高等代数北大版4-4

一、可逆矩阵的概念二、可逆矩阵的判定、求法三、逆矩阵的运算规律四、矩阵方程§4.4矩阵的逆一、可逆矩阵的概念定义设A为n级方阵，如果存在n级方阵B，使得AB＝BA＝E则称A为可逆矩阵，称B为A的逆矩阵.注：11.AA①可逆矩阵A的逆矩阵是唯一的，记作1.A③单位矩阵E可逆，且1.EE②可逆矩阵A的逆矩阵也是可逆矩阵，且1A§4.4矩阵的逆若设和是的可逆矩阵，BCA则有,,ECAACEBAAB可得EBBBCAABC.CCE所以的逆矩阵是唯一的,即A.1ACBEAAAA11即唯一性：若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.§4.4矩阵的逆二、矩阵可逆的判定及逆矩阵的求法定义1、伴随矩阵称为A的伴随矩阵.11211*1222212nnnnnnAAAAAAAAAA性质：**AAAAAE余子式，矩阵设是矩阵中元素的代数ijAija()ijnnAa§4.4矩阵的逆证：由行列式按一行（列）展开公式立即可得,1112111211*21222122221212nnnnnnnnnnnnaaaAAAaaaAAAAAaaaAAA.dA1122,0,kikiknindkiaAaAaAki1122,0,ljljnlnjdljaAaAaAlj0000.00dddEd同理,*.AAdE§4.4矩阵的逆*1.AAA非退化的），且证：若由0,A**AAAAAE所以，A可逆，且*1.AAA两边取行列式，得11.AAE0.A2、定理：矩阵A可逆当且仅当（即A0,A得**AAAAEAA反过来，若A可逆，则有1,AAE§4.4矩阵的逆,EBAABA可逆：EBAEAB问题B,A为同阶方阵EABEBA或A可逆B1A§4.4矩阵的逆则A、B皆为可逆矩阵，且11,.ABBA证：ABE1ABABE由定理知，A、B皆为可逆矩阵.从而0,0.AB11(),AABAE再由即有，11,.ABBA11(),ABBEB3、推论：设A、B为n级方阵，若,ABE§4.4矩阵的逆中的一个即可和只需验证的逆矩阵，是否为注：判断EBAEABAB§4.4矩阵的逆设方阵A满足23100,AAE证明：与皆可逆，并求其逆.4AAE例1由23100,AAE即1(3),10AAEE故A可逆，且11(3)10AAE再由23100,AAE得()(4)6,AEAEE即1()(4),6AEAEE故4AE可逆，且11(4)()6AEAE证：(3)10,AAEE得§4.4矩阵的逆三、逆矩阵的运算规律且可逆则数可逆若,,0,2AA且亦可逆则为同阶方阵且均可逆若,,,3ABBA1ABB11A.111AA.,,1111AAAA且亦可逆则可逆若.1212AA推广1AmA1mA11A§4.4矩阵的逆.,,4AAAAT且亦可逆则可逆若TT11,,,AAAAAZ(5)若A可逆，则亦可逆，且A1.AAA(6)若A可逆，则亦可逆，且kA11.kkAA当时，定义0A注：01,()kkAEAA则有§4.4矩阵的逆逆矩阵的求法.1nnn2n12n22121n21111的代数余子式中元素为行列式的伴随矩阵，为其中，其中ijijaAAAAAAAAAAAAAAAAA(1)逆矩阵的求法：伴随法（公式法）§4.4矩阵的逆例1求方阵的逆矩阵.343122321A解343122321A2.1存在A4121824661111)1(A341222112)1(A331230§4.4矩阵的逆343122321A3113)1(A432221221)1(A343262222)1(A333163223)1(A432121331)1(A123242332)1(A123153333)1(A22212§4.4矩阵的逆332313322212312111AAAAAAAAAA得故AAA1122256346221.11125323231,2225634626,6,2,3,22221131211AAAAA2,2,5,4,233323123AAAAA§4.4矩阵的逆例2判断矩阵A是否可逆，若可逆，求其逆.1231)221343A122)naaAa§4.4矩阵的逆解：1）1232212,343∴A可逆.1222323,6,5,AAA1121312,6,4,AAA1323332,2,2.AAA再由*12641365.2222AAA有§4.4矩阵的逆122),nAaaa∴当时，A可逆.0(1,2,,)iain1111221nnaaaaaa且由于111121.naaAa111E§4.4矩阵的逆四、矩阵方程1111111(1)nnnnnnnaxaxbaxaxb1.线性方程组1122(),X,ijnnnnxbxbAaBxb==令则（1）可看成矩阵方程.AXB若A为可逆矩阵，则1.XAB§4.4矩阵的逆①矩阵方程,nnnsnsAXB若A为可逆矩阵，则1.XAB2.推广②矩阵方程,mnnnmnXAB若A为可逆矩阵，则1.XBA③矩阵方程,nnnsssnsAXBC若A,B皆可逆，则11.XACB§4.4矩阵的逆例3解矩阵方程2546.1321X解：125461321X3546122122308一般地，abAcd可逆0,adbc11dbAcaadbc.注:§4.4矩阵的逆,130231,3512,343122321CBA例4设.CAXBX使满足求矩阵解,02343122321A,013512B.,11都存在BA§4.4矩阵的逆,111253232311A且,25131BCAXB又由1111CBAAXBBA.11CBAX于是11CBAX251313023111125323231E§4.4矩阵的逆2513202011.41041012§4.4矩阵的逆练习033110,2,123AABAB已知求矩阵B．解：由2ABAB，得(2)AEBA，又23321102121AE02AE可逆，且11331(2)1132111AE1033(2)123110BAEA§4.4矩阵的逆3.矩阵积的秩()()()()RARPARAQRPAQ定理4,ssnnPQ,snA若可逆，则证：令,BPA又P可逆，由定理2，()(),RBRA()(),RARB1,PBA有()().RARB故