1.4生活中的优化问题(带答案)

1.4生活中的优化问题举例1．要制做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为()A.33cmB．1033cmC.1633cmD．2033cm[答案]D2．用总长为6m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为3：4，那么容器容积最大时，高为()A．0.5mB．1mC．0.8mD．1.5m[答案]A[解析]设容器底面相邻两边长分别为3xm、4xm，则高为6－12x－16x4＝32－7x(m)，容积V＝3x·4x·32－7x＝18x2－84x30x314，V′＝36x－252x2，由V′＝0得x＝17或x＝0(舍去)．x∈0，17时，V′0，x∈17，314时，V′0，所以在x＝17处，V有最大值，此时高为0.5m.3．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为()A．RB．2RC.43RD．34R[答案]C[解析]设圆锥高为h，底面半径为r，则R2＝(h－R)2＋r2，∴r2＝2Rh－h2，∴V＝13πr2h＝π3h(2Rh－h2)＝23πRh2－π3h3，V′＝43πRh－πh2.令V′＝0得h＝43R.当0h43R时，V′0；当4R3h2R时，V′0.因此当h＝43R时，圆锥体积最大．4．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝13x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是()A．8B．203C．－1D．－8[答案]C[解析]瞬时变化率即为f′(x)＝x2－2x为二次函数，且f′(x)＝(x－1)2－1，又x∈[0,5]，故x＝1时，f′(x)min＝－1.5．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1200＋275x3，又产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为__________件．[答案]25[解析]设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，由题知a＝500x.总利润y＝500x－275x3－1200(x0)，y′＝250x－225x2，由y′＝0，得x＝25，x∈(0,25)时，y′0，x∈(25，＋∞)时，y′0，所以x＝25时，y取最大值．6.如图所示，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积一定，窗户周长最小时，x与h的比为________________．[答案]1：1[解析]设窗户面积为S，周长为L，则S＝π2x2＋2hx，h＝S2x－π4x，∴窗户周长L＝πx＋2x＋2h＝π2x＋2x＋Sx，∴L′＝π2＋2－Sx2.由L′＝0，得x＝2Sπ＋4，x∈0，2Sπ＋4时，L′0，x∈2Sπ＋4，＋∞时，L′0，∴当x＝2Sπ＋4时，L取最小值，此时hx＝2S－πx24x2＝2S4x2－π4＝π＋44－π4＝1.7．永泰某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x(x≥10)万元之间满足：y＝f(x)＝ax2＋10150x－blnx10，a，b为常数．当x＝10万元时，y＝19.2万元；当x＝30万元时，y＝50.5万元．(参考数据：ln2＝0.7，ln3＝1.1，ln5＝1.6)．(1)求f(x)的解析式；(2)求该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值．(利润＝旅游增加值－投入)．[解析](1)由条件可得a×102＋10150×10－bln1＝19.2，a×302＋10150×30－bln3＝50.5，解得a＝－1100，b＝1，则f(x)＝－x2100＋10150x－lnx10(x≥10)．(2)T(x)＝f(x)－x＝－x2100＋5150x－lnx10(x≥10)，则T′(x)＝－x50＋5150－1x＝－x－1x－5050x，令T′(x)＝0，则x＝1(舍)或x＝50，当x∈(10,50)时，T′(x)0，因此T(x)在(10,50)上是增函数；当x∈(50，＋∞)时，T′(x)0，因此T(x)在(50，＋∞)上是减函数，∴当x＝50时，T(x)取最大值．T(50)＝－502100＋5150×50－ln5010＝24.4(万元)．8．若一球的半径为r，作内接于球的圆柱，则圆柱侧面积的最大值为()A．2πr2B．πr2C．4πr2D．12πr2[答案]A[解析]设内接圆柱的底面半径为r1，高为t，则S＝2πr1t＝2πr12r2－r21＝4πr1r2－r21.∴S＝4πr2r21－r41.令(r2r21－r41)′＝0得r1＝22r.此时S＝4π·22r·r2－22r2＝4π·22r·22r＝2πr2.9．某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：p＝3x4x＋32(x∈N＋)．(1)写出该厂的日盈利额T(元)用日产量x(件)表示的函数关系式；(2)为获最大日盈利，该厂的日产量应定为多少件？[解析](1)由意可知次品率p＝日产次品数/日产量，每天生产x件，次品数为xp，正品数为x(1－p)．