2017上海市新知杯模拟题与详解(内部资料)

新知杯新知杯新知杯新知杯模拟考模拟考模拟考模拟考（（（（一一一一））））一一一一、、、、填空题填空题填空题填空题（（（（前前前前5题每题题每题题每题题每题8分分分分，，，，后后后后5题每题题每题题每题题每题10分分分分））））11..已知已知已知已知，，，，,αβ分别是方程分别是方程分别是方程分别是方程210xx+-=的两个根的两个根的两个根的两个根，，，，则则则则5325αβ+的值是的值是的值是的值是。。。。22..已知已知已知已知()011,2,ixin≤=⋯，，，，且且且且121111111nxxx+++=+++⋯，，，，则则则则()12nnxxx++=⋯________。。。。33..p是质数是质数是质数是质数，，，，设设设设444pqp=++也是质数也是质数也是质数也是质数，，，，则则则则q的值为的值为的值为的值为。。。。44..面积为面积为面积为面积为12!的矩形中的矩形中的矩形中的矩形中，，，，长与宽是互质的正整数的有长与宽是互质的正整数的有长与宽是互质的正整数的有长与宽是互质的正整数的有个个个个。。。。55..如图如图如图如图，，，，MON∠两边上分别有两边上分别有两边上分别有两边上分别有,,ACE及及及及,,BDF六个点六个点六个点六个点，，，，并且并且并且并且1OABABCCDEDEFSSSSΔΔΔΔ====，，，，则则则则CDFΔ的面积为的面积为的面积为的面积为。。。。NOMBACDFE66..ABCΔ中中中中，，，，90C∠=°，，，，,DE是是是是BC边上的两点边上的两点边上的两点边上的两点，，，，且且且且1123ABCADCAEC∠=∠=∠，，，，若有若有若有若有11BD=，，，，5DE=，，，，则则则则AC=_________。。。。77..在在在在1~91这这这这91个自然数中任取个自然数中任取个自然数中任取个自然数中任取k个数个数个数个数，，，，使得其中必有两个自然数使得其中必有两个自然数使得其中必有两个自然数使得其中必有两个自然数,pq满足满足满足满足2332qp≤≤，，，，则自然数则自然数则自然数则自然数k的最小值是的最小值是的最小值是的最小值是。。。。88..已知实数已知实数已知实数已知实数,xy满足满足满足满足221xyxy+-=，，，，则则则则32xyxy+-+++的值为的值为的值为的值为。。。。99..20122的十进制表示是个的十进制表示是个的十进制表示是个的十进制表示是个p位数位数位数位数，，，，20125的十进制表示是个的十进制表示是个的十进制表示是个的十进制表示是个q位数位数位数位数，，，，则则则则pq+=____________________________________。。。。1100..国际象棋比赛中国际象棋比赛中国际象棋比赛中国际象棋比赛中，，，，胜一局得胜一局得胜一局得胜一局得1分分分分，，，，平一局得平一局得平一局得平一局得0.5分分分分，，，，负一局得负一局得负一局得负一局得0分分分分。。。。今有今有今有今有8名参赛选手进行单循环比赛名参赛选手进行单循环比赛名参赛选手进行单循环比赛名参赛选手进行单循环比赛（（（（每两人均赛一局每两人均赛一局每两人均赛一局每两人均赛一局），），），），赛完后赛完后赛完后赛完后，，，，发现各选手的得分均不相同发现各选手的得分均不相同发现各选手的得分均不相同发现各选手的得分均不相同，，，，当按得分由大到小的顺序排列好名次后当按得分由大到小的顺序排列好名次后当按得分由大到小的顺序排列好名次后当按得分由大到小的顺序排列好名次后，，，，第第第第四名选手得四名选手得四名选手得四名选手得4.5分分分分，，，，第二名选第二名选第二名选第二名选手得分等于最后四名选手得分的总和手得分等于最后四名选手得分的总和手得分等于最后四名选手得分的总和手得分等于最后四名选手得分的总和。。。。则前三名选手的得分分别则前三名选手的得分分别则前三名选手的得分分别则前三名选手的得分分别是是是是，，，，，，，，。。。。二二二二、、、、a和和和和b都是大于都是大于都是大于都是大于1的整数的整数的整数的整数，，，，,ab为何值时为何值时为何值时为何值时，，，，方程方程方程方程222(42)(41)(21)0abxaabbxab-++++++=有两有两有两有两个整数根个整数根个整数根个整数根。。。。（（（（15分分分分））））三三三三、、、、正方形正方形正方形正方形ABCD被两条与边平行的线段被两条与边平行的线段被两条与边平行的线段被两条与边平行的线段,EFGH分割成四个小矩形分割成四个小矩形分割成四个小矩形分割成四个小矩形，，，，P是是是是EF和和和和GH的交点的交点的交点的交点，，，，若矩若矩若矩若矩形形形形PFCH的面积恰是矩形的面积恰是矩形的面积恰是矩形的面积恰是矩形AGPE的面积的两倍的面积的两倍的面积的两倍的面积的两倍。。。。