零点(导数)

1.设a1，函数f(x)＝(1＋x2)ex－a.(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)在(－∞，＋∞)上仅有一个零点．解：(1)f(x)的定义域为R，由导数公式知f′(x)＝2xex＋(1＋x2)ex＝(x＋1)2ex，x∈R.∵对任意x∈R，都有f′(x)≥0，∴f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间．(2)证明：由(1)知f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，且f(0)＝1－a0，f(a－1)＝aea－1－a＝a(ea－1－1)．∵a1，∴a－10，∴a－10，∴ea－11，∴ea－1－10，故f(a－1)0，∴存在x0∈(0，a－1)使得f(x0)＝0.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是单调函数，∴f(x)在(－∞，＋∞)上仅有一个零点．2．设函数f(x)＝12x2－ax－klnx(a∈R，k∈R)．(1)若k＝1，且f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；(2)若a＝0，且k≥e，求证：f(x)在区间(1，e]上有且仅有一个零点．解：(1)∵f(x)＝12x2－ax－klnx，∴f′(x)＝x－kx－a，若k＝1，且f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，则f′(x)＝x－1x－a≥0对任意的x≥1恒成立，即a≤x－1x对任意的x≥1恒成立．∴a≤x－1xmin＝0，即实数a的取值范围为(－∞，0]．(2)证明：当a＝0时，f(x)＝12x2－klnx，∴f′(x)＝x－kx＝x＋kx－kx，由f′(x)0，得0xk；由f′(x)0，得xk.∴f(x)在区间(0，k]上单调递减，在区间(k，＋∞)上单调递增．当k＝e时，f(x)在区间(0，e]上单调递减，且f(e)＝12e－elne＝0，∴f(x)在区间(1，e]上有且仅有一个零点．当ke时，ke，∴f(x)在区间(1，e]上单调递减，又f(1)＝120，f(e)＝12e－klne＝e－k20，∴f(x)在区间(1，e]上有且仅有一个零点．综上，若a＝0，且k≥e，则f(x)在区间(1，e]上有且仅有一个零点．2．设函数f(x)＝12x2－ax－klnx(a∈R，k∈R)．(1)若k＝1，且f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；(2)若a＝0，且k≥e，求证：f(x)在区间(1，e]上有且仅有一个零点．、3.已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝x＋x，其中e是自然对数的底数，e＝2.71828….(1)证明：函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间(1,2)上有零点；(2)求方程f(x)＝g(x)的根的个数，并说明理由．[解](1)证明：由h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－1－x－x得，h(1)＝e－30，h(2)＝e2－3－20，且h(x)在区间(1,2)上是连续的，所以函数h(x)在区间(1,2)上有零点．(2)由(1)得h(x)＝ex－1－x－x.由g(x)＝x＋x知，x∈[0，＋∞)，而h(0)＝0，则x＝0为h(x)的一个零点，而h(x)在(1,2)内有零点，因此h(x)在[0，＋∞)上至少有两个零点．因为h′(x)＝ex－12x－12－1，记φ(x)＝ex－12x－12－1，则φ′(x)＝ex＋14x－32.当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)0，因此φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，则φ(x)在(0，＋∞)上至多只有一个零点，即h(x)在[0，＋∞)上至多有两个零点．所以方程f(x)＝g(x)的根的个数为2.