随机过程习题答案

1、已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为mx和my，它们的自相关函数分别为Rx()和Ry()。（1）求Z(t)=X(t)Y(t)的自相关函数；（2）求Z(t)=X(t)+Y(t)的自相关函数。答案：（1）)()()()()()()(tytxtytxEtztzERz)()()()()()()()()(yxzRRtytyEtxtxERtytx：独立的性质和利用（2）)()()()()()()(tytxtytxEtztzERz)()()()()()()()(tytytxtytytxtxtxE仍然利用x(t)和y(t)互相独立的性质：)(2)()(yyxxzRmmRR2、一个RC低通滤波电路如下图所示。假定输入是均值为0、双边功率谱密度函数为n0/2的高斯白噪声。（1）求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数；（2）求输出信号的一维概率密度函数。答案：（1）该系统的系统函数为RCssXsYsH11)()()(则频率响应为jRCjH11)(而输入信号x(t)的功率谱密度函数为2)(0njPX该系统是一个线性移不变系统，所以输出y(t)的功率谱密度函数为：220212/)()()(RCnjHjPjPXY对)(jPY求傅里叶反变换，就得到输出的自相关函数：deRCndejPRjjYY22012/21)(21)(RC电压：y(t)电压：x(t)电流：i(t)（2）线性系统输入为高斯随机过程，则输出也一定是高斯的。因此，为了求输出的一维概率密度函数，仅需知道输出随机过程的均值和方差即可。均值：已知输入均值mx=0，则输出均值my=mxH(0)=0方差：2)()0(yYmYVarR因为均值为0，所以方差dRCnRYVarY22012/21)0()(一维PDF：略3、理想带通滤波器的中心频率为fc、带宽为B，其在通带的频率增益为1。假定输入是均值为0、双边功率谱密度函数为n0/2的高斯白噪声。（1）求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数；（2）求输出信号的平均功率；（3）求输出信号的一维概率密度函数。答案：类似上一题，仅需注意的是：(a)此处滤波器的频率响应为otherwiseBfBfjHcc0)2/(2)2/(2,1)((b)平均功率等于功率谱密度函数的积分，也即等于输出信号y(t)的自相关在0处的值，即)0(YR4、设x1(t)与x2(t)为零均值且互不相关的平稳随机过程。x1(t)通过某个LTI系统所得的输出为y1(t)，x2(t)通过同一个LTI系统的输出为y2(t)。试证明y1(t)与y2(t)互不相关。答案：就是要证明y1(t)与y2(t)的协方差为0。由于x1(t)与x2(t)为零均值，显而易见y1(t)与y2(t)的均值都为0。所以，我们仅需要证明y1(t)与y2(t)的互相关为0。设LTI系统的单位冲激响应为h(t)，则：dhtxty)()()(11dhtxty)()()(22所以有：dvdvhhvtxtxEdvdvhhvtxtxEdvvhvtxdhtxEtytyE)()()()()()()()()()()()()()(21212121再利用x1(t)与x2(t)互不相关的性质，则有：0)()()()()()(2121dvdvhhvtxEtxEtytyE，从而完成证明。教材：2.8和2.9题答案略