2014年北京高考数学文科试题及答案

否是输出Sk=k+1S=S+2kk3k=0，S=0结束开始绝密★启封并使用完毕前2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若集合0,1,2,4A，1,2,3B，则AB（）（A）0,1,2,3,4（B）0,4（C）1,2（D）3（2）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）（A）xye（B）yx（C）lnyx（D）yx（3）已知向量2,4a，1,1b，则2ab（）（A）5,7（B）5,9（C）3,7（D）3,9（4）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）（A）1（B）3（C）7（D）15（5）设a、b是实数，则“ab”是“22ab”的（）(A)充分而不必要条件(B)必要而不必要条件(C)充分必要条件(D)既不充分不必要条件（6）已知函数26logfxxx，在下列区间中，包含fx零点的区间是（）(A)0,1(B)1,2(C)2,4(D)4,（7）已知圆22:341Cxy和两点,0Am，,00Bmm，若圆C上存在点P，使得90APB，则m的最大值为（）（A）7（B）6（C）5（D）4O5430.80.70.5tp（8）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系2patbtc（a、b、c是常数），如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）（A）3.50分钟（B）3.75分钟（C）4.00分钟（D）4.25分钟第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）若12xiiixR，则x.（10）设双曲线C的两个焦点为2,0，2,0，一个顶点是1,0，则C的方程为.（11）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为.（12）在ABC中，1a，2b，1cos4C，则c；sinA.（13）若x,y满足11010yxyxy，则3zxy的最小值为.（14）顾客请一位工艺师把A、B两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：工序时间原料粗加工精加工原料A915原料B621则最短交货期为工作日.俯视图侧（左）视图正（主）视图11122三、解答题共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤。（15）（本小题13分）已知na是等差数列，满足13a，412a，数列nb满足14b，420b，且nnba为等比数列.（Ⅰ）求数列na和nb的通项公式；（Ⅱ）求数列nb的前n项和.（16）（本小题13分）函数3sin26fxx的部分图象如图所示.（Ⅰ）写出fx的最小正周期及图中0x、0y的值；（Ⅱ）求fx在区间,212上的最大值和最小值.Oyxy0x0（17）（本小题14分）如图，在三棱柱111ABCABC中，侧棱垂直于底面，ABBC，12AAAC，E、F分别为11AC、BC的中点.（Ⅰ）求证：平面ABE平面11BBCC；（Ⅱ）求证：1//CF平面ABE；（Ⅲ）求三棱锥EABC的体积.（18）（本小题14分）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：（Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（Ⅱ）求频率分布直方图中的a，b的值；（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）组号分组频数102，6224，8346，17468，225810，2561012，1271214，681416，291618，2合计100C1B1A1FECBA阅读时间ba频数组距18161412108642O（19）（本小题14分）已知椭圆C：2224xy.（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线2y，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段AB长度的最小值.（20）（本小题13分）已知函数3()23fxxx.（Ⅰ）求()fx在区间[2,1]上的最大值；（Ⅱ）若过点(1,)Pt存在3条直线与曲线()yfx相切，求t的取值范围；（Ⅲ）问过点(1,2),(2,10),(0,2)ABC分别存在几条直线与曲线()yfx相切？（只需写出结论）绝密★考试结束前2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C（2）B（3）A（4）C（5）D（6）C（7）B（8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）2（10）221xy（11）22（12）2158（13）1（14）42三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）设等差数列na的公差为d，由题意得41123333aad所以11312naandnn，，．设等比数列nnba的公比为q，由题意得344112012843baqba，解得2q．所以11112nnnnbabaq．从而13212nnbnn，，（Ⅱ）由⑴知13212nnbnn，，．数列3n的前n项和为312nn，数列12n的前n项和为1212112nn×．所以，数列nb的前n项和为31212nnn．（16）（共13分）解：（Ⅰ）fx的最小正周期为π07π6x．03y（Ⅱ）因为ππ212x，，所以π5π2066x，．于是当π206x，即π12x时，fx取得最大值0；当ππ262x，即π3x时，fx取得最小值3．（17）（共14分）解：（Ⅰ）在三棱柱111ABCABC中，1BB底面ABC．所以1BBAB．又因为ABBC．所以AB平面11BBCC．所以平面ABE平面11BBCC．（Ⅱ）取AB中点G，连结EG，FG．因为E，F分别是11AC，BC的中点，所以FGAC∥，且12FGAC．因为11ACAC∥，且11ACAC，所以1FGEC∥，且1FGEC．所以四边形1FGEC为平行四边形．所以1CFEG∥．又因为EG平面ABE，1CF平面ABE，所以1CF∥平面ABE．（Ⅲ）因为12AAAC，1BC，ABBC，所以223ABACBC．所以三棱锥EABC的体积111133123323ABCVSAA△．（18）（共13分）解：（Ⅰ）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有62210名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是1010.9100．从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9．（Ⅱ）课外阅读时间落在组[46)，的有17人，频率为0.17，所以0.170.0852a频率组距．课外阅读时间落在组[810)，的有25人，频率为0.25，所以0.250.1252b频率组距．（Ⅲ）样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组．（19）（共14分）解：（Ⅰ）由题意，椭圆C的标准方程为22142xy．所以24a，22b，从而2222cab．因此2a，2c．故椭圆C的离心率22cea．（Ⅱ）设点A，B的坐标分别为2t，，00xy，，其中00x≠．GC1B1A1FECBA因为OAOB，所以0OAOB，即0020txy，解得002ytx．又220024xy，所以222002ABxty22000022yxyx2220002044yxyx2202002024442xxxx22002084042xxx≤．因为22002084042xxx≥≤，且当204x时等号成立，所以28AB≥．故线段AB长度的最小值为22．（20）（共13分）解：（Ⅰ）由323fxxx得263fxx.令0fx，得22x或22x.因为210f，222f，22112ff，所以fx在区间21，上的最大值为222f.（Ⅱ）设过点1Pt，的直线与曲线yfx相切于点00xy，，则300023yxx，且切线斜率为2063kx，所以切线方程为20063yyx0xx，因此2000631tyxx.整理得32004630xxt.设32463gxxxt，则“过点1Pt，存在3条直线与曲线yfx相切”等价于“gx有3个不同零点”.21212121gxxxxx.gx与gx的情况如下：x(0)，0(01)，1(1)，()gx00()gx↗3t↘1t↗所以，(0)3gt是()gx的极大值，(1)1gt是()gx的极小值．当(0)30gt≤，即3t≤时，此时()gx在区间1，和(1)，上分别至多有1个零点，所以()gx至多有2个零点．当(1)10gt≥，即1t≥时，此时()gx在区间(0)，和0，上分别至多有1个零点，所以()gx至多有2个零点．当00g且10g，即31t时，因为1702110gtgt，，所以gx分别在区间10，，01，和12，上恰有1个零点.由于gx在区间0，和1，上单调，所以gx分别在区间0，和1，上恰有1个零点.综上可知，当过点1Pt，存在3条直线与曲线yfx相切时，t的取值范围是31，.（Ⅲ）过点12A，存在3条直线与曲线yfx相切；过点210B，存在2条直线与曲线yfx相切；过点02C，存在1条直线与曲线yfx相切.：