【高考一本解决方案】2017版高考数学文科新课标版专题训练：专题九-数列.doc

1．(2012·大纲全国，6，中)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝()A．2n－1B.32n－1C.23n－1D.12n－11．B由已知Sn＝2an＋1得Sn＝2(Sn＋1－Sn)，即2Sn＋1＝3Sn，Sn＋1Sn＝32，而S1＝a1＝1，所以Sn＝32n－1，故选B.2．(2014·课标Ⅱ，16，易)数列{an}满足an＋1＝11－an，a2＝2，则a1＝________．2．【解析】∵an＋1＝11－an，a2＝2，∴a2＝11－a1＝2，即a1＝12.【答案】123．(2012·上海，14，中)已知f(x)＝11＋x.各项均为正数的数列{an}满足a1＝1，an＋2＝f(an)．若a2010＝a2012，则a20＋a11的值是________．3．【解析】∵an＋2＝f(an)＝11＋an，a1＝1，∴a3＝12，a5＝11＋12＝23，a7＝11＋23＝35，a9＝11＋35＝58，a11＝11＋58＝813，又a2010＝a2012，即a2010＝11＋a2010⇒a22010＋a2010－1＝0，∴a2010＝5－12a2010＝－5－12舍去.又a2010＝11＋a2008＝5－12，∴1＋a2008＝25－1＝5＋12，即a2008＝5－12，依次类推可得a2006＝a2004＝…＝a20＝5－12，故a20＋a11＝5－12＋813＝135＋326.【答案】135＋3264．(2012·广东，19，14分，中)设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N*.(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式．4．解：(1)令n＝1时，T1＝2S1－1，因为T1＝S1＝a1，所以a1＝2a1－1，所以a1＝1.(2)当n≥2时，Tn－1＝2Sn－1－(n－1)2，则Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]＝2(Sn－Sn－1)－2n＋1＝2an－2n＋1.因为当n＝1时，a1＝S1＝1也满足上式，所以Sn＝2an－2n＋1(n≥1)．当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2(n－1)＋1，两式相减得an＝2an－2an－1－2，所以an＝2an－1＋2(n≥2)，所以an＋2＝2(an－1＋2)．因为a1＋2＝3≠0，所以数列{an＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列．所以an＋2＝3×2n－1，所以an＝3×2n－1－2.当n＝1时也满足上式，所以an＝3×2n－1－2.本考向在高考中一般以小题出现，有时也可出现在解答题中的某一问，作为解决问题的工具来出现，难度中等．1(2014·大纲全国，17，10分)数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2.(1)设bn＝an＋1－an，证明{bn}是等差数列；(2)求{an}的通项公式．【解析】(1)证明：由an＋2＝2an＋1－an＋2得，an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2，即bn＋1＝bn＋2.又b1＝a2－a1＝1.所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．(2)由(1)得bn＝1＋2(n－1)，即an＋1－an＝2n－1.于是∑nk＝1(ak＋1－ak)＝∑nk＝1(2k－1)，所以an＋1－a1＝n2，即an＋1＝n2＋a1.又a1＝1，所以{an}的通项公式为an＝n2－2n＋2.本例是典型的由数列的递推公式求通项公式的问题．第(1)问中要注意对数列{an＋1－an}的整体把握．第(2)问中用的是累加法．注意切忌忽略对a1的验证．1.(2015·山东潍坊一模，13)在数列{an}中，a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，则a2015＝________.1．【解析】由an＋2＝an＋1－an得an＋3＝an＋2－an＋1＝an＋1－an－an＋1＝－an，易得an＋4＝－an＋1，an＋5＝－an＋1＋an，an＋6＝an，∴该数列的周期为6，故a2015＝a5，由a1＝1，a2＝5，得a3＝4，a4＝－1，a5＝a4－a3＝－1－4＝－5.∴a2015＝a5＝－5.【答案】－52．(2014·安徽合肥一模，14)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝4，an＋2＋2an＝3an＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝______________．2．【解析】由an＋2＋2an－3an＋1＝0，得an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，∴数列{an＋1－an}是以a2－a1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴an＋1－an＝3×2n－1，∴n≥2时，an－an－1＝3×2n－2，…，a3－a2＝3×2，a2－a1＝3，将以上各式累加得an－a1＝3×2n－2＋…＋3×2＋3＝3(2n－1－1)，∴an＝3×2n－1－2(当n＝1时，也满足)．【答案】3×2n－1－2,典型的递推数列及处理方法递推式方法示例an＋1＝an＋f(n)叠加法a1＝1，an＋1＝an＋2nan＋1an＝f(n)累乘法a1＝1，an＋1an＝2nan＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0)化为等比数列a1＝1，an＋1＝2an＋1an＋1＝pan＋q·pn＋1(p≠0，1，q≠0)化为等差数列a1＝1，an＋1＝3an＋3n＋1本考向在高考中以an与Sn的关系为条件，考查数列通项的求法，以递推数列为载体考查数列的通项及其性质，难度中等．2(2014·湖南，16，12分)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n2，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．【解析】(1)当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n2－（n－1）2＋（n－1）2＝n.