3.1数系的扩充和复数的概念课件

学习目标：（1）在问题情境中，了解数系扩充的过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的关系。（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件教学重点：理解复数概念以及复数的分类教学难点：掌握复数相等的充要条件了解虚数单位以及复数的引入毕达哥拉斯（约公元前560—480年）“数”是万物的本源，支配整个自然界和人类社会．世间一切事物都可归结为数或数的比例，这是世界所以美好和谐的源泉．计数的需要正整数零自然数回顾：数系的扩充一、数的发展史被“数”出来的自然数远古的人类，为了统计捕获的野兽和采集的野果，用划痕、石子、结绳记个数，历经漫长的岁月，创造了自然数1、2、3、4、5、…自然数是现实世界最基本的数量，是全部数学的发源地．古代印度人最早使用了“0”.中国是世界上最早认识应用负数的国家.早在2000多年前的《九章算术》中,就有正数和负数的记载.在古代人民生活中,以收入钱为正,以支出钱为负.在粮食生产中,以产量增加为正,以产量减少为负.古代的人们为区别正、负数,常用红色算筹表示正,黑色算筹表示负.回顾：数系的扩充珠穆朗玛峰大约比海平面高8844米.吐鲁番盆地大约比海平面低155米.+8844-155回顾：数系的扩充自然数集整数负整数自然数正整数零整数集回顾：数系的扩充被“分”出来的分数随着生产、生活的需要，人们发现，仅仅能表示整数是远远不行的.分数的引入,解决了在整数集中不能整除的矛盾.如果分配猎获物时，2个人分1件东西，每个人应该得多少呢？于是分数就产生了.整数负整数自然数正整数零分数有理数有理数集自然数集整数集回顾：数系的扩充CA1DBx1古老的问题:“正方形的对角线是个‘奇怪’的数”22x有理数集自然数集整数集回顾：数系的扩充被“推”出来的无理数古希腊的毕达哥拉斯学派认为,世间任何数都可以用整数或分数表示,并将此作为他们的一条信条.有一天,这个学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为1的正方形的对角线是个奇怪的数,于是努力研究,终于证明出它不能用整数或分数表示.但这打破了毕达哥拉斯学派的信条,引起了数学史上的第一次危机，进而建立了无理数，扩大了数域，为数学的发展做出了贡献。由于希伯斯坚持真理，他被扔进大海，为此献出了年轻的生命。无理数的引入解决了开方开不尽的矛盾.整数负整数自然数正整数零分数有理数无理数实数实数集有理数集自然数集整数集回顾：数系的扩充实数的分类正整数实数有理数无理数整数分数零负整数正分数负分数自然数有限小数或循环小数负无理数正无理数无限不循环小数任何一个有理数都可以写成的形式，其中m，n是整数。无理数不能写成的形式。回顾：数系的扩充1545年，卡尔丹在《大衍术》中写道：“要把10分成两部分，使二者乘积为40，这是不可能的，不过我却用下列方式解决了．”能作为“数”吗？15它表示什么意义？历史回顾1637年，法国数学家笛卡尔把这样的数叫做“虚数”(R.Descartes,1596--1661)笛卡尔能作为“数”吗？15它表示什么意义？新课：数系的扩充1777年欧拉首次提出用i表示平方等于-1的新数LeonhardEuler（1707-1783）欧拉1801年高斯系统使用了i这个符号使之通行于世（1777—1855）高斯JohannCarlFriedrichGauss13:00加除乘减实数解方程？xx,12我们发现此方程在实数范围类无解，说明现有的数集不能满足我们的需求，那么我们必须把数集进一步扩充。现在我们就引入这样一个数i，把i叫做虚数单位，并且规定：（1）i21；（2）实数可以与i进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结合率和分配率)仍然成立。引入新数，完善数系?虚数?实数集有理数集自然数集整数集整数负整数自然数正整数零分数有理数无理数实数新课：数系的扩充②复数Z=a+bi(a∈R，b∈R)把实数a，b叫做复数的实部和虚部。1、定义:形如a+bi（a∈R，b∈R）的数叫复数,其中i叫虚数单位。③全体复数所组成的集合叫复数集，记作C。注意:①复数通常用字母z表示，即复数a+bi（a∈R，b∈R)可记作:z=a+bi（a∈R，b∈R），把这一表示形式叫做复数的代数形式。复数有关概念实部biaz虚部其中称为虚数单位。i复数的分类？讨论观察复数的代数形式当a=0且b=0时，则z=0当b=0时，则z为实数当b≠0时，则z为虚数当a=0且b≠0时，则z为纯虚数2、复数a+bi0)00)0)00)babbab实数(纯虚数(，虚数(非纯虚数(，3.复数集，虚数集，实数集，纯虚数集之间的关系？思考？复数集虚数集实数集纯虚数集CR复数的分类例1.请指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数.,32i,0,3421i,25ii6解:实数有;虚数有;纯虚数有.4，0,32i,3421i,25ii6i6例2实数m取什么值时，复数是（1）实数（2）虚数（3）纯虚数immmz)1()1(解:（1）当，即时，复数z是实数．