圆经典例题精析

1圆经典例题精析考点一、圆的有关概念和性质1．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧.其中正确的有()(A)4个(B)3个(C)2个(D)1个【考点】本题考查直径、过不在同一条直线上的三点的圆、外心、等圆与等弧等概念，【思路点拨】其中第②个命题不对的原因在于忽视了过三点作图的条件.若三点在一条直线上，则不能作出过这三点的圆，故②不对.【答案】B.2．下列判断中正确的是()(A)平分弦的直线垂直于弦(B)平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧(C)弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧(D)平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦【考点】垂径定理【解析】弦的垂直平分线平分弦、垂直于弦，因此平分弦所对的两条弧.A中被平分的弦应不是直径；B理由同A；D中平分弧的直线的直线应过圆心.【答案】C.3．如图，在两半径不同的同心圆中，∠AOB=∠A′OB′=60°，则()(A)(B)(C)的度数=的度数(D)的长度=的长度【思路点拨】因为在圆中，圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，而∠AOB=∠A′OB′，所以的度数=的度数.【答案】C.4．如图，已知圆心角∠AOB的度数为100°，则圆周角∠ACB的度数是()A.80°B.100°C.120°D.130°2【考点】同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，圆内接四边形的对角互补.【思路点拨】可连结OC，则由半径相等得到两个等腰三角形，∵∠A+∠B+∠ACB=360°-∠O=260°，且∠A+∠B=∠ACB，∴∠ACB=130°.或在优弧AB上任取一点P，连结PA、PB，则∠APB=∠O=50°，∴∠ACB=360°-∠APB=130°.【答案】D.总结升华：圆的有关性质在解决圆中的问题时，应用广泛，运用简便.举一反三：【变式1】某公园的一石拱桥是圆弧形(劣弧)，跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为_____.【考点】垂径定理.【思路点拨】本题可用几何语言叙述为：如图，AB为⊙O的弦，CD为拱高，AB=24米，半径OA=13米，求拱高CD的长.【解析】由题意可知：CD⊥AB，AD=BD，且圆心O在CD的延长线上.连结OA，则OD===5(米).所以CD=13-5=8(米).【答案】8米.【变式2】如图，AB是⊙O的直径，∠ACD=15°，则∠BAD=__________°.【考点】同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是90°.【思路点拨】AB是直径，则∠ADB=90°，∠ACD=∠ABD=15°，可求得∠BAD.【答案】75°.【变式3】如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，且AE=1cm，EB=5cm，∠DEB=60°，求CD的长.【解析】因为AE=1cm，EB=5cm，所以OE=(1+5)-1=2(cm)，半径等于3cm.在Rt△OEF中可求EF3的长，再求OF的长，连结OD，利用勾股定理求得FD，可得CD的长.【略解】∵AE=1cm，BE=5cm，∴⊙O的半径为3cm.∴OE=3-1=2(cm).在Rt△OEF中，∠OEF=60°，∴OF=sin60°·OE=·2=(cm).连结OD，在Rt△ODF中，OF⊥CD，∴FC=FD.FD2=OF2+OD2即FD2=32-()2，解得FD=±(负值舍去).∴CD=2FD=2(cm).考点二、与圆有关的位置关系5．圆心O与直线AB上一点的距离等于半径，则直线AB与⊙O的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.相切或相交【考点】直线和圆的位置关系.【思路点拨】注意审题，本题说的是圆心和直线上一点的距离等于半径，不是圆心到直线的距离等于半径.