高等代数北大版5-2

§5.2标准形一、二次型的标准形二、合同的变换法三、小结§5.2标准形§5.2标准形二次型中非常简单的一种是只含平方项的二次型它的矩阵是对角阵平方和的形式？若能，如何作非退化线性替换？任意二次型能否经过适当非退化线性替换化成?2221122nndxdxdx12120000(,,,)000nndddiagdddd§5.2标准形证明：对二次型变量个数n作归纳法.假定对n－1元二次型结论成立.一、二次型的标准形过非退化线性替换化成平方和的形式.1、（定理1）数域P上任一二次型都可经n=1时，结论成立.21111(),fxax下面考虑n元二次型12(,,,).nfxxx§5.2标准形212111121211(,,,)22nnnfxxxaxaxxaxx2222222nnaxaxx2333332nnaxaxx2nnnax2111112222nnnjjijijjijaxaxxaxx2111112222nnnjjijijjijaxxaxaxx§5.2标准形这里，2111111112112112(][)2njjjnjjjaxxaaaaxx12121111111112222[()]()nnnnjjjjijijjjijaxaaxaaxaxx1211121122()nnnijijijjjjaxaaxax12111111222[()]nnnjjijijjijaxaaxbxx1211122222()nnnnnijijjjijijijjijbxxaaxaxx是一个.的n－1元二次型.23,,,nxxx配方法§5.2标准形它是非退化的，111111222njjjnnyxaaxyxyx令111111222njjjnnxyaayxyxy－或112111111221,0100001nnnaaxyaaxyxy即,21211122(,,,).nnnijijijfxxxaybyy且使§5.2标准形使它变成平方和于是，非退化线性替换22222332332233332233nnnnnnnnnnzcycycyzcycycyzcycycy11222223322233nnnnnnnnzyzcycycyzcycycy2222233nndzdzdz由归纳假设，对有非退化线性替换22nnijijijbyy§5.2标准形11221233nnxyyxyyxyxy2221211122(,,,)nnnfxxxazdzdz就使变成12(,,,)nfxxx2）但至少有一个0,(1,2,,),iiain10(1)jaj不妨设作非退化线性替换：120,a§5.2标准形不为零.由情形1）知，结论成立.2212112222ayay1212122()()ayyyy12122axx则121(,,,)2nijijijnfxxxaxx这是一个的二次型，且的系数12,,,nyyy21y§5.2标准形这是一个n－1元二次型，由归纳假设，结论成立.总之，数域P上任一二次型都可经过非退化线性替换化成平方和的形式.即1222(,,,).nnnijijijfxxxaxx213110.naaa3）由对称性，111210.naaa§5.2标准形2、二次型的标准形的定义所变成的平方和形式注：1）由定理1任一二次型的标准形是存在的.2）可应用配方法得到二次型的标准形.2221122nndydydy二次型经过非退化线性替换12(,,,)nfxxx的一个标准形.称为12(,,,)nfxxx§5.2标准形则解：作非退化线性替换2221332232()228yyyyyy221213232248yyyyyy1232()yyy121212123(,,,)2()()6()nfxxxyyyyyyy112233110110001xyxyxy即,11221233xyyxyyxy例1、求123122313(,,)262fxxxxxxxxx的标准形.§5.2标准形222123322(2)6zzzz22221233322(2)82zzzzz或11223332zwzwwzw最后令11223332wzwzzwz则2221212323(,,,)2228nfxxxzzzzz112233101010001yzyzyz即,或1132233yzzyzyz再令1132233zyyzyzy§5.2标准形所作的非退化线性替换是即11232123333x123110101100110010012001001001123113111001111222333110110101110110010001001001xyzxyzxyz222123123(,,)226fxxx则§5.2标准形3、（定理2）数域P上任一对称矩阵合同于证：对A的级数作归纳法.