《理论力学》静力学典型习题+答案

1-3试画出图示各结构中构件AB的受力图1-4试画出两结构中构件ABCD的受力图1-5试画出图a和b所示刚体系整体各个构件的受力图1-5a1-5b1-8在四连杆机构的ABCD的铰链B和C上分别作用有力F1和F2，机构在图示位置平衡。试求二力F1和F2之间的关系。解：杆AB，BC，CD为二力杆，受力方向分别沿着各杆端点连线的方向。解法1(解析法)假设各杆受压，分别选取销钉B和C为研究对象，受力如图所示：由共点力系平衡方程，对B点有：0xF045cos02BCFF对C点有：0xF030cos01FFBC解以上二个方程可得：22163.1362FFFF2FBCFABB45oyxFBCFCDC60oF130oxy解法2(几何法)分别选取销钉B和C为研究对象，根据汇交力系平衡条件，作用在B和C点上的力构成封闭的力多边形，如图所示。对B点由几何关系可知：0245cosBCFF对C点由几何关系可知：0130cosFFBC解以上两式可得：2163.1FF2-3在图示结构中，二曲杆重不计，曲杆AB上作用有主动力偶M。试求A和C点处的约束力。解：BC为二力杆(受力如图所示)，故曲杆AB在B点处受到约束力的方向沿BC两点连线的方向。曲杆AB受到主动力偶M的作用，A点和B点处的约束力必须构成一个力偶才能使曲杆AB保持平衡。AB受力如图所示，由力偶系作用下刚体的平衡方程有（设力偶逆时针为正）：0M0)45sin(100MaFAaMFA354.0其中：31tan。对BC杆有：aMFFFABC354.0A，C两点约束力的方向如图所示。2-4FBCFCD60oF130oF2FBCFAB45o解：机构中AB杆为二力杆，点A,B出的约束力方向即可确定。由力偶系作用下刚体的平衡条件，点O,C处的约束力方向也可确定，各杆的受力如图所示。对BC杆有：0M030sin20MCBFB对AB杆有：ABFF对OA杆有：0M01AOFMA求解以上三式可得：mNM31，NFFFCOAB5，方向如图所示。//2-6求最后简化结果。解：2-6a坐标如图所示，各力可表示为:jFiFF23211，iFF2，jFiFF23213先将力系向A点简化得（红色的）：jFiFFR3，kFaMA23方向如左图所示。由于ARMF，可进一步简化为一个不过A点的力(绿色的)，主矢不变，其作用线距A点的距离ad43，位置如左图所示。2-6b同理如右图所示，可将该力系简化为一个不过A点的力（绿色的），主矢为：iFFR2其作用线距A点的距离ad43，位置如右图所示。简化中心的选取不同，是否影响最后的简化结果？是2-13解：整个结构处于平衡状态。选择滑轮为研究对象，受力如图，列平衡方程（坐标一般以水平向右为x轴正向，竖直向上为y轴正向，力偶以逆时针为正）：0xF0sinBxFP0yF0cosPPFBy选梁AB为研究对象，受力如图，列平衡方程：0xF0BxAxFF0yF0ByAyFF0AM0lFMByA求解以上五个方程，可得五个未知量AByBxAyAxMFFFF,,,,分别为：sinPFFBxAx（与图示方向相反）)cos1(PFFByAy（与图示方向相同）lPMA)cos1(（逆时针方向）2-18解：选AB杆为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：0AM0coscos2coslFlGaND0yF0cosFGND求解以上两个方程即可求得两个未知量,DN，其中：31])2()(2arccos[lGFaGF未知量不一定是力。2-27解：选杆AB为研究对象，受力如下图所示。列平衡方程：（运用力对轴之矩！）0yM0tansincostan21cFcFcPBCBCNFBC6.60以下几题可看一看！0'xM0sin21aFcFaPBCBNFB100由0yF和0zF可求出AzAyFF,。平衡方程0xM可用来校核。思考题：对该刚体独立的平衡方程数目是几个？2-29解：杆1，2，3，4，5，6均为二力杆，受力方向沿两端点连线方向，假设各杆均受压。选板ABCD为研究对象，受力如图所示，该力系为空间任意力系。采用六矩式平衡方程：0DEM045cos02F02F0AOM045cos45cos45cos0006aFaFFF226(受拉)0BHM045cos45cos0604aFaFFF224(受压)0ADM045sin45cos0061aFaFaFFF2211(受压)0CDM045sin031aFaFaFFF213(受拉)0BCM045cos0453aFaFaF05F本题也可以采用空间任意力系标准式平衡方程，但求解代数方程组非常麻烦。类似本题的情况采用六矩式方程比较方便，适当的选择六根轴保证一个方程求解一个未知量，避免求解联立方程。2-31力偶矩cmNM1500解：取棒料为研究对象，受力如图所示。列平衡方程:000OyxMFF02)(045sin045cos21102201MDFFNpFNpF补充方程：2211NfFNfFss五个方程，五个未知量sfNFNF，2211,,,，可得方程：02222MfDpfMSS解得491.4,223.021SSff。当491.42Sf时有：0)1(2)1(2221SSffpN即棒料左侧脱离V型槽，与提议不符，故摩擦系数223.0Sf。2-33解：当045时，取杆AB为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：000AyxMFF0sin2cossinsincos0cos0sinBApCATCATpTFTFSN附加方程：NSSFfF四个方程，四个未知量sSNfTFF，,,，可求得646.0sf。2-35解：选棱柱体为研究对象，受力如图所示。