故不能选B.如下图有两种情况均符合题意：点O到点A的距离均等于半径.【答案】D.6．如图，AB、AC是⊙O的切线，将OB延长一倍至D，若∠DAC=60°，则∠D=_____.【思路点拨】连结OA.∵AB、AC是⊙O的切线，∴AO平分∠BAC，且OB⊥AB.又OB=BD，∴OA=DA.∴∠OAB=∠DAB.∴3∠DAB=60°.∴∠DAB=20°.∴∠D=70°.【答案】∠D=70°.7．若两圆半径分别为R和r(Rr)，圆心距为d，且R2+d2=r2+2Rd，则两圆的位置关系为()A.内切B.内切或外切C.外切D.相交【考点】圆和圆位置关系的判定【思路点拨】由R2+d2=r2+2Rd得R2+d2-2Rd=r2，(R-d)2=r2，所以d=R±r，故选B.【答案】B.48．OA平分∠BOC，P是OA上任一点，P不与点O重合，且以P为圆心的圆与OC相离，那么圆P与OB的位置关系是()(A)相离(B)相切(C)相交(D)不确定【考点】直线和圆的位置关系.【思路点拨】因为以点P为圆心的圆与OC相离，则P到OC的距离大于圆的半径.又因为角平分线上的一点到角的两边的距离相等，则点P到OB的距离也大于圆的半径，故圆P与OB也相离.【答案】A.9．△ABC的三边长分别为a、b、c，它的内切圆的半径为r，则△ABC的面积为()(A)(a+b+c)r(B)2(a+b+c)(C)(a+b+c)r(D)(a+b+c)r【考点】内心到三角形三边的距离相等.【解析】连结内心与三个顶点，则△ABC的面积等于三个三角形的面积之和，所以△ABC的面积为a·r+b·r+c·r=(a+b+c)r.【答案】A.总结升华：主要考查用点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系及切线长定理解决问题.举一反三：【变式1】已知半径分别为r和2r的两圆相交，则这两圆的圆心距d的取值范围是()(A)0＜d＜3r(B)r＜d＜3r(C)r≤d＜3r(D)r≤d≤3r【考点】相交两圆的圆心距与两圆半径之间的关系.【解析】当两圆相交时，圆心距d与两圆半径的关系为2r-r＜d＜2r+r，即r＜d＜3r.【答案】B.【变式2】如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAC交⊙O于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点D，试判断△AED的形状，并说明理由.【考点】角平分线的性质和切线的性质.【解析】△AED是直角三角形，理由如下：5连结OEAE平分∠BAC，∴∠1=∠2OA=OE，∴∠1=∠3∴∠2=∠3，∴AC//OEED是⊙O的切线，∴∠OED=90°∴∠ADE=90°，∴△AED是直角三角形.【变式3】在射线OA上取一点A，使OA=4cm，以A为圆心，作一直径为4cm的圆，问：过O的射线OB与OA所夹的锐角取怎样的值时，⊙A与OB(1)相离；(2)相切；(3)相交.【考点】直线与圆的位置关系的判定.【思路点拨】判定直线与圆的位置关系，主要通过圆心到直线的距离与半径之间的比较：设⊙O的半径为r，圆心到直线的距离OP=d，则有：①直线与圆相交d＜r；②直线与圆相切d=r；③直线与圆相离d＞r.【解析】作于点CAC=AO·sin当AC=2cm时，锐角=30°，∴当=30°时，该圆与OB相切；当0°＜＜90°时，sin随的增大而增大.∴30°＜＜90°时，AC＞2cm，该圆与OB相离；0°＜＜30°时，该圆与OB相交.【变式4】⊙O2和⊙O1相交于点A、B，它们的半径分别为2和，公共弦AB长为2，若圆心O1、O2在AB的同侧，则∠O1AO2=_____.【考点】相交两圆的连心线垂直平分公共弦.【思路点拨】连结O1O2并延长交AB于点C，则O1O2⊥AB，AC=AB=1，在Rt△AO2C中可求得∠CAO2=60°，在Rt△AO1C中可求得∠CAO1=45°，得出结论∠O1AO2=15°.【变式5】⊙O2和⊙O1相交于点A、B，它们的半径分别为2和，公共弦AB长为2，若圆心O1、O2在AB的同侧，则O1O2=_____.6【考点】相交两圆的连心线垂直平分公共弦和勾股定理.【思路点拨】连结O1O2并延长交AB于点C，则O1O2⊥AB，AC=AB=1，运用勾股定理，在Rt△AO2C中可求得CO2=，在Rt△AO1C中可求得CO1=1，则O1O2=CO2-CO1=-1.