概率论与数理统计第1章ppt

1第1章随机事件及其概率1.1随机事件1.4全概率公式与逆概率公式1.3条件概率与事件的独立性1.2随机事件的概率信息管理学院徐晔1.1随机事件一、随机试验二、样本空间三、随机事件及其发生四、事件之间的关系和运算3在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.“太阳不会从西边升起”,(1)确定性现象“同性电荷必然互斥”,“水从高处流向低处”,实例自然界所观察到的现象:确定性现象随机现象4在一定条件下可能出现也可能不出现的现象称为随机现象.实例1在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察正反两面出现的情况.(2)随机现象结果有可能出现正面也可能出现反面.确定性现象的特征条件完全决定结果5结果有可能为:1,2,3,4,5或6.实例3抛掷一枚骰子,观察出现的点数.实例2用同一门炮向同一目标发射同一种炮弹多发,观察弹落点的情况.结果:弹落点会各不相同.6实例4从一批含有正品和次品的产品中任意抽取一个产品.其结果可能为:正品、次品.实例5过马路交叉口时,可能遇上各种颜色的交通指挥灯.7实例6出生的婴儿可能是男,也可能是女.实例7明天的天气可能是晴,也可能是多云或雨.随机现象的特征条件不能完全决定结果8(2)随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性,但在大量试验或观察中,这种结果的出现具有一定的统计规律性,概率论就是研究随机现象规律性的一门数学学科.随机现象是通过随机试验来研究的.问题什么是随机试验?如何来研究随机现象?说明(1)随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系,其数量关系无法用函数加以描述.9一、随机试验在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机试验。（1）可以在相同的条件下重复地进行；（2）每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果；（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。10说明(1)随机试验简称为试验,是一个广泛的术语.它包括各种各样的科学实验,也包括对客观事物进行的“调查”、“观察”或“测量”等.(2)随机试验通常用E来表示.11实例“抛掷一枚硬币,观察正面、反面出现的情况”.分析(1)试验可以在相同的条件下重复地进行;(2)试验的所有可能结果:正面、反面;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.故为随机试验.12(1)抛掷一枚骰子,观察出现的点数.(2)从一批产品中,依次任选三件,记录出现正品与次品的件数.同理可知下列试验都为随机试验.(3)记录某公共汽车站某时刻的等车人数.13(4)考察某地区10月份的平均气温.(5)从一批灯泡中任取一只,测试其寿命.14现代集合论为表述随机试验提供了一个方便的工具.二、样本空间我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e或ω.全体样本点的集合称为样本空间.样本空间用Ω表示.样本点e.Ω15实例1抛掷一枚硬币,观察正面,反面出现的情况.}.,{1TH正面朝上H反面朝上T实例2抛掷一枚骰子,观察出现的点数.}.6,5,4,3,2,1{216实例3从一批产品中,依次任选三件,记录出现正品与次品的情况.}.,,,,,,,{3DDDDNDDDNNDDDNNNDNNNDNNN则.,次品正品记DN实例4从一批灯泡中任取一只,测试其寿命.}.0{4tt.t的寿命为灯其中泡17实例5记录某城市120急救电话台一昼夜接到的呼唤次数..},2,1,0{5182.同一试验,若试验目的不同,则对应的样本空间也不同.例如对于同一试验:“将一枚硬币抛掷三次”.若观察正面H、反面T出现的情况,则样本空间为若观察出现正面的次数,则样本空间为.}3,2,1,0{}.,,,,,,,{TTTTHTTTHHTTTHHHTHHHTHHH说明1.试验不同,对应的样本空间也不同.19说明3.建立样本空间,事实上就是建立随机现象的数学模型.因此,一个样本空间可以概括许多内容大不相同的实际问题.例如只包含两个样本点的样本空间它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的模型,也可以作为产品检验中合格与不合格的模型,又能用于排队现象中有人排队与无人排队的模型等.},{TH20在具体问题的研究中,描述随机现象的第一步就是建立样本空间.21随机事件：三、随机事件及其发生通俗地讲随机事件是指随机试验中可能发生也可能不发生的结果。根据这个说法不难发现随机事件和样本空间的子集有一一对应关系！22它们分别可以对应了样本空间Ω={1,2,3,4,5,6}的子集｛1,2,3,4｝和｛2,4,6｝．实例抛掷一枚骰子,观察出现的点数.“点数不大于4”,“点数为偶数”等都为随机事件.反过来，Ω的每个子集都对应了该试验的一个随机事件．23随机事件的定义当且仅当子集Ａ中某个样本点出现时，称事件Ａ发生．随机试验E的样本空间Ω的子集称为E的随机事件,简称事件.24实例上述试验中“点数不大于6”就是必然事件.必然事件随机试验中必然发生的事件．不可能事件随机试验中不可能发生的事件.实例上述试验中“点数大于6”就是不可能事件.实例“出现1点”,“出现2点”,…,“出现6点”.基本事件由一个样本点组成的单点集特别地：实例抛掷一枚骰子,观察出现的点数.25几点说明例如抛掷一枚骰子,观察出现的点数.可设A=“点数不大于4”,B=“点数为奇数”等等.1)随机事件可简称为事件,并以大写英文字母A,B,C,来表示事件26空集不含任何样本点表示不可能事件．2)随机试验、样本空间与随机事件的关系每一个随机试验相应地有一个样本空间,样本空间的子集就是随机事件.样本空间Ω作为自身最大的子集包含所有的样本点（基本事件），表示必然事件．