假设棱柱边长为a，重为P，列平衡方程：000xBAFMM0sin032sin2cos032sin2cosPFFaPaPaFaPaPaFBANANB如果棱柱不滑动，则满足补充方程NBsBNAsAFfFFfF21时处于极限平衡状态。解以上五个方程，可求解五个未知量,,,,NBBNAAFFFF，其中：32)(3tan1221ssssffff(1)当物体不翻倒时0NBF，则：060tan(2)即斜面倾角必须同时满足(1)式和(2)式，棱柱才能保持平衡。3-10解：假设杆AB，DE长为2a。取整体为研究对象，受力如右图所示，列平衡方程：0CM02aFBy0ByF取杆DE为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：0HM0aFaFDyFFDy0BM02aFaFDxFFDx2取杆AB为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：0yF0ByDyAyFFFFFAy(与假设方向相反)0AM02aFaFBxDxFFBx(与假设方向相反)0BM02aFaFDxAxFFAx(与假设方向相反)3-12解：取整体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：0CM0xFbFDFbxFDFCxFCyFBxFByFCxFCyFD取杆AB为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：0AM0xFbFBFbxFB杆AB为二力杆，假设其受压。取杆AB和AD构成的组合体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：0EM02)2(2)(bFxbFbFFACDB解得FFAC，命题得证。注意：销钉A和C联接三个物体。3-14解：取整体为研究对象，由于平衡条件可知该力系对任一点之矩为零，因此有：0AM0)(MMFMBA即BF必过A点，同理可得AF必过B点。也就是AF和BF是大小相等，方向相反且共线的一对力，如图所示。取板AC为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：FAFB0CM045cos45sin00MbFaFAA解得：baMFA2(方向如图所示)3-20解：支撑杆1，2，3为二力杆，假设各杆均受压。选梁BC为研究对象，受力如图所示。其中均布载荷可以向梁的中点简化为一个集中力，大小为2qa，作用在BC杆中点。列平衡方程：0BM0245sin03MaqaaF)2(23qaaMF(受压)选支撑杆销钉D为研究对象，受力如右图所示。列平衡方程：0xF045cos031FFqaaMF21(受压)0yF045sin032FF)2(2qaaMF(受拉)选梁AB和BC为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：0xF045cos03FFAx)2(qaaMFAx(与假设方向相反)0yF0445sin032qaPFFFAyqaPFAy40AM0345sin242032MaFaqaaPaFMAMPaqaMA242(逆时针)DF3F2F1xy3-21解：选整体为研究对象，受力如右图所示。列平衡方程：0AM022aFaFByFFBy0BM022aFaFAyFFAy0xF0FFFBxAx(1)由题可知杆DG为二力杆，选GE为研究对象，作用于其上的力汇交于点G，受力如图所示，画出力的三角形，由几何关系可得：FFE22。取CEB为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：0CM045sin0aFaFaFEByBx2FFBx代入公式(1)可得：2FFAx3-24解：取杆AB为研究对象，设杆重为P，受力如图所示。列平衡方程：0AM060cos23301rPrN)(93.61NNFAxFAyFBxFBy0xF060sin01NFAx)(6NFAx0yF060cos01PNFAy)`(5.12NFAy取圆柱C为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：0xF030cos30cos001TN)(93.6NT注意：由于绳子也拴在销钉上，因此以整体为研究对象求得的A处的约束力不是杆AB对销钉的作用力。3-27解：取整体为研究对象，设杆长为L，重为P，受力如图所示。列平衡方程：0AM0cos22sin2LPLFNtan2PFN(1)取杆BC为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：0BM0coscos2sinLFLPLFsNPFS(2)补充方程：NssFfF，将(1)式和(2)式代入有：2tansf，即010。3-29（…………………………）证明：（1）不计圆柱重量法1：取圆柱为研究对象，圆柱在C点和D点分别受到法向约束力和摩擦力的作用，分别以全约束力RDRCFF,来表示，如图所示。如圆柱不被挤出而处于平衡状态，则RDRCFF,等值，反向，共线。由几何关系可知，RDRCFF,与接触点C，D处法FAxFAyFNFsPP线方向的夹角都是2，因此只要接触面的摩擦角大于2，不论F多大，圆柱不会挤出，而处于自锁状态。法2（解析法）：首先取整体为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：0AM0lFaFNDFalFND再取杆AB为研究对象，受力如图所示。列平衡方程：0AM0lFaFNCNDNCFFalF取圆柱为研究对象，受力如图所示。假设圆柱半径为R，列平衡方程：0OM0RFRFSDSCSDSCFF0xF0cossinSDSCNCFFFNDNCS