【答案】O1O2=-1.【变式6】⊙O2和⊙O1相交于点A、B，它们的半径分别为2和，公共弦AB长为2，则O1O2=_____.【考点】相交两圆的连心线垂直平分公共弦和勾股定理.【思路点拨】分两种情况：1、圆心O1、O2在AB的同侧，如图1；2、圆心O1、O2在AB的两侧，如图2.图1图2【解析】连结O1O2并延长交AB于点C，则O1O2⊥AB，AC=AB=1，运用勾股定理，在Rt△AO2C中可求得CO2=，在Rt△AO1C中可求得CO1=1，(1)如图1，圆心O1、O2在AB的同侧时，则O1O2=CO2-CO1=-1；(2)如图2，圆心O1、O2在AB的两侧时，则O1O2=CO2+CO1=+1.【答案】O1O2=-1或+1.考点三、圆与正多边形10．如图，A是半径为2的⊙O外一点，OA=4，AB是⊙O的切线，点B是切点，弦BC∥OA，连结AC，则图中阴影部分的面积为_________.7【考点】切线的性质和扇形面积公式.【解析】∵BC∥OA∴△ABC和△OBC同底等高∴S△ABC=S△OBC∴图中阴影部分的面积等于扇形OBC的面积.∵AB是⊙O的切线∴OB⊥BA在Rt△ABO中，OA=4，OB=2∴∠OAB=30°则可得∠BOA=60°可得结论.11．扇形的半径为6cm，面积为9cm2，那么扇形的弧长为______，扇形的圆心角度数为_____.【考点】弧长公式和扇形面积公式.【解析】已知扇形面积为9cm2，半径为6cm，则弧长；设圆心角的度数为n，则，所以.【答案】3；.12．用一张面积为900cm2的正方形硬纸片围成一个圆柱的侧面，则这个圆柱的底面直径为_____.【思路点拨】本题中圆柱的侧面展开图为正方形，圆柱底面圆的周长是正方形的边长.【解析】面积为900cm2的正方形的边长为30cm，则底面圆的周长30cm.设直径为d，则，故(cm).【答案】cm.13．如图，已知扇形AOB的圆心角为60°，半径为6，C、D分别是弧AB的三等分点，则阴影部分的面积等于_______.【考点】扇形面积公式.【思路点拨】可将阴影部分通过旋转得到一个扇形.【解析】阴影部分的面积等于扇形AOB面积的.【答案】2.814．圆锥的母线长5cm，底面半径长3cm，那么它的侧面展开图的圆心角是()A.180°B.200°C.225°D.216°【考点】圆锥底面圆周长是侧面展开图的扇形的弧长.【解析】圆锥底面圆周长=×3×2=可求n=216°.【答案】D.总结升华：熟记弧长和扇形面积公式，并会利用与圆心角、半径之间的关系互求.举一反三：【变式1】如图，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E相互外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形(阴影部分)的面积之和是()A.B.1.5C.2D.2.5【思路点拨】五个扇形(阴影部分)的面积之和可以看作是圆心角为五边形的内角和，半径为1的扇形面积.【解析】五边形的内角和为540°，所以阴影部分的面积=.【答案】B.【变式2】一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是()(A)60°(B)90°(C)120°(D)180°【考点】此题考查圆锥的侧面展开图的概念.注意理解圆锥、圆锥的侧面展开图的有关概念.【思路点拨】设圆锥的母线长为a，圆心角度数为n，底面圆的半径为r，则解此方程组，得n=180.【答案】D.【变式3】如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB=2，以AB为直径的圆交BC于D，求图形阴影部分的面积.【考点】会把不可求的阴影面积转化为可求面积.【思路点拨】连接AD，则阴影面积等于△ACD的面积，即等于△ABC面积的一半.【解析】连接AD9AB是直径，∴∠ADB=90°△ABC中AC=AB=2，∠BAC=90°∴∠C=45°∴CD=AD=∴=××=1弦AD=BD，∴以AD、BD和它们所对的劣弧构成的弓形是等积形∴==1.【变式4】在ABCD中，AB=4，AD=2，BD⊥AD，以BD为直径的⊙O交AB于E，交CD于F，则□ABCD被⊙O截得的阴影部分的面积为______