因为次品率p＝3x4x＋32，当每天生产x件时，有x·3x4x＋32件次品，有x1－3x4x＋32件正品．所以T＝200x1－3x4x＋32－100x·3x4x＋32＝25·64x－x2x＋8(x∈N＋)．(2)T′＝－25·x＋32·x－16x＋82，由T′＝0得x＝16或x＝－32(舍去)．当0x≤16时，T′≥0；当x≥16时，T′≤0；所以当x＝16时，T最大．即该厂的日产量定为16件，能获得最大日盈利．10．时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y(单位：千套)与销售价格x(单位：元/套)满足的关系式y＝mx－2＋4(x－6)2，其中2x6，m为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套．(1)求m的值；(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(保留1位小数)[解析](1)因为x＝4时，y＝21，代入关系式y＝mx－2＋4(x－6)2，得m2＋16＝21，解得m＝10.(2)由(1)可知，套题每日的销售量y＝10x－2＋4(x－6)2，所以每日销售套题所获得的利润f(x)＝(x－2)[10x－2＋4(x－6)2]＝10＋4(x－6)2(x－2)＝4x3－56x2＋240x－278(2x6)，从而f′(x)＝12x2－112x＋240＝4(3x－10)(x－6)(2x6)．令f′(x)＝0，得x＝103，且在(0，103)上，f′(x)0，函数f(x)单调递增；在(103，6)上，f′(x)0，函数f(x)单调递减，所以x＝103是函数f(x)在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，11．某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m2的三级污水处理池(平面图如图所示)．如果池四周围墙建造单价为400元/m2，中间两道隔墙建造单价为248元/m2，池底建造单价为80元/m2，水池所有墙的厚度忽视不计.(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该地的长和宽都不能超过16m，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．[解析]设污水处理池的长为xm，则宽为200xm，再设总造价为y元，则有(1)y＝2x×400＋200x×2×400＋248×2×200x＋80×200＝800x＋259200x＋16000≥2800x·259200x＋16000＝2×14400＋16000＝44800，当且仅当800x＝259200x，即x＝18(m)时，y取得最小值．∴当污水处理池的长为18m，宽为1009m时总造价最低，为44800元．(2)∵0x≤16,0200x≤16，∴12.5≤x≤16，x≠18，由(1)知，y＝φ(x)＝800(x＋324x)＋16000(12.5≤x≤16)．y′＝φ′(x)＝800(1－324x2)，当12.5≤x≤16时，y′＝800·x2－324x20，∴φ(x)在[12.5,16]上为减函数．从而φ(x)≥φ(16)＝45000.∴当长为16m、宽为12.5m时，总造价最低，最低造价为45000元.12．如图所示，在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它沿虚线折起，做成一个无盖的长方体箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？解设箱子的底边长为xcm，则箱子高h＝60－x2cm.箱子容积V＝V(x)＝x2h＝60x2－x32(0x60)．求V(x)的导数，得V′(x)＝60x－32x2＝0，解得x1＝0(不合题意，舍去)，x2＝40.当x在(0，60)内变化时，导数V′(x)的正负如下表：x(0，40)40(40，60)V′(x)＋0－因此在x＝40处，函数V(x)取得极大值，并且这个极大值就是函数V(x)的最大值．将x＝40代入V(x)得最大容积V＝402×60－402＝16000(cm3)．所以，箱子底边长取40cm时，容积最大，最大容积为16000cm3.13．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？解(1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，即n＝mx－1.所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋x)x＝256mx－1＋mx(2＋x)x＝256mx＋mx＋2m－256.(2)由(1)知，f′(x)＝－256mx2＋12mx－12＝m2x2(x32－512)．令f′(x)＝0，得x32＝512，所以x＝64.当0x64时，f′(x)0，f(x)在区间(0，64)内为减函数；当64x640时，f′(x)0，f(x)在区间(64，640)内为增函数，所以f(x)在x＝64处取得最小值．此时n＝mx－1＝64064－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y最小．