12第十二次课-矩阵的特征值与特征向量

第十二次课理解矩阵的特征值与特征向量的概念，会求矩阵的特征值与特征向量教学内容教学目标及基本要求§5.2矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量的概念及其求法重点难点矩阵的特征值与特征向量2020年3月2日星期一2§5.2矩阵的特征值与特征向量一、特征值与特征向量1、def：n阶方阵A，若有数和列向量0X满足AXX，则称为A的特征值,称X为A的属于特征值的特征向量。（P136定义5.2.1）eigenvalueseigenvectors2020年3月2日星期一32.特征方程：AXX()0AEX或者()0EAX()0AEX有非零解0AE0EA或者3.特征多项式：111212122212()nnnnnnaaaaaafAEaaa10110[(1)]nnnnnaaaaa2020年3月2日星期一44.特征值、特征向量的求解步骤Step1：求0AE的根12,,n作为特征值Step2：对每个i，求对应的0iAEX的非零解（基础解系的线性组合）就是对应于特征值i的的全部特征向量（注：任一个非零解就是一个特征向量）2020年3月2日星期一5例1求122212221A的特征值与特征向量。2020年3月2日星期一6例2求110430102A的特征值与特征向量。[注]在例1中,对应2重特征值1有两个线性无关的特征向量；在例2中,对应2重特征值1只有一个线性无关的特征向量．一般结论：对应r重特征值的线性无关的特征向量的个数r．(P137例5.2.1)2020年3月2日星期一7例3证明：方阵A与TA有相同的特征值。(P139定理5.2.1)2020年3月2日星期一8二、特征值与特征向量的性质推论：0A0是A的特征值。性质2：设是nnA的特征值，是对应于的特征向量，1110mmmmfAaAaAaAaE的特征值为1110mmmmfaaaa方阵A的迹性质1：设()ijnnAa的特征值为12,,,n,则(1)121trniiniAa；(2)12nA(P139定理5.2.2)2020年3月2日星期一9性质3：n阶方阵A可逆(1)：特征值0i；(2)：1A的特征值为1i(3)：*A的特征值为iA；(4)：**A的特征值为2niA，而特征向量不变。(P139推论5.2.1)2020年3月2日星期一10定理3：设nnA的不同特征值为12,,,m,对应的特征向量依次为12,,,m,则向量组12,,,m线性无关。(P139定理5.2.3)2020年3月2日星期一11小结特征值、特征向量的求解步骤Step1：0AE的根作为特征值Step2：对每个i，求0iAEX的基础解系就是i特征向量性质1：设()ijnnAa的特征值为12,,,n,则(1)121trniniiAa；(2)12nA特征值、特征向量的性质2020年3月2日星期一12性质2：设是nnA的特征值，是对应于的特征向量，1110mmmmfAaAaAaAaE的特征值为1110mmmmfaaaa性质4：不同特征值所对应的特征向量线性无关性质3：n阶方阵A可逆(1)：特征值0i；(2)：1A的特征值为1i(3)：*A的特征值为iA；(4)：**A的特征值为2niA，而特征向量不变。2020年3月2日星期一13提前预习作业习题5(A)：§5.3相似矩阵与方阵的对角化§5.4实对称矩阵的对角化155:1(2)49P、、