01m1m（2）当，即时，复数z是虚数．01m1m（3）当0)1(mm时，复数z是纯虚数．0m即01m且（4）0（5）6+2i4.复数相等的定义根据两个复数相等的定义，设a,b,c,d∈R，两个复数a+bi和c+di相等规定为a+bi=c+diacbd如果两个复数的实部和虚部分别相等,我们就说这两个复数相等.两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。例3:已知()(2)i(25)(3)ixyxyxxy转化求方程组的解的问题数系的扩充与解:根据两个复数相等的充要条件，可得方程组yxyxxyx3252解得:23yx求实数变式1、已知两个复数x2-1+(y+1)i大于2x+3+(y2-1)i试求实数x,y的取值范围变式2、已知实数x与纯虚数y满足2x-1+2i=y,求x,y。13:00课堂小结虚数的引入复数z=a+bi(a,b∈R)复数的分类当b=0时z为实数;当b0时z为虚数(此时,当a=0时z为纯虚数).复数的相等a+bi=c+di(a,b,c,dR)a=cb=d当堂检测1.以3i-2的虚部为实部，以3i2+3i的实部为虚部的复数是（）A-2+3iB3-3iC-3+3iD3+3i2.若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数，则实数a的值为______。3.复数4-3a-a2i与复数a2+4ai相等，则实数a的值为_______。B24问题拓展已知方程(1+i)x2-2(a+i)x+5-3i=0有实数解,a为实数，求a的值.解：设方程的解为x00)32()52(020020ixxaxx代入方程化简得：0)32(020xx0)52(020axx337aa或解得：13:00的值实数根，求实数至少有一个若方程mmiximx0)2()2(2若方程至少有一个实数根，求实数m的值在几何上，我们用什么来表示实数?想一想？实数的几何意义类比实数的表示，可以用什么来表示复数？实数可以用数轴上的点来表示。实数数轴上的点(形)(数)一一对应回忆…复数的一般形式？Z=a+bi(a,b∈R)实部!虚部!一个复数由什么唯一确定？复数z=a+bi有序实数对(a,b)直角坐标系中的点Z(a,b)xyobaZ(a,b)建立了平面直角坐标系来表示复数的平面x轴------实轴y轴------虚轴（数）（形）------复数平面(简称复平面)一一对应z=a+bi复数的几何意义（一）(A)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数。例4.辨析：1．下列命题中的假命题是（）D例5已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。表示复数的点所在象限的问题复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题转化(几何问题)(代数问题)一种重要的数学思想：数形结合思想复数z=a+bi直角坐标系中的点Z(a,b)一一对应平面向量OZ一一对应一一对应复数的几何意义（二）xyobaZ(a,b)z=a+bixOz=a+biy复数的绝对值(复数的模)的几何意义:Z(a,b)22ba对应平面向量的模||，即复数z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。OZOZ|z|=||OZ例6求下列复数的模：(1)z1=-5i(2)z2=-3+4i(3)z3=5-5i(2)满足|z|=5(z∈C)的z值有几个？思考：(1)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？(4)z4=1+mi(m∈R)(5)z5=4a-3ai(a0)这些复数对应的点在复平面上构成怎样的图形？xyO设z=x+yi(x,y∈R)满足|z|=5(z∈C)的复数z对应的点在复平面上将构成怎样的图形？55–5–55||22yxz1.虚数单位i的引入；2.复数有关概念：),(RbRabiaz复数的代数形式:复数的实部、虚部复数相等复数的分类dicbia课堂小结3.复数的两种几何意义；关于无理数的发现古希腊的毕达哥拉斯学派认为,世间任何数都可以用整数或分数表示,并将此作为他们的一条信条.有一天,这个学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为1的正方形的对角线是个奇怪的数,于是努力研究,终于证明出它不能用整数或分数表示.但这打破了毕达哥拉斯学派的信条,于是毕达哥拉斯命令他不许外传.但希伯斯却将这一秘密透露了出去.毕达哥拉斯大怒,要将他处死.希伯斯连忙外逃,然而还是被抓住了,被扔入了大海,为科学的发展献出了宝贵的生命.希伯斯发现的这类数,被称为无理数.无理数的发现,导致了第一次数学危机,为数学的发展做出了重大贡献.