故数列{an}的通项公式为an＝n.(2)由(1)知，bn＝2n＋(－1)nn.记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)，记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，则A＝2（1－22n）1－2＝22n＋1－2，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.易错点一：忘记an＝Sn－Sn－1的条件是n≥2，没讨论n＝1的情况；易错点二：找不出通项公式的规律，bn实为两部分构成，采用分组求和，T2n＝(2＋22＋…＋22n)＋[－1＋2－3＋4－…－(2n－1)＋2n]；易错点三：不会并项求和，－1＋2－3＋4－…－(2n－1)＋2n＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.1.(2016·吉林长春质检，7)设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，|Sn＋nan|为常数列，则an＝()A.13n－2B.2n（n＋1）C.6（n＋1）（n＋2）D.5－2n31．B由题意知，Sn＋nan＝2，当n≥2时，Sn－1＋(n－1)an－1＝2，∴(n＋1)an＝(n－1)an－1，从而a2a1·a3a2·a4a3·…·anan－1＝13·24·…·n－1n＋1，则an＝2n（n＋1），当n＝1时上式成立，所以an＝2n（n＋1）.2．(2012·大纲全国，18，12分)已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝n＋23an.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通项公式．2．解：(1)由S2＝43a2得3(a1＋a2)＝4a2，解得a2＝3a1＝3.由S3＝53a3得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，解得a3＝32(a1＋a2)＝6.(2)由题设知a1＝1.当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝n＋23an－n＋13an－1，整理得an＝n＋1n－1an－1.于是a1＝1，a2＝31a1，a3＝42a2，……an－1＝nn－2an－2，an＝n＋1n－1an－1.将以上n个等式两端分别相乘，整理得an＝n（n＋1）2.显然，当n＝1时也满足上式．综上可知，{an}的通项公式an＝n（n＋1）2.思路点拨：通过给出的Sn与an的关系，得出an与an－1之间的关系，再利用累乘法求得an.由Sn和an的关系求通项的注意问题(1)应重视分类讨论的思想，分n＝1和n≥2两种情况讨论．当n＝1时，a1不适合an的情况要分开写，即an＝Sn，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.(2)要注意an和Sn互化具有双向性，既可由an化为Sn，也可由Sn求an.,本考向在高考中一般以小题或解答题中某一问出现，通常考查利用数列的单调性来研究数列中项的大小或前n项和的最值问题，一般属于中档题或难度较大的题，高考中也并不是单一考查，常与函数的单调性有关．3(2012·四川，20，12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，常数λ0，且λa1an＝S1＋Sn对一切正整数n都成立．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设a10，λ＝100.当n为何值时，数列lg1an的前n项和最大？【解析】(1)取n＝1，得λa21＝2S1＝2a1，a1(λa1－2)＝0.若a1＝0，则Sn＝0，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝0－0＝0，所以an＝0.若a1≠0，则a1＝2λ，当n≥2时，2an＝2λ＋Sn，2an－1＝2λ＋Sn－1，两式相减得2an－2an－1＝an，所以an＝2an－1(n≥2)，从而数列{an}是等比数列，所以an＝a1·2n－1＝2λ·2n－1＝2nλ.综上，当a1＝0时，an＝0；当a1≠0时，an＝2nλ.(2)当a10且λ＝100时，令bn＝lg1an，由(1)知bn＝lg1002n＝2－nlg2.所以数列{bn}是单调递减的等差数列(公差为－lg2)．b1b2…b6＝lg10026＝lg10064lg1＝0，当n≥7时，bn≤b7＝lg10027＝lg100128lg1＝0，故数列lg1an的前6项的和最大．本例中出现了λa1an＝S1＋Sn这种典型的an与Sn的关系条件，(1)应利用分类讨论思想，当n＝1时，a1＝S1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，并注意a1＝0或a1≠0进行讨论；(2)根据数列的通项lg1an，化简后结合函数的单调性来求．(2016·江西上饶调研，17，12分)已知数列{an}中，an＝1＋1a＋2（n－1）(n∈N*，a∈R且a≠0)．(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围．解：(1)∵an＝1＋1a＋2（n－1）(n∈N*，a∈R，且a≠0)，又a＝－7，∴an＝1＋12n－9(n∈N*)．结合函数f(x)＝1＋12x－9的单调性，可知1a1a2a3a4，a5a6a7…an1(n∈N*)．∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.(2)an＝1＋1a＋2（n－1）＝1＋12n－2－a2，已知对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，结合函数f(x)＝1＋12x－2－a2的单调性，可知52－a26，即－10a－8.判断数列单调性的两种方法(1)作差比较法：an＋1－an0⇔数列{an}是单调递增数列；an＋1－an0⇔数列{an}是单调递减数列；an＋1－an＝0⇔数列{an}是常数列．(2)作商比较法：①当an＞0时，an＋1an＞1⇔数列{an}是单调递增数列；an＋1an1⇔数列{an}是单调递减数列；an＋1an＝1⇔数列{an}是常数列．②当an＜0时，an＋1an＞1⇔数列{an}是单调递减数列；an＋1an＜1⇔数列{an}是单调递增数列；an＋1an＝1⇔数列{an}是常数列．求数列最大项或最小项的方法(1)可以利用不等式组an－1≤an，an≥an＋1(n≥2)找到数列的最大项；(2)利用不等式组an－1≥an，an≤an＋1(n≥2)找到数列的最小项．1．