1.1.2导数的几何意义

1.1.3导数的几何意义自学导引1．导数的几何意义(1)割线斜率与切线斜率设函数y＝f(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx.当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A处的．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.切线f′(x0)(2)导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是．相应地，切线方程为．斜率f′(x0)y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)几何画板2．导函数的概念当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，当x变化时，f′(x)是x的一个函数，我们称f′(x)是f(x)的导函数(简称导数)．f′(x)也记作y′，即f′(x)＝y′＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx.想一想：f′(x0)与f′(x)的区别是什么？提示f′(x)是函数f(x)的导函数，简称导数，是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与x0，Δx无关；f′(x0)表示的是函数f(x)在x＝x0处的导数，是对一个点而言的，它是一个确定的值，与给定的函数及x0的位置有关，而与Δx无关．名师点睛1．导数的几何意义函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率k，即k＝f′(x0)＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.注意：(1)若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．(2)显然f′(x0)0，切线的倾斜角为锐角；f′(x0)0，切线的倾斜角为钝角；f′(x0)＝0，切线与x轴平行．2．导函数如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x处都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)内可导．在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新函数，我们把这个函数称为函数f(x)的导函数，简称为导数．注意：(1)函数在一点处的导数，就是该点的函数值的改变量与自变量的改变量的比值的极限，它是一个数值，不是变数．(2)函数的导数，是对某一区间内任意一点x而言的，就是函数f(x)的导数f′(x)．(3)函数y＝f(x)在x0处的导数，就是导函数f′(x)在点x＝x0处的导数值．3．利用导数的几何意义求过某点的切线方程(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，则先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(2)若题中所给的点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．题型一已知过曲线上一点求切线方程【例1】求曲线f(x)＝x3＋2x－1在点P(1,2)处的切线方程．[思路探索]经验证P(1,2)在曲线f(x)＝x3＋2x－1上，求出f(x)在x＝1处的导数f′(1)，由导数的几何意义即可写出曲线在P(1,2)处的切线方程．解易证得点P(1,2)在曲线上，由y＝x3＋2x－1得Δy＝(x＋Δx)3＋2(x＋Δx)－1－x3－2x＋1＝(3x2＋2)Δx＋3x·(Δx)2＋(Δx)3，ΔyΔx＝3x2＋2＋3x·Δx＋(Δx)2，当Δx→0时，3x2＋2＋3x·Δx＋(Δx)2→3x2＋2，即f′(x)＝3x2＋2，所以f′(1)＝5，故点P处的切线斜率为k＝5，∴点P处的切线方程为y－2＝5(x－1)，即5x－y－3＝0.【变式1】求过曲线y＝1x在点2，12处的切线方程．解因为limΔx→0f2＋Δx－f2Δx＝limΔx→012＋Δx－12Δx＝limΔx→0－122＋Δx＝－14.所以这条曲线在点2，12处的切线斜率为－14，由直线的点斜式方程可得切线方程为y－12＝－14(x－2)，即x＋4y－4＝0.题型二求过曲线外一点的切线方程【例2】求过点A(2,0)且与曲线y＝1x相切的直线方程．[思路探索]点(2,0)不在曲线上，所以此点不是切点，可以先设出切点坐标，建立关于切点坐标的两个方程，求出切点坐标．解易知点(2,0)不在曲线上，故设切点为P(x0，y0)，由y′|x＝x0＝limΔx→01x0＋Δx－1x0Δx＝－1x20得所求直线方程为y－y0＝－1x20(x－x0)．由点(2,0)在直线上，得x20y0＝2－x0，再由P(x0，y0)在曲线上，得x0y0＝1，联立可解得x0＝1，y0＝1，所求直线方程为x＋y－2＝0.【变式2】试求过点P(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程．解由已知得ΔyΔx＝2x＋Δx，∴limΔx→0ΔyΔx＝2x，即y′＝2x.设所求切线的切点为A(x0，y0)，∵点A在曲线y＝x2上，∴y0＝x20，又∵A是切点，∴过点A的切线的斜率y′|x＝x0＝2x0.∴切线方程：y－x20＝2x0(x－x0)．又∵切线过点(3,5)，即5－x20＝2x0(3－x0)，∴有x20－6x0＋5＝0，x0＝1或x0＝5，∴切点为(1,1)或(5,25)，∴所求方程为：2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.题型三求切点坐标【例3】已知抛物线y＝2x2＋1，求(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°？(2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(3)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?[规范解答]设点的坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.∴ΔyΔx＝4x0＋2Δx.当Δx无限趋近于零时，ΔyΔx无限趋近于4x0.即f′(x0)＝4x0.(3分)(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，∴斜率为tan45°＝1.(4分)即f′(x0)＝4x0＝1得x0＝14，该点为14，98.(6分)(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，∴斜率为4，(7分)即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3)．(9分)(3)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，∴斜率为8，(10分)即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，该点为(2,9)．(12分)【变式3】在曲线y＝x2上过哪一点的切线，(1)平行于直线y＝4x－5；(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；(3)与x轴成135°的倾斜角．解f′(x)＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx＝limΔx→0x＋Δx2－x2Δx＝2x，设P(x0，y0)是满足条件的点．(1)因为切线与直线y＝4x－5平行，所以2x0＝4，x0＝2，y0＝4，即P(2,4)是满足条件的点．(2)因为切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，所以2x0·13＝－1，得x0＝－32，y0＝94，即P－32，94是满足条件的点．(3)因为切线与x轴成135°的倾斜角，所以其斜率为－1.即2x0＝－1，得x0＝－12，y0＝14，即P－12，14是满足条件的点．方法技巧数形结合思想在导数的几何意义中的应用数形结合解题就是解决与几何图形有关的问题时，将图形信息转换成代数的信息，利用数量特征，将其转化为代数问题．在解决与数量有关的问题时根据数量结构特征，构造出相应的几何图形，即化为几何问题，从而利用数形的各自优势尽快得到解题途径，这对提高分析和解决问题的能力将有极大的帮助．导数的几何意义就是切线的斜率，涉及此类问题可借助数形结合思想来解决．【示例】如图所示，物体运动的位移随时间变化的函数f(t)＝－t2＋4t＋5的图象，试根据图象，描述、比较曲线f(t)在t＝－1,2,3,4附近的变化情况．[思路分析]由于函数y＝f(t)在某处的导数，就是曲线y＝f(t)在某处的切线的斜率，因此可借助图象上某点切线斜率的大小来说明曲线在某点附近的变化情况．解用曲线f(t)在－1,2,3,4处的切线斜率的大小来刻画曲线f(t)在－1,2,3,4附近的变化情况．(1)当t＝－1时，曲线f(t)在－1处的切线l1的斜率f′(－1)0，在t＝－1附近曲线上升，即函数f(t)在t＝t1附近单调递增．(2)当t＝2时，曲线f(t)在2处的切线l2平行于t轴，f′(2)＝0，说明在t＝2附近曲线比较平坦，几乎没有升降．(3)当t＝3,4时，曲线f(t)在3,4处的切线l3，l4的斜率f′(3)0，f′(4)0，说明在t＝3,4附近曲线下降，即函数f(t)在3,4附近都是单调递减的．但从图象可以看出，0f′(3)f′(4)，直线l3的倾斜程度小于l4的倾斜程度，这说明曲线f(t)在t＝3附近比t＝4附近下降的缓慢．方法点评导数的几何意义就是切线的斜率．借助图象，用斜率的正负及大小来说明曲线的变化情况既科学又直观，注意归纳总结．