5第五次课-矩阵的初等变换与初等矩阵+矩阵的秩

第五次课§2.5矩阵的初等变换与初等矩阵掌握矩阵的初等变换及初等变换求逆矩阵的方法了解矩阵等价的概念教学内容教学目标及基本要求矩阵的初等变换及初等变换求逆矩阵方程的求解重点2020/3/22/21§2.5矩阵的初等变换与初等矩阵一、矩阵的初等变换1、def：:ijmnAa(1)互换：ijijrrcc(2)倍乘：(3)倍加：,0ijkrkckijijrkrckc对行（列）的操作称为初等行（列）变换，统称为初等变换.（P53定义2.5.1）(Elementaryoperation)与行列式的运算有什么不同?AB2020/3/23/21初等变换可逆，且其逆变换是同一类型的初等变换.(1)：ijrrABijrrBA(2)：ikrAB1irkBA(3)：jikrrABjikrrBA2、def：若矩阵mnA可经过有限次初等变换化为矩阵mnB，则称A与B等价或相抵，记作AB.性质：反身性：对称性：传递性：AAABBA,ABBCACEquivalent2020/3/24/213、阶梯形矩阵000*000:主元：每行左起第一个非零元素R*特点：全为0的行(如果存在)都集中在最下面越上方的行，主元越靠左主元下方的元素全为0030112110500010003020echelonmatrix2020/3/25/214、规范阶梯形矩阵(行最简形矩阵)主元全是“1”主元“1”所在列其余元素全为05、标准形矩阵000rE311010000010500100011000000000001100reducedrowechelonform2020/3/26/214、定理例1用初等行变换化矩阵为阶梯形矩阵01312120103603023301AmnA初等行变换阶梯形矩阵初等行变换规范阶梯形矩阵???唯一?不!█2020/3/27/21二、初等矩阵1、def：对单位矩阵E施行一次初等行（列）变换所得到的矩阵称为初等矩阵。2、性质初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵初等矩阵均可逆，并且其逆矩阵仍为初等矩阵(P55定义2.5.2)初等矩阵行初等矩阵R列初等矩阵Celementarymatrix2020/3/28/213、定理(P58定理2.5.1)对一个mn矩阵做一次初等行变换等同于用一个相应的m阶行初等矩阵左乘矩阵A；而对矩阵A做一次初等列变换等同于用一个相应的n阶列初等矩阵右乘矩阵A。即：mnA作一次初等行变换mnBmmmnmnRAB行左mnA作一次初等列变换mnBnnmnnmACB列右2020/3/29/21例11122012020/3/210/214、定理(P58定理2.5.2)n阶方阵A可逆AE证明方阵A可逆A可表示为有限个初等矩阵的乘积。5、推论(P59推论2.5.1)A可逆0A矩阵A一定与其标准形等价，即存在初等矩阵12,,,sRRR，使得21sRRRAB初等矩阵都可逆，则0,B从而B为E2020/3/211/21三、初等变换法求逆设A可逆时，则AE,所以存在有限个初等矩阵12,,,sRRR，使得21sRRRAE，两端同时右乘1A，便有121sRRREA可逆矩阵A一定可以只通过一系列初等行变换化E：：单位矩阵E可经相同的这一系列初等行变换化为1AAE初等行变换E1A初等列变换同理：AE1EA2020/3/212/21例1133143134A2020/3/213/21例2求解矩阵方程010111112010153XX其中X是32的未知矩阵。左右一致提公因子乘逆矩阵2020/3/214/21对于A为n阶可逆方阵的线性方程组AXb。显然1XAb是AXb解.例3求解线性方程组123121232231620xxxxxxxx四、逆矩阵的应用2020/3/215/21小结初等变换初等变换化（规范）阶梯形矩阵“行左列右”AE初等行变换E1A初等变换求逆2020/3/216/21提前预习6667:9(1)P作业69:6P,12213,17习题2(A)：习题2(B)：§2.6矩阵的秩