高考数学《概率与统计》专项练习(解答题含答案)

1《概率与统计》专项练习（解答题）1．（2016全国Ⅰ卷，文19，12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）若n＝19，求y与x的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？解：（Ⅰ）当x≤19时，y＝3800当x＞19时，y＝3800＋500(x－19)＝500x－5700∴y与x的函数解析式为y＝{3800，𝑥≤19500𝑥−5700，𝑥＞19(x∈N)（Ⅱ）需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7∴n的最小值为19（Ⅲ）①若同时购买19个易损零件则这100台机器中，有70台的费用为3800，20台的费用为4300，10台的费用为4800∴平均数为1100(3800×70＋4300×20＋4800×10)＝4000②若同时购买20个易损零件则这100台机器中，有90台的费用为4000，10台的费用为4500∴平均数为1100(4000×90＋4500×100)＝4050∵4000＜4050∴同时应购买19个易损零件2．（2016全国Ⅱ卷，文18，12分）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数01234≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数01234≥5161718192021频数更换的易损零件数06101620242频数605030302010（Ⅰ）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；（Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160％”，求P(B)的估计值；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值．解：（Ⅰ）若事件A发生，则一年内出险次数小于2则一年内险次数小于2的频率为P(A)＝60+50200＝0.55∴P(A)的估计值为0.55（Ⅱ）若事件B发生，则一年内出险次数大于1且小于4一年内出险次数大于1且小于4的频率为P(B)＝30+30200＝0.3∴P(B)的估计值为0.3（Ⅲ）续保人本年度的平均保费为1200(0.85a×60＋a×50＋1.25a×30＋1.5a×30＋1.75a×20＋2a×10)＝1.1925a3．（2016全国Ⅲ卷，文18，12分）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：719.32iiy，7140.17iiity，712)(iiyy＝0.55，√7≈2.646．参考公式：相关系数r＝niniiiniiiyyttyytt11221)()())((．回归方程𝑦̂＝𝑎̂＋𝑏̂t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：𝑏̂＝niiniiittyytt121)())((，𝑎̂＝𝑦̅－𝑏̂𝑡̅解：（Ⅰ）由折线图中数据得𝑡̅＝17(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4………………1分3由附注中参考数据得71))((iiiyytt＝71iiiyt－71iiyt＝40.17－4×9.32＝2.89………………………………………………………………………2分712)(iitt＝27262424232221)4()4()4()4()4()4()4(ttttttt＝28………………………………………………………………3分712)(iiyy＝0.55………………………………………………4分r＝niniiiniiiyyttyytt11221)()())((＝niiniiyytt1212)()(89.2＝55.02889.2≈0.99………………………………………………………………………5分∵y与t的相关关系r近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高∴可以用线性回归模型拟合y与t的关系…………………………6分（Ⅱ）𝑦̅＝771iiy＝9.327≈1.331………………………………………………7分𝑏̂＝niiniiittyytt121)())((＝2.8928≈0.103…………………………………8分𝑎̂＝𝑦̅－𝑏̂𝑡̅≈1.331－0.103×4≈0.92…………………………………9分∴y关于t的回归方程为𝑦̂＝0.92＋0.103t…………………………10分2016年对应的t＝9…………………………………………………11分把t＝9代入回归方程得𝑦̂＝0.92＋0.103×9＝1.82∴预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨………12分4．（2015全国Ⅰ卷，文19，12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．𝑥𝑦𝑤∑𝑖＝18(xi－𝑥)2∑𝑖＝18(wi－𝑤)2∑𝑖＝18(xi－𝑥)(yi－𝑦)∑𝑖＝18(wi－𝑤)(yi－𝑦)446.65636.8289.81.61469108.8表中wi＝√𝑥𝑖，𝑤＝18∑𝑖＝18wi．（Ⅰ）根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d√𝑥哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（ⅰ）年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ⅱ）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为𝛽^＝∑𝑖＝1𝑛(𝑢𝑖－𝑢)(𝑣𝑖－𝑣)∑𝑖＝1𝑛(𝑢𝑖－𝑢)2，𝛼^＝𝑣－𝛽^𝑢．解：（Ⅰ）y＝c＋d√𝑥适宜作为y关于x的回归方程类型………………………………………………………………………………………2分（Ⅱ）令w＝√𝑥，先建立y关于w的回归方程由于d^＝∑i＝18(wi－w)(yi－y)∑i＝18(wi－w)2＝108.81.6＝68…………………3分c^＝y－d^w＝563－68×6.8＝100.6…………………4分∴y关于w的回归方程为y^＝100.6＋68w…………………5分∴y关于x的回归方程为y^＝100.6＋68√x…………………6分（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当x＝49时y的预报值y^＝100.6＋68√49＝576.6…………………7分z的预报值z^＝576.6×0.2－49＝66.32…………………9分（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知z的预报值z^＝0．2(100.6＋68√x)－x＝－x＋13.6√x＋20.12……10分∴当√x＝13.62＝6.8，即x＝46.24时，z^取得最大值…………………11分∴年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大…………………12分5．（2015全国Ⅱ卷，文18，12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]频数28141065（Ⅰ）作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．解：（Ⅰ）…………4分B地区的平均值高于A地区的平均值…………5分B地区比较集中，而A地区比较分散…………6分（Ⅱ）A地区不满意的概率大…………7分记CA表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”CB表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”…………9分由直方图得P(CA)＝(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6…………10分P(CB)＝(0.005＋0.02)×10＝0.25…………11分∴A地区不满意的概率大…………12分6．（2014全国Ⅰ卷，文18，12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组[75，85)[85，95)[95，105)[105，115)[115，125)频数62638228（Ⅰ）作出这些数据的频率分布直方图；（Ⅱ）估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代6表)；（Ⅲ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？解：（Ⅰ）…………4分（Ⅱ）平均数为x＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100方差为S2＝1100[6×(80－100)2＋26×(90－100)2＋38×(100－100)2＋22×(110－100)2＋8×(120－100)2]＝104∴平均数为100，方差为104…………8分（Ⅲ）质量指标值不低于95的比例为0.38＋0.22＋0.08＝0.68…………10分∵0.68＜0.8…………11分∴不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定…………12分7．（2014全国Ⅱ卷，文19，12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民．根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如下：甲部门乙部门35_9440_4_4_89_751_2_2_4_5_6_6_7_7_7_8_99_7_6_6_5_3_3_2_1_1_060_1_1_2_3_4_6_8_89_8_8_7_7_7_6_6_5_5_5_5_5_4_4_4_3_3_3_2_1_0_070_1_1_3_4_4_96_6_5_5_2_0_081_2_3_3_4_56_3_2_2_2_090_1_1_4_5_6100_0_0（Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；（Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；（Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．解：（Ⅰ）甲的评分由小到大排序，排在第25，26位的是75，75∴样本中位数为75＋752＝75∴甲的中位数是75乙的评分由小到大排序，排在第25，26位的是66，68∴样本中位数为66＋682＝67∴乙的中位数是67（Ⅱ）