或伸长(当时)为原来的倍（纵坐标不变10）而得.二.合作探究(0)sin)yx(二)探索对（的图象的影响.（三）A（A0)对sin()yAx.的图象的影响作函数y=3sin(2x+)的图象，3并观察与函数y=sin(2x+)的图象之间的关系.3二.合作探究归纳（三）的图象可以看作是把图象上所有点的纵坐标伸长（A＞1）或缩短（0＜A＜1)到原来的A倍(横坐标不变）而得到。值域是[-A，A]。sin()yAxsin()yx回顾练习：考虑下列函数是由函数y=sinx通过何种办法变化而来？33(1)sin;(2)sin4;(3)sin();541(4)sin();(5)sin();(6)4sin32(7)32sinyxyxyxyxyxyxyx-基础梳理一、ω、φ、A对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的作用1．y＝sin(x＋φ)的图象与y＝sinx图象的关系y＝sin(x＋φ)的图象可以看作是把y＝sinx的图象________(φ0)或________(φ0)平移|φ|个长度单位而得到．2．y＝sin(ωx＋φ)的图象与y＝sin(x＋φ)图象的关系y＝sin(ωx＋φ)的图象可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的横坐标______(ω1)或______(0ω1)到原来的____倍，纵坐标不变而得到．一、1.向左向右2.缩短伸长1ω3．y＝Asin(ωx＋φ)的图象与y＝sin(ωx＋φ)图象的关系y＝Asin(ωx＋φ)的图象可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)的图象上所有点的纵坐标伸________(A1)或________(0A1)到原来的______倍，横坐标不变而得到．4．y＝sinx的图象与y＝Asin(ωx＋φ)图象的关系伸长缩短A2．三角函数图象的变换(1)要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；(2)要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；(3)由y＝Asinωx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，需平移的单位数应为φω，而不是|φ|.二、“五点法”作图1．用“________”画函数y＝Asin(ωx＋φ)，(A0，ω0)的图象．(1)确定函数的最小正周期T＝；(2)令ωx＋φ分别等于0，，π，，2π确定这五个关键点，列表如下：x－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φωωx＋φ0π2π3π22πy0A0－A02π|ω|π23π2五点法这五个点为：P1－φω，0，P2π2－φω，A，P3π－φω，0，P43π2－φω，－A，P52π－φω，0.其中，P1，P3，P5均为零点(图象与x轴的交点)，P2是最大值点，P4是最小值点，这五个点分别称为第一、二、三、四、五个关键点．(3)描点，画出函数在一个周期内的图象，再向左、右无限扩展，就得到函数y＝Asin(ωx＋φ)，(A0，ω0)的图象．思考应用2．研究函数y＝Asin(ωx＋φ)，(A0，ω0)的性质及其利用五点法作函数的图象的主要数学思想方法是什么？解析：整体代换的数学思想方法，即把ωx＋φ看成一个整体．把函数y＝Asin(ωx＋φ)，(A0，ω0)的性质问题转化为y＝sinx的性质和图象问题去处理．三、函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质1．y＝Asin(ωx＋φ)，(A0，ω0)的单调递增区间由________≤ωx＋φ≤________(k∈Z)求得，单调减区间由________≤ωx＋φ≤________，(k∈Z)求得．2．y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴方程由ωx＋φ＝________，(k∈Z)求得，即x＝，(k∈Z)；对称中心横坐标由ωx＋φ=________(k∈Z)求得，即x＝，(k∈Z)，得对称中心坐标为，(k∈Z)．kπ＋π2－φωkπ－φωkπ－φω，03．当φ＝________，(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)是偶函数；当φ＝________，(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)是奇函数；当φ≠________，φ≠________，(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)是________函数；4．在物理学中，y＝Asin(ωx＋φ)，(A0，ω0)，x∈[0，＋∞)表示简谐运动的运动方程，这时参数A，ω，φ有如下物理意义：(1)A称为简谐运动的________，它表示做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离．