271．事件的包含事件发生A事件发生B设、为两个事件，如果中的基本事件都是的基本事件，则称包含于，记为，或包含，记为.BABBBAAAABABABBA四、事件之间的关系和运算实例A=“长度不合格”必然导致B=“产品不合格”所以BA事件之间的关系282.事件的相等BAABBA且BABA=若两个事件和相互包含，则称这两个事件相等，记为.BAAB和同时发生或者同时不发生AB293.事件的和（并）ABBAAB将事件的基本事件和的基本事件合在一起组成的一个新事件，称为和的和事件，记为，可读成并或加.有时也可记为.ABBBBAABABAA实例某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定,因此C=“产品不合格”是A=“长度不合格”与B=“直径不合格”的并.BAC即发生至少有一个发生和BABA304.事件的积（交）BABA将事件的和共有基本事件合在一起组成的一个新事件，称为和的和事件，记为，可读成交或乘.有时也可记为.ABBBBAABABAA发生同时发生和BABA实例某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定,设Ｃ＝“产品合格”,Ａ＝“长度合格”,Ｂ＝“直径合格”．ABBAC则31;,,,211的和事件个事件为称推广nknkAAAnA.,,211的和事件为可列个事件称AAAkk;,,,211的积事件个事件为称nnkkAAAnA.,,211的积事件为可列个事件称AAAkk32和事件与积事件的运算性质AAAAAA,AA,A,,A,AA.335.事件的差（减）从事件中将属于事件的基本事件除去,剩下的基本事件组成的新事件称为和的差事件,记为.ABABBABAAB事件发生而事件不发生AB实例设Ｃ＝“长度合格但直径不合格”,Ａ＝“长度合格”,Ｂ＝“直径合格”.BAC则34事件、不可能同时发生AB6.事件的互斥（互不相容）若事件和没有共同的基本事件，则称和互斥，也称互不相容，记为.AABBABBA或ABABBA或注意基本事件是两两互斥的.357.事件的逆（对立事件）A称必然事件和事件的差为的逆事件，记为，AAAAABAB的逆事件，则是若AAAAA显然，互逆时BAAB,,如果和互逆，则也可称和互为对立事件ABAB事件不发生A实例“骰子出现1点”“骰子不出现1点”对立AAA36事件的运算规律由集合的运算律，易给出事件间的运算律.设CBA,,为同一随机试验E中的事件，则有(1)交换律,ABBA;ABBA(2)结合律),()(CBACBA);()(CBACBA(3)分配律),()()(CBCACBA37(4)自反律;AA(5)对偶律.)(BABA注：上述各运算律可推广到件的情形.,BAB)(A有限个或可数个事nnAAAAAA2121nnAAAAAA212138(6)吸收律BBAAABBA,,则若(7)替换律)()(ABBBAAAB)()(BABABABABABBAABABACBACBACBA)(39例1甲,乙,丙三人各射一次靶,记“甲中靶”,AB“乙中靶”,“丙中靶”,C则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件:(1)(3)(4)(2)“甲未中靶”;A;AB“甲中靶而乙未中靶”“三人中只有丙未中靶”;ABC;ABCABCABC“三人中恰好有一人中靶”(5)“三人中至少有一人中靶”ABC或;ABC40(10)(9)(8)“三人中至少有两人中靶”;ABACBC“三人中均未中靶”;ABC“三人中至多一人中靶”(11)“三人中至多两人中靶”ABC或.ABC；CBACBACBACBA(6)(7)“三人中至少有一人未中靶”“三人中恰有两人中靶”ABC或;ABC;ABCABCABC41注:用其它事件的运算来表示一个事件,方法往往不唯一,如本例中的(6)和(11)实际上是同一事件,大家应学会特别在解决具体问题时,往往要更具需要方法.用不同方法表达同一事件,选择一种恰当的表示(6)“三人中至少有一人未中靶”(11)“三人中至多两人中靶”42作业P19练习1.134543一、概率的统计意义三、概率的公理化定义二、概率的古典定义1.2随机事件的概率四、概率的性质44研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小，也就是事件的概率.概率是随机事件发生可能性大小的度量事件发生的可能性越大，概率就越大！45一、概率的统计意义定义;1)(0AfnnArn)(0显然次数为，)(Arn频率.若在相同条件下进行次试验，n其中发生的A则称nArAfnn)()(为事件发生的A46试验序号5n)(Arn)(Afn1234567231512450n22252125241827500n2512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502实例将一枚硬币抛掷5次、50次、500次,各做7遍,观察正面出现的次数及频率.处波动较大在21随n的增大,频率fn(H)呈现出稳定性处波动较小在21处波动最小在21)(Arn)(Arn)(Afn)(Afn47从上述数据可得(2)抛硬币次数n较小时,频率fn(A)的随机波动幅度较大,但随n的增大,频率fn(A)呈现出稳定性.即当n逐渐增大时频率fn(A)总是在0.5附近摆动,且逐渐稳定于0.5.(1)频率有随机波动性,即对于同样的n,所得的fn(A)不一定相同;48实验者德摩根蒲丰n)(Arn皮尔逊K皮尔逊K204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.5005)(Afn.21的增大n)(Afn49重要结论当实验次数n较小时,事件Ａ发生的频率波动幅度比较大,当n逐渐增大时,频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映了事件Ａ在试验中出现可能性的大小.它就是事件的概率．50概率的统计定义定义在相同条件下进行n次重复试验,若事件A发生的频率nArAfnn)()(随着试验次数n的增大而稳定地在某个常数P附近摆动,则称P为事件A的概率，记