假定对n－1级对称矩阵结论成立，考虑n级矩阵A，分四种情形讨论：使C´AC为对角矩阵．即若A´＝A，则存在可逆矩阵,nnAPnnCPn＝1时，为对角阵,结论成立.1111,AaEAEa设,.ijnnAaAA一个对角矩阵.§5.2标准形11111211111111110100001nnaaaaaCE令111,aAA再令111)0a12131naaa这里22212,nnnnaaAaa这里A1为n－1级对称矩阵.§5.2标准形11111100aAa1111111111100naaEAa则11111111111111010nnaaCACAaEE111111111111AaAaAa这里是n－1级对称矩阵，1111Aa§5.2标准形为对角矩阵.由归纳假设，存在可逆矩阵G，使11111101010000aGGAa2112CCACC111111110000aaGAaGD为对角矩阵.1111GAaGD令则210,0CG令12,CCC则C可逆，且为对角矩阵.CAC§5.2标准形其中110.iiba归结为情形1，结论成立.12211111122,0,0.jjjbbababa其中112,2,nnijCACPjAPjbP令,则12,CPj3)但有一个0,1,2,,,iiain10,1.jaj则111,1,nnijCACPiAPibP令1(1,),CPi显然1(1,)CPi2)但有一个0,1iiai110,a§5.2标准形归结为情形1）.则211211120.nnijjCCACCdPda中,21100110000100001C再令4)由对称性,有10,1,2,,,jajn10,1,2,,,jajn于是为n－1级对称矩阵.1100,0AAA§5.2标准形为对角矩阵.为对角矩阵.1001010000CACAGG1000000GAGD由归纳假设，有n－1级可逆矩阵G，使1GAGD令则10,0CG§5.2标准形例2根据定理2，求例1中二次型的标准形.情形3)情形1)123122313(,,)262fxxxxxxxxx111110011110110103110001130001ACAC令1110110,001C解：的矩阵为011103130A123(,,)fxxx202024240§5.2标准形200024042情形1)2212100202101010024010101240001ACAC令3100012,001C令2101010,001C§5.2标准形3323100202100010024012021242001ACAC200020006为对角矩阵.113111001123110101100110010012001001001CCCC令§5.2标准形作非退化线性替换X＝CY，则200020,006CAC222123123(,,)226.fxxx即得的标准形123(,,)fxxx§5.2标准形二、合同的变换法（1）互换矩阵的,ij两行，再互换矩阵的,ij两列;1.定义：合同变换是指下列三种变换（2）以数k（0k)乘矩阵的第i行；再以数k乘ii（3）将矩阵的第i行的k倍加到第j行，再将第i列的k倍加到第j列（).ij矩阵的第i列.§5.2标准形2.合同变换法化二次型为标准形又，设对称矩阵A与对角矩阵D合同，则存在可逆矩阵基本原理：C,使Ｄ＝Ｃ´ＡＣ.(,)(,),(())(()),pijpijpikpiks2112sCACQQQAQQQs2112sQQQAQQQ（（（）））若为初等阵，则12,siCQQQQ(,())(,())pijkpjik§5.2标准形对E施行同样的初等列变换便可求得可逆矩阵C满足就相当于对A作s次合同变换化为D.所以，在合同变换化矩阵A为对角阵D的同时，又注意到12...SCEQQQ212(...())...)SSQQQAQQQD所以，212(...())...)SSCACQQQAQQQ.CACD§5.2标准形基本步骤：②对A作合同变换化为对角矩阵D对E仅作上述合同变换中的初等列变换得C③作非退化线性替换X=CY，则即,12(,...,),nfxxxXAXAA①写出二次型的矩阵A12(,,...,)nfxxx为标准形.12(,,...,)nfxxxYDYDCAED为对角阵,且DCAC§5.2标准形注意：i）若a11≠0，作合同变换：将A的第一行的倍111jaa加到第j行，再将所得矩阵的第一列的倍加到111jaa第j列,j=2,3,….n则1110...00...0aAA合同变换化对称矩阵为对角阵D时()0ijnnAa§5.2标准形ii)若a11=0，而有某个aii≠0，作合同变换：互换1,i两行，再互换1,i两列，所得矩阵的