高中数学选修2-2-第一章-导数及其应用

高中数学选修2-2第一章导数及其应用知识网络微积分导数定积分概念运算应用函数的瞬时变化率运动的瞬时速度曲线切线的斜率基本初等函数求导导数四则运算法则简单复合函数求导函数的单调性函数的极值与最值曲线的切线变速运动的速度最优化问题定理概念曲边梯形的面积变力做功微积分基本定理基本定理的应用函数的平均变化率运动的平均速度曲线割线的斜率要点归纳一、导数的概念与运算1、导数的概念及其几何意义xxfxxfxyxfyxxxx)()(limlim)(|0000002、基本初等函数的导数c)(nx)(sinx)(cosx)(xe)(xa)(lnx)(logxa01nnxxcosxsinxeaaxlnx1axln1要点归纳3、导数的运算法则)()(])()([xgxfxgxf)()()()(])()([xgxfxgxfxgxf2)]([)()()()(])()([xgxgxfxgxfxgxf4、简单复合函数的导数设,则复合函数的导数为)(),(ufyxu))((xfy)()(xufyx要点归纳二、导数的应用1、讨论函数的单调性2、求函数的极值与最值3、解决最优化问题函数y=f(x)在区间(a,b)上可导0)(xf0)(xf函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减求导→单调性→极值→最值审题→建模→解模→检验→答题要点归纳三、定积分及其应用1、定积分的概念(曲边梯形的面积)2、定积分的性质,k为常数babadxxfkdxxkf)()(bababadxxgdxxfdxxgxf)()()]()([,a＜c＜bbccabadxxfdxxfdxxf)()()(niinbafnabdxxf1)(lim)(=S曲边梯形要点归纳3、微积分基本定理(牛顿-莱布尼兹公式)如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,且)()(xfxF,那么)()(|)()(aFbFxFdxxfbaba4、定积分的应用(1)定积分几何意义的应用:(2)定积分在物理中的应用:求由几条曲线围成的平面图形的面积.作变速直线运动的物体所经过的路程S,等于其速度函数v=v(t)在时间[a,b]上的定积分.即badttvS)(例题选讲例1一个物体在某一受力状态下的位移S与运动时间t的关系为S=t3.(1)利用导数的定义求;(2)求该物体在t=2时的瞬时速度v(2).)(tS33)()()(ttttSttSS])(33[22ttttt(1)∵∴22)(33tttttS∴222003))(33(limlim)(ttttttStStt(2)1223)2()2(2Sv例题选讲例2求下列函数的导数:(1)(2)(3)23xxxxy)3)(2)(1(xxxy)4cos21(2sin2xxy123225xxy61232xxyxycos21例3已知函数.16)(3xxxf(1)求曲线在点(2,-6)处的切线方程;)(xfy(2)直线l为曲线的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标.)(xfy3213xy(1)(2),13xy(-2,-26)转练习一例题选讲例4求下列函数的单调区间:(1)522123xxxy(2)xxyln22增减),1(),32,().1,32(),21().21,0(增减例5求下列函数的极值:(1)2122xxy(2)1)1(32xy(1)当x=-1时,有极小值-3;当x=1时,有极大值-1.(2)当x=0时,有极小值0;没有极大值.转练习二例题选讲例6计算下列定积分:(1)2023)34(dxxxx(2)已知,求]3,2(,2]2,1(,1]1,0[,)(xxxxxfx30)(dxxf=22=2ln435例7求曲线及所围成的平面图形的面积.0],3,0[,412xxxy49y.29241493490302dyydxxS转练习三练习一1.函数的导数是().)33cos()(xxfA.B.C.D.)33sin(3)(xxf)33cos(3)(xxf)33sin()(xxf)33sin()33()(xxxfA2.曲线y=x3在点P处的切线斜率为3,则点P的坐标为().A.(-2,-8)B.(-1,-1)或(1,1))81,21(BC.(2,8)D.4.求下列函数的导数:232lnxxy(1)(2)xxxysincos(3)232xxey)232(31xxyxxysin232)32(xxexy回例43.曲线和y=x2在它们的交点处的两条切线与x轴围成的三角形的面积为.xy143(续练习一)练习二1.求下列函数的单调递减区间:(1)14423xxxy(2)xxyln212(3)342xxey)2,32()2,()1,0(2.求函数在上的最大值和最小值.241)1ln()(xxxf当x=1时,函数取最大值;412ln当x=0时,函数取最小值0.2,0(续练习二)3.用长度为18m的钢条围成一个长方体形状的框架要求长方体长与宽的比为2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？解:设长方体的宽为xm,则长为2xm,高为xx32941218(m))230(x32269)329(2)(xxxxxV(m3))1(181818)(2xxxxxV……当x=1时,V(x)取得最大值.则当长方体的长为2m,宽为1m,高为1.5m时体积最大为3m3.回例6练习三1.计算下列定积分:(1)(2)20sinxdx202|1|dxx2.若,则正数m的值为.902mdxx30|cos20x2)1()1(212102dxxdxxOxy13.求曲线y=x2、x轴与曲线y=x2在x=1处的切线所围成的平面图形的面积.12141102dxxS