高等代数北大版4-6

一、初等矩阵二、等价矩阵三、用初等变换求矩阵的逆§4.6初等矩阵由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵.定义一、初等矩阵三种初等变换对应着三种初等方阵:行（列）上去．乘某行（列）加到另一以数乘某行或某列；以数对调两行或两列；kk.30.2.1§4.6初等矩阵，得初等方阵两行，即中第对调)(,jirrjiE对调两行或两列、111011(,)11011Piji第行行第j(换法矩阵)§4.6初等矩阵mnmmjnjjiniinaaaaaaaaaaaa212121112111101111011AjiPm),(，得左乘阶初等矩阵用nmijmaAjiPm)(),(ij§4.6初等矩阵mnmminiijnjjnmaaaaaaaaaaaaAjiP21212111211),(行第i行第j).(jirrjiAA行对调行与第的第把：施行第一种初等行变换相当于对矩阵§4.6初等矩阵，右乘矩阵阶初等矩阵以类似地，AjiPnn),(mnmimjmnijnijnaaaaaaaaaaaajiAP12222111111),().(jiccjiAA列对调列与第的第把：施行第一种初等列变换相当于对矩阵§4.6初等矩阵02乘某行或某列、以数k11(())11Pikk行第i(倍法矩阵)以数乘单位矩阵的第期i行得初等矩阵(),irk0k§4.6初等矩阵1111))((kAkiPmmnmminiinaaaaaaaaa212111211，左乘矩阵以AkiPm))((mnmminiinaaakakakaaaa212111211§4.6初等矩阵；行的第乘相当于以数)(kriAkimnmminiinmaaakakakaaaaAkiP212111211))((行第i类似地，).())((kciAkAkiPin列的第乘相当于以数，其结果矩阵右乘以§4.6初等矩阵上去列加到另一行列乘某行、以数)()(03k，列上列加到第的第乘或以行上行加到第的第乘以)([)(ijjikccjiEkkrrijEk11(,())11kPijk行第i行第j(消法矩阵)§4.6初等矩阵mnmmjnjjiniinaaaaaaaaaaaa212121112111111))((kAkijP，左乘矩阵以AkjiPm))(,(§4.6初等矩阵mnmmjnjjjninjijinmaaaaaaaakaakaaaaaAkijP2121221111211))(().(jikrrikjA行上加到第行乘的第把§4.6初等矩阵).())((jinkccikjAAkijP列上加到第列乘的第把，其结果相当于右乘矩阵类似地，以mnmjmjmimnjjinjjinaakaaaaakaaaaakaaakijAP1222221111111))((§4.6初等矩阵1初等矩阵皆可逆，且其逆仍为初等矩阵.初等矩阵的性质1(,)(,),PijPij11(())(()),PikPik1(,())(,()).PijkPijk§4.6初等矩阵2引理对任一矩阵作一初等行(列)变换相当于A对左(右)乘一个相应的初等矩阵．A:对换的两行；(,)PijAA,ij:对换的两列．(,)APijA,ij：用非零数乘的第列；(())PikAkAi：用非零数乘的第列．(())APikkAi：的第行乘以加到第行;(,())PijkAkAij：的第列乘以加到第列．(,())APijkkAij§4.6初等矩阵若矩阵B可由A经过一系列初等变换得到，则称A与B等价的．（也称A与B相抵）①矩阵的等价关系具有：反射性、对称性、传递性.②等价矩阵的秩相等．二、等价矩阵定义注：§4.6初等矩阵1)定理5任一矩阵A都与一形式为sn10001000000000000rE矩阵等价的有关结论的矩阵等价，称之为A的标准形,且主对角线上1的个数等于R(A)(1的个数可以是零).r§4.6初等矩阵2)矩阵A、B等价1212.stBPPPAQQQ存在初等矩阵1212,,,,,,,,stPPPQQQ使3)n级方阵A可逆A的标准形为单位矩阵E.A与单位矩阵E等价.12.tAQQQ即4)n级方阵A可逆A能表成一些初等矩阵的积,定理6§4.6初等矩阵推论1推论2存在s级可逆矩阵P及n级可逆矩阵Q,使.BPAQ两个矩阵A、B等价sn由此得定理5的另一种叙述：对任一矩阵A，存在可逆矩阵,使sn,ssnnPQ，其中．000rEPAQ()rRA可逆矩阵可经一系列初等行(列)变换化成单位矩阵.§4.6初等矩阵，有时，由当lPPPAA210,11111EAPPPll,111111AEPPPll及EPPPAPPPllll11111111111AEEAPPPll11111.)(21AEEAEAnn就变成时，原来的变成当把施行初等行变换，矩阵即对三、利用初等变换求逆阵原理:§4.6初等矩阵.,3431223211AA求设解例１103620012520001321100343010122001321EA122rr133rr21rr23rr§4.6初等矩阵11110001252001120121rr23rr111100563020231001312rr325rr312rr325rr）（22r）（13r.111253232311A11110025323010231001）（22r）（13r§4.6初等矩阵.1BA矩阵的方法，还可用于求利用初等行变换求逆阵E)()(11BAEBAA)(BABA1即初等行变换§4.6初等矩阵例２.341352,343122321,BABAXX，其中使求矩阵解.1BAXA可逆，则若343431312252321)(BA§4.6初等矩阵1226209152052321311009152041201311006402023001122rr133rr21rr23rr312rr325rr§4.6初等矩阵，311003201023001.313223X）（22r）（13r311006402023001312rr325rr§4.6初等矩阵.1CAY即可得作初等行变换，也可改为对),(TTCA,1作初等列变换，则可对矩阵如果要求CACAY,CA1CAE列变换),)(,(),1TTTTCAECA（列变换TT1C)(AYT即可得,C)(T1TA.Y即可求得§4.6初等矩阵例3.,2,410011103XXAAXA求矩阵且设解,2XAAX,2100111012EA又,)2(AXEA§4.6初等矩阵4102100110111031012AEA由于,322100234010225001~初等行变换.322234225X§4.6初等矩阵.,1000110011102222A1,njiijAAn式之和中所有元素的代数余子求方阵已知解例4,02A.可逆A.1*AAA且§4.6初等矩阵10001000010011000010111000012222EA100010001100010001100010001210001§4.6初等矩阵,100011000110001211A,21*AAnjiijA1,故.1)]1()1(21[2nn§4.6初等矩阵.010102001的乘积表示成有限个初等方阵将矩阵A思考题§4.6初等矩阵3124APPEPP.4213PPPP,0101000011P,1020100012P,1000100013P.1000100014P解可以看成是由3阶单位矩阵经4次初等变换,AE3331321,1,2,crccrr