中考专题复习等腰三角形.

专题复习等腰三角形结合近几年中考试题分析，对等腰三角形的内容考查主要有以下特点：1.命题方式为对等腰三角形的性质、判定及三角形全等、线段垂直平分线进行综合考查，题型以选择、填空或解答题为主；2.命题的热点为等边三角形的性质的综合运用.1、已知：如图，△ABC中，AB=AC，（1）∠B=50°，则∠C=________ABC50°2、已知：△ABC中，∠B=∠C，AB=5cm，则AC=_____cm5等腰三角形两条腰相等（在同一三角形中，等角对等边)等腰三角形两个底角相等（在同一三角形中，等边对等角)3、已知：△ABC中，AB=AC,∠B=50°，D为BC的中点，连结AD，则∠DAC=__________，BD=______40°ABCD等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合（等腰三角形三线合一）等腰三角形是轴对称图形，底边的垂直平分线线是它的对称轴.CD4、已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠B=60°，则△ABC为_____三角形ABC等边如果AD⊥BC,则∠BAD=_____有一个角等于600的等腰三角形是等边三角形。三边相等的三角形是等边三角形。三个内角都相等的三角形是等边三角形。D30°等边三角形的内角都相等，且等于600.等边三角形的三条边都相等。等边三角形有______条对称轴。31、等腰三角形有两边长分别为3cm、4cm，则周长为cm。2、等腰三角形有一个内角为70°，则一个底角为度。10或1170或55若两边长改为2cm、4cm呢?若改为一个内角为100°呢?10cm4003、(2012中考变式题)等腰三角形的底和腰是方程x2－6x＋8＝0的两根，则这个三角形的周长为()A．8B．10C．8或10D．不能确定点拨：本组题考查了等腰三角形中的分类讨论思想4.若等腰三角形的一个内角是50°,则它一腰上的高与底边所夹的角为().25°或４０°基础演练B等腰三角形中分类讨论思想的应用对于等腰三角形中边、角的有关计算与证明，往往运用到数学的分类讨论思想:1、当涉及到等腰三角形的边时，首先看某边是腰还是底，并且在求出了三边的长之后，还要验证是否满足三角形的三边关系；2、等腰三角形的顶角可以为锐角、直角、钝角，而其底角只能为锐角，在没有指明等腰三角形的顶角还是底角时，应注意分类讨论，以免漏解.CBA4321OECBA4321O（1）过O作OE∥BC，交AB于E，你能得到哪些结论？ECBA21O基本构图:角平分线+平行线构成等腰三角形.在△ABC中,AB=AC，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB（2）在△ABC中,AB=AC，BO平分∠ABCCO平分∠ACB，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，FEOCBAEF=BE+FC＊图中共有几个等腰三角形？＊EF,EB,FC之间有什么关系？（3）在△ABC中,∠ABC=∠ACB，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB,过O点作EF,使EF∥BC,且∠EBO=30°AOBCEF＊若BE=5，你能求出△AEF的周长吗？＊还能求出△ABC的周长吗？＊有几个等边三角形？BCAOEF（4）在△ABC中,∠ABC≠∠ACB，BO平分∠ABCCO平分∠ACB,过O点作EF,使EF∥BCBE＋CF=EF仍然成立吗？又会有几个等腰三角形？成立在上述条件下当AB=12，AC=8时你能求ΔAEF的周长吗？ΔAEF的周长=AC+AB=20基本构图:角平分线+平行线构成等腰三角形.•在中，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上，且AC=EF，ED=DC,求证：EF//ABABCBEDC由于这里要证明的是EF//AB，而AD平分，所以必须通过辅助线构造出平行线，这样就可以得到等腰三角形了（5）若过△ABC的一个内角和一个外角平分线的交点作这两个角的公共边的平行线，如图，EF与BE，CF三者有何数量关系？ABCFEDGEF=BE—CF（6）若过△ABC的两个外角平分线的交点作这两个角的公共边的平行线，则EF与BE，CF三者有何数量关系？EACBDFEF=BE+CF•例1、如图：BD是角平分线DE//BC，交AB于点E，∠A=90°且AB=AC=1。求DE之长。3CBAED12•例2、在矩形ABCD中，AC与BD交于点O；DE平分∠ADC，交BC于点E，∠BDE=150，求∠COE的度数。EODABC•角平分线＋垂线→等腰三角形•当一个三角形中出现角平分线和垂线时，我们就可以寻找到等腰三角形。•12、如图，在△ABC中,AC＝BC，∠ACB=900，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E，且AE＝½BD，求证：BD是∠ABC的角平分线．1.角与角的转化:相等角之间的代换.2.边与角的转化:等边对等角.3.等角对等边.3.边与边的转化:相等线段之间进行代换(在同一个三角形)1.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，若D为BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则DE=DF吗？请说明理由。FEDCBA常见的辅助线：等腰三角形三线合一2.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，若D为BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则DE=DF吗？请说明理由。FEDCBA解：连结AD∵D为BC的中点∴S△ABD=S△ACD∵AB=AC∴DE=DF又∵S△ABD=AB·DES△ACD=AC·DF1212∴AB·DE=AC·DF1212变式1：如图，在等腰△ABC中，AB=AC，若D为边BC上任意一点，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BG⊥AC于G，则DE+DF=BG吗？请说明理由。GFEDCBA解：连结AD∵S△ABD+S△ACD=S△ABC∴DE+DF=BGS△ABD=AB·DES△ACD=AC·DFS△ABC=AC·BG121212∴AB·DE+AC·DF=AC·BG121212又∵AB=AC∴AC（DE+DF）=AC·BG1212变式2:如图,在等腰三角形ABC,AB=AC,点D在BC延长线上,且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥AC于G，则DE,CF,DG之间有什么关系?ABCDEFGDE=CF+DG通过本堂课的复习,你有何收获?数学知识:“等边对等角”、“等角对等边”及“三线合一”(在同一个三角形)•数学思想:转化思想、分类思想！如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个?ＯＤ150°ＣaＥＦＨ•如图，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角BDC为120o的等腰三角形，以D为顶点作—个60o角．角的两边分别交AB于M．交AC于N．连结MN．形成一个三角形，求证，△AMN的周长等于2.【重点考点例析】•考点一：等腰三角形性质的运用•例1（2012•襄阳）在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=8，则AB边上的高CD的长是考点二：线段垂直平分线•例2（2012•毕节地区）如图．在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD，若BD=1，则AC的长是（）•A．B．2C．D．4考点三：等边三角形的判定与性质例3（2012•遵义）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．•（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；•（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．．考点四：角的平分线•例4（2012•梅州）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF=