1第一次课-行列式的定义+行列式的性质与计算(一)

第一章行列式§1.1行列式的定义§1.2行列式的性质与计算§1.3克拉默法则公共邮箱：[e-mail]密码：111111第一次课§1.2行列式的性质与计算(一)§1.1行列式的定义会计算二阶与三阶行列式掌握n阶行列式的定义掌握三角形特殊行列式掌握行列式的性质熟练运用行列式的性质计算行列式教学内容教学目标及基本要求2020年3月2日星期一3利用“对角线法则”计算二、三阶行列式熟记“特殊行列式”的结论利用性质化归特殊行列式重点难点n阶行列式的定义利用性质化归特殊行列式2020年3月2日星期一412a11a22a21a112212211122212aaaaxbaba112212212112211aaaaxabab§1.1行列式的定义一、二、三阶行列式Determinant11112212112222axaxbaxaxb0122212111221221babaxaaaa112211211221221ababxaaaa11122122aaaa主对角线负对角线1122aa1221aa1235152311maindiagonal2020年3月2日星期一5122212111221221babaxaaaa11122122aaaa1b22a2b12a1DD112211211221221ababxaaaa11122122aaaa11a2b21a1b2DD其中Dj为右端常数项替换D中的第j列而构成的行列式系数行列式Determinantofcoefficientmatrix2020年3月2日星期一62、三元线性方程组111122133121122223323113223333axaxaxbaxaxaxbaxaxaxb三阶行列式111213212223313233aaaaaaaaaD112233aaa122331aaa132132aaa132231aaa122133aaa112332aaa对角线法则2020年3月2日星期一71121312222333233baaDbaabaa1111322122331333abaDabaaba1112132122231323aabDaabaab同理当D≠0时，方程组也有唯一解：312123,,DDDxxxDDD其中Dj为右端常数项替换D中的第j列而构成的行列式2020年3月2日星期一81231231232415321xxxxxxxxx求解方程组241153111D25143111115141123180例1解2020年3月2日星期一9同理，可求得：239,6DD所以，3121231193,,884DDDxxxDDD1141253111D5122583112020年3月2日星期一10二、n阶行列式的定义1、def:行列式D中划去元素ija所在的i行和j列元素后剩下的所有元素保持行列的前后顺序不变缩成的行列式。称为元素ija的余子式，记作ijM。在ijM的前面加上符号(1)ij，称为元素ija的代数余子式，记作ijA，即：(1)ijijijAM148529361231436M2323141413636A(P5)CofactorAlgebraiccofactor2020年3月2日星期一111阶行列式：11Da11a注意与绝对值的区别2阶行列式：11122122aaDaa11221221aaaa11a12a11M12M11121112AaaA11a11111M12a12121M某行(列)元素与其对应的代数余子式的乘积之和2020年3月2日星期一12111213212223313233aaaDaaaaaa112233aaa122331aaa132132aaa132231aaa122133aaa112332aaa3阶行列式：11a22332332aaaa12a21332331aaaa13a21322231aaaa11a22233233aaaa12a21233133aaaa13a21223132aaaa11a11M12a12M13a13M11a11A12a12A13a13A某行(列)元素与其对应的代数余子式的乘积之和2020年3月2日星期一132、展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其代数余子式的乘积之和。即有1122iiiiiinnDaAaAaA(1,2,,)in1122nnjjjjjjDaAaAaA(1,2,,)jn称为行列式按第i行展开以及行列式按第j列展开。(P6定义1.1.1)例1计算3阶行列式124103221D说明：应尽量选择含0多的行(或列)来展开2020年3月2日星期一14三、特殊行列式111211122221221211221122nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaDaaaaaaaaaa主对角型:主对角型（简记为）2020年3月2日星期一151111212,12212,1112112,1122,1111nnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaDaaaaaaaaaa负对角型:负对角型（简记为）121nn2020年3月2日星期一16§1.2行列式的性质与计算一、行列式的性质将n阶行列式第1,2,,iin作为第i列所得行列式称为行列式D的转置行列式，记作TD或D.即：112111222212nnTnnnnaaaaaaDaaa1224D1224TD(P9定义1.2.1)Determinantoftransposematrix2020年3月2日星期一1711111niinnnnaaaakaa11111niinnnnkkaaaaaa性质1：转置不变性TDD性质2：提取公因子用数k乘行列式的某一行（列）等于用数k乘此行列式。推论:若行列式有一行(列)元素全是0,则该行列式等于0.说明：行列式中行与列的地位相同(P9性质1.2.1)(P10性质1.2.4)ijkrkc记作：2020年3月2日星期一18（key：4abcdef）abacaebdcddebfcfef例1(P24习题1-T2-(3))2020年3月2日星期一19复习二阶行列式11122122aaaa1122aa1221aa三阶行列式111213212223313233aaaaaaaaaD112233aaa122331aaa132132aaa132231aaa122133aaa112332aaa对角线法则2020年3月2日星期一201122iiiiiinnDaAaAaA(1,2,,)in1122nnjjjjjjDaAaAaA(1,2,,)jn展开定理某行(列)元素与其对应的代数余子式的乘积之和特殊行列式:主对角型:负对角型注意：应选择含0多的行(列)来进行展开121nn2020年3月2日星期一2111111innnnincaaaca11111ninnnnibbaaaa111111iiininnnnnbcbaaaac性质3：拆加性若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则原行列式等于相应的两个行列式的和。性质3可推广到一行(列)元素都是m个元素之和的情形.(P10性质1.2.5)2020年3月2日星期一22111111222222bccaabbccaabbccaab例2（key：）1112222abcabcabc化简行列式2020年3月2日星期一2311kkiinnaaaa11iinkknaaaa性质4：互换反号性互换行列式的两行（列），行列式改变符号。推论1:若行列式的两行(列)相同，则行列式为0.推论2:若行列式的两行(列)成比例，则行列式为0.(P10性质1.2.3)ikikrrcc记作：2020年3月2日星期一24111iinjjnjjnaakakaaa11jjniinaaDaa性质5：倍加不变性将行列式的某行(列)k倍加到另一行(列)上，行列式的值不变。(P11性质1.2.6)Dkijijrkrckc记作：2020年3月2日星期一25例1二、行列式的计算方法一：利用性质化归特殊行列式(P12例1.2.1)32101101211111112020年3月2日星期一26例2各行（列）元素之和为常数abbbabDbba2020年3月2日星期一27例3“箭型”行列式01211220000,0,1,2,,00ninnabbbcacaainca2020年3月2日星期一28例4计算n阶行列式0000000000000000xyxyyxyyx方法二：利用展开定理(降阶的思想)2020年3月2日星期一290000000000000000yxyxyyxxy思考题2020年3月2日星期一30例41、“范德蒙德(Vandermonde)”行列式证明Vandermonder行列式1222212111112(111)nnnnnniijnnjxxxxxxDxxxxx(2)n用数学归纳法证升幂排列(P12例1.2.4)方法三：利用重要结论2020年3月2日星期一31例52323232311248139271aaaaaaaaaaaa(key：)648a2020年3月2日星期一322、拉普拉斯(Laplace)展开定理(P18)*000*0mmmmmmnnnnnnAAABBB3000004200000310000004000000510000116例6mmnnAB2020年3月2日星期一33*000*0mmmmmmnnnnnnAAABBB例700002000141030021130302131mnmmnnAB2020年3月2日星期一3411220,,ljljnlnjDljaAaAlAja11220,,kikikninDkiaAaAkAia定理不零例6(P17例1.2.6)(P16定理1.2.1)设4阶行列式的第2列元素依次为2,m,k,3，第2列元素的代数余子式依次为-1,-1,-1,-1，第4列元素的代数余子式依次为3,1,4,2，且该行列式的值等于1，求m,k的值。(key：m=-4，k=-2)2020年3月2日星期一35二阶、三阶行列式的“对角线法则”行列式的性质TDD::提取公因子:互换反号性:倍加不变性:拆加性:某行(列)元素全为零、相同、对应成比例,则行列式等于零小结2020年3月2日星期一361122iiiiiinnDaAaAaA(1,2,,)in1122nnjjjjjjDaAaAaA(1,2,,)jn展开定理某行(列)元素与其对应的代数余子式的乘积之和特殊行列式:主对角型:负对角型注意：应选择含0多的行(列)来进行展开121nn2020年3月2日星期一37:范德蒙德行列式1222212111112(1)11nnnnnnjiijnnxxxxxxDxxxxx2020年3月2日星期一38:拉普拉斯展开定理*000*0mmmmmmnnnnnnmmnnAAABBBAB1):*000*01mmmmmmnnnnnnmnmmnnAAABBBAB2):2020年3月2日星期一39提前预习§1.3克拉默法则412