2018届高考数学(理)大一轮复习教师用书第十一章第六节二项分布与正态分布Word版含解析

第六节二项分布与正态分布突破点(一)事件的相互独立性及条件概率基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．条件概率(1)定义设A，B为两个事件，且P(A)0，称P(B|A)＝PABPA为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．(2)性质①0≤P(B|A)≤1；②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．2．事件的相互独立性(1)定义设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．(2)性质①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(AB)＝P(A)P(B)．②如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立．考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求条件概率解决条件概率问题的步骤第一步，判断是否为条件概率，若题目中出现“已知”“在……前提下”等字眼，一般为条件概率．题目中若没有出现上述字眼，但已知事件的出现影响所求事件的概率时，也需注意是否为条件概率．若为条件概率，则进行第二步．第二步，计算概率，这里有两种思路．思路一：缩减样本空间法计算条件概率．如求P(A|B)，可分别求出事件B，AB包含的基本事件的个数，再利用公式P(A|B)＝nABnB计算．本节主要包括3个知识点：1.事件的相互独立性及条件概率；2.独立重复试验与二项分布；3.正态分布.思路二：直接利用条件概率的计算公式计算条件概率，即先分别计算出P(AB)，P(B)，再利用公式P(A|B)＝PABPB计算．[例1](1)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A．0.8B．0.75C．0.6D．0.45(2)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和为偶数”，事件B为“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝()A.18B.14C.25D.12(3)如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则P(B|A)＝________.[解析](1)根据条件概率公式P(B|A)＝PABPA，可得所求概率为0.60.75＝0.8.(2)P(A)＝C23＋C22C25＝25，P(B)＝C22C25＝110，又A⊇B，则P(AB)＝P(B)＝110，所以P(B|A)＝PABPA＝PBPA＝14.(3)由题意可得，事件A发生的概率P(A)＝S正方形EFGHS圆O＝2×2π×12＝2π.事件AB表示“豆子落在△EOH内”，则P(AB)＝S△EOHS圆O＝12×12π×12＝12π.故P(B|A)＝PABPA＝12π2π＝14.[答案](1)A(2)B(3)14[易错提醒]要注意P(B|A)与P(A|B)的不同：前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率．事件的相互独立性1．求相互独立事件的步骤第一步，先用字母表示出事件，再分析题中涉及的事件，并把题中涉及的事件分为若干个彼此互斥的事件的和；第二步，求出这些彼此互斥的事件的概率；第三步，根据互斥事件的概率计算公式求出结果．此外，也可以从对立事件入手计算概率．2．相互独立事件概率的求法与相互独立事件A，B有关的概率的计算公式如下表：事件A，B相互独立概率计算公式A，B同时发生P(AB)＝P(A)P(B)A，B同时不发生P(A－B－)＝P(A－)P(B－)＝[1－P(A)][1－P(B)]＝1－P(A)－P(B)＋P(A)P(B)A，B至少有一个不发生P＝1－P(AB)＝1－P(A)P(B)A，B至少有一个发生P＝1－P(A－B－)＝1－P(A－)P(B－)＝P(A)＋P(B)－P(A)P(B)A，B恰有一个发生P＝P(AB－＋A－B)＝P(A)P(B－)＋P(A－)P(B)＝P(A)＋P(B)－2P(A)P(B)[例2](2016·山东高考)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E(X)．解：(1)记事件A：“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”，记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”，记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”．由题意，E＝ABCD＋ABCD＋ABCD＋ABCD＋ABCD，由事件的独立性与互斥性，得P(E)＝P(ABCD)＋P(ABCD)＋P(ABCD)＋P(ABCD)＋P(ABCD)＝P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(A)·P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(D)＝34×23×34×23＋2×14×23×34×23＋34×13×34×23＝23，所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23.