(2)T＝称为简谐运动的________，它表示做简谐运动的物体往复运动一次所需的时间(亦即函数y＝Asin(ωx＋φ)，(A0，ω0)的最小正周期)．(3)f＝称为简谐运动的________，它表示单位时间内做简谐运动的物体往复运动的次数．(4)ωx＋φ叫做相位，当x＝0时的相位φ称为________．2πω1T＝ω2π周期频率初相思考应用3．y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[1，＋∞]中，A0，ω0时，物理意义变化了吗？解析：振幅应为－A，周期为T＝2π－ω，φ不是初相，应先用诱导公式化为正数后，再确定初相φ，如y＝－sin2x－π3的初相φ≠－π3因为A＝－10，y＝－sin2x－π3＝sinπ＋2x－π3＝sin2x＋2π3，初相为φ＝2π3.用“五点法”画出函数y＝2sin的图象，并指出函数的单调区间．分析：注意“五点法”的作图步骤：列表、描点、成图．解析：列表如下：2x＋π32x＋π30π2π3π22πx－π6π12π37π125π6y020－20“五点法”作函数图象及相关性质问题描点、成图．图略．由图象知在一个周期内，函数在区间π12，7π12上单调递减，又因为函数的周期为π，所以函数的单调递减区间是kπ＋π12，kπ＋7π12，(k∈Z)．同理，函数的单调递增区间为kπ－5π12，kπ＋π12，(k∈Z)．点评：“五点法”作图，要注意五个关键点：(0,0)，π2，1，(π，0)，3π2，－1，(2π，0)，使式中的ωx＋φ分别取0，π2，π，3π2，2π，然后求出相应的x，y值，作出图象．跟踪训练1．作函数f(x)＝2sin2x－π4在长度为一个周期的区间上的图象，并求函数f(x)在区间π8，3π4上的最大值、最小值．解析：列表如下，2x－π40π2π3π22πxπ83π85π87π89π8y020－20作图如下，由图象得函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为f＝－1.π8，3π423π42．(2010年湛江二中期中)若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R其中ω0，|φ|π2的最小正周期是π，且f(0)＝3，则()A．ω＝2，φ＝π6B．ω＝12，φ＝π3C．ω＝2，φ＝π3D．ω＝12，φ＝π6解析：由最小正周期有：T＝＝π，∴ω＝2，得f(x)＝2sin(2x＋φ)，又由f(0)＝，得2sinφ＝⇒sinφ＝，且|φ|，故得φ＝.故答案选C.答案：C2πω3323π2π3指出将函数y＝sinx的图象变换为函数y＝sin的图象的两种方法．2x＋π3分析：考查函数图象的变换问题．两种变换途径为：(1)x→x＋π3→2x＋π3；(2)x→2x→2x＋π6＝2x＋π3.函数图象的变换问题点评：在图象变换时，一般先平移后伸缩，较为简单．1．(2010年湛江二中期中)为了得到函数y＝3sin的图象，只需要把函y＝3sin2x的图象上所有的点()A．向右平移B．向右平移C．向左平移D．向左平移2x－π3π3π6π3π6解析：由于y＝3sin2x－π3＝3sin2x－π6，故选择B.答案：BA．向左平移1个单位B．向右平移1个单位答案CC．向左平移12个单位D．向右平移12个单位3．(2012·安徽)要得到函数y＝cos(2x＋1)的图象，只要将函数y＝cos2x的图象()．解析将y＝cos2x的图象向左平移12个单位后，可得到y＝cos(2x＋1)的图象．2．把函数y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是()π312A．y＝sin2x－π3，x∈RB．y＝sinx2＋π6，x∈RC．y＝sin2x＋π3，x∈RD．y＝sin2x＋2π3，x∈RC3．把函数y＝cosx的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的两倍，然后把图象向左平移个单位，则所得图象表示的函数的解析式为()A．y＝2sin2xB．y＝－2sin2xC．y＝2cosD．y＝2cosπ42x＋π4x2＋π4解析：把函数y＝cosx的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，所得图象表示的函数的解析式为y＝cos2x，再把纵坐标扩大到原来的两倍，所得图象表示的函数的解析式为y＝2cos2x，然后把图象向左平移个单位，所得图象表示的函数的解析式为y＝2cos2.故答案选B.答案：Bπ4x＋π44．把y＝sinx的图象向左平移个单位，得到函数________的图象；再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，得到函数________的图象．π3解析：向左平移π3个单位，即以x＋π3代x，得到函数y＝sinx＋π3，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，即以12x代x，得到函数：y＝sin12x＋π3.答案：y＝sinx＋π3y＝sin12x＋π34．(2013·九江质检)将函数y＝sin6x＋π4的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移π8个单位，得到的函数的一个对称