(2)由题意，随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得P(X＝0)＝14×13×14×13＝1144，P(X＝1)＝2×34×13×14×13＋14×23×14×13＝10144＝572，P(X＝2)＝34×13×34×13＋34×13×14×23＋14×23×34×13＋14×23×14×23＝25144，P(X＝3)＝34×23×14×13＋14×13×34×23＝12144＝112，P(X＝4)＝2×34×23×34×13＋34×23×14×23＝60144＝512，P(X＝6)＝34×23×34×23＝36144＝14.可得随机变量X的分布列为X012346P11445722514411251214所以数学期望E(X)＝0×1144＋1×572＋2×25144＋3×112＋4×512＋6×14＝236.能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．[考点一]抛掷一枚均匀的骰子所得的样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6}，令事件A＝{2,3,5}，B＝{1,2,4,5,6}，则P(A|B)等于()A.25B.12C.35D.45解析：选A在事件B发生的条件下研究事件A，事件B总共有5种结果，而事件AB只含有其中的2种，所以P(A|B)＝nABnB＝25.2．[考点二]两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为()A.12B.512C.14D.16解析：选B恰有一个一等品即一个是一等品，另一个不是一等品，则情形为两种，∴P＝23×1－34＋1－23×34＝512.3．[考点一]甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率为()A．0.45B．0.6C．0.65D．0.75解析：选D设目标被击中为事件B，目标被甲击中为事件A，则由P(B)＝0.6×0.5＋0.4×0.5＋0.6×0.5＝0.8，得P(A|B)＝PABPB＝PAPB＝0.60.8＝0.75.4．[考点二]事件A，B，C相互独立，如果P(AB)＝16，P(BC)＝18，P(ABC)＝18，则P(B)＝________，P(AB)＝________.解析：联立PA·PB＝16，①PB·PC＝18，②PA·PB·PC＝18，③由③÷①得P(C)＝34，可得P(C)＝1－P(C)＝1－34＝14.将P(C)＝14代入②得P(B)＝12，所以P(B)＝1－P(B)＝12，由①可得P(A)＝13.所以P(AB)＝P(A)·P(B)＝23×12＝13.答案：12135．[考点二]为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过3小时．(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望E(ξ)．解：(1)若两人所付费用相同，则相同的费用可能为0元，40元，80元，两人都付0元的概率为P1＝14×16＝124，两人都付40元的概率为P2＝12×23＝13，两人都付80元的概率为P3＝1－14－12×1－16－23＝14×16＝124，则两人所付费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝124＋13＋124＝512.(2)由题意得，ξ所有可能的取值为0,40,80,120,160.P(ξ＝0)＝14×16＝124，P(ξ＝40)＝14×23＋12×16＝14，P(ξ＝80)＝14×16＋12×23＋14×16＝512，P(ξ＝120)＝12×16＋14×23＝14，P(ξ＝160)＝14×16＝124，ξ的分布列为ξ04080120160P1241451214124E(ξ)＝0×124＋40×14＋80×512＋120×14＋160×124＝80.突破点(二)独立重复试验与二项分布基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．独立重复试验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．2．二项分布在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)．考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求独立重复试验的概率[例1](1)小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是()A.49B.29C.427D.227(2)位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是()A.125B．C25125C．C35123D．C25C35125[解析](1)所求概率P＝C13·131·1－133－1＝49.(2)移动五次后位于点(2,3)，所以质点P必须向右移动两次，向上移动三次．故其概率为C35123·122＝C35125＝C25125.[答案](1)A(2)B[易错提醒](1)“恰好发生k次”与“有指定的k次发生”不同：恰好发生k次的概率为Pn(k)＝Cknpk(1－p)n－k，有指定的k次发生的概率为P＝pk(1－p)n－k；(2)Pn(k)＝Cknpk(1－p)n－k恰好是[(1－p)＋p]n的第k＋1项Tk＋1＝Ckn(1－p)n－kpk.二项分布的简单应用1．二项分布的简单应用是求n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率．解题的一般思路是：根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n，p→写出二项分布的分布列→将k值代入求解概率．2．若离散型随机变量X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)，即其均值和方差的求解既可以利用定义，也可以直接代入上述公式．[例2]某商场举行有奖促销活动，顾客购买