试确定试确定试确定试确定HAF∠的大小并证明你的的大小并证明你的的大小并证明你的的大小并证明你的结论结论结论结论。。。。（（（（15151515分分分分））））PBCADGHEF四四四四、、、、命题命题命题命题k：：：：设设设设,,abc是非负实数是非负实数是非负实数是非负实数，，，，如果如果如果如果()4442222222abcabbcac++≤++，，，，则则则则()2222abcabbcac++≤++⑴⑴⑴⑴证明命题证明命题证明命题证明命题k是正确的是正确的是正确的是正确的。。。。⑵⑵⑵⑵写出命题写出命题写出命题写出命题k的逆命题的逆命题的逆命题的逆命题，，，，判断其真假判断其真假判断其真假判断其真假，，，，并证明并证明并证明并证明。。。。（（（（15分分分分））））五五五五、、、、A是两个相邻正整数之积是两个相邻正整数之积是两个相邻正整数之积是两个相邻正整数之积，，，，求证求证求证求证：：：：①①①①可在可在可在可在A的十进制记法右边添的十进制记法右边添的十进制记法右边添的十进制记法右边添2个数码得到完全平方数个数码得到完全平方数个数码得到完全平方数个数码得到完全平方数....②②②②12A时添法唯一时添法唯一时添法唯一时添法唯一....（（（（15151515分分分分））））模拟考模拟考模拟考模拟考（（（（一一一一））））11..已知，,αβ分别是方程210xx+-=的两个根，则5325αβ+的值是。【答案】：21-。【解析】：由,αβ分别是方程210xx+-=的两个根，知2210,10ααββ+-=+-=，且1αβ+=-。故()()()22522112αααααααα=•=-•=-+•()()21212323αααααα=-+-•=-=-()23153ααα=--=-。()32121ββββββ=•=•-=-()5325101121αβαβ∴+=+-=-22..已知()011,2,ixin≤=⋯，且121111111nxxx+++=+++⋯，则()12nnxxx++=⋯________。【答案】：4。【解析】：当3n≥时，12111111311112222nxxx+++++=+++⋯。所以2n≤。但当1n=时，1111x≠+，因此只能是2n=。所以1211111xx+=++，当且仅当121xx==时成立。所以()()212124nnxxxxx++=+=⋯。33..p是质数，设444pqp=++也是质数，则q的值为。【答案】：149。【解析】：由4被3除余1，知4p被3除余1。因此44p+被3除余2。如果3p≠，则质数p不被3整除，而3q，所以此时q为合数，与q也是质数的条件不符，因此，只能3p=。当3p=时，34434149q=++=。经检验，149确实是质数，满足题意。44..面积为12!的矩形中，长与宽是互质的正整数的有个。【解析】2,3,5,7,11共5个质数，所以个数是4216=个。55..如图，MON∠两边上分别有,,ACE及,,BDF六个点，并且1OABABCCDEDEFSSSSΔΔΔΔ====，则CDFΔ的面积为。NOMBACDFE【答案】：34。【解析】：设OAa=，OBb=，则由OABΔ与ABCΔ等积可得，ACa=。又由:2:1OCBDBCSSΔΔ=得2bBD=。由:1:3DCEOCDSSΔΔ=，得23aCE=。由:1:4EDFOCDSSΔΔ=得1348DFODb==。34CDFCBDSDFSBDΔΔ∴==，又31,4CDBCDFSSΔΔ=∴=。66..ABCΔ中，90C∠=°，,DE是BC边上的两点，且1123ABCADCAEC∠=∠=∠，若有11BD=，5DE=，则AC=_________。【答案】：8.8。【解析】：如图，分析角的关系可知ADEBAEΔΔ∽。ADAEDEBABEAE∴==，ABDBAD∠=∠∵，11,16ADBDBEBDDE∴===+=245AEBEDE=•⇒，4455ADAEABDE×==.设ECx=，ACy=，由222ABBCAC=+，得()222445165xy=++，又2280xy+=，24425632805x∴++=，解得1.6,8.8xy==。aa3a2aa77..在1~91这91个自然数中任取k个数，使得其中必有两个自然数,pq满足2332qp≤≤，则自然数k的最小值是。【解析】：将这91个自然数分为九组，使每组中任两个自然数的比值均不小于23且不大于32，分组如下：{}{}{}{}1234,1,2,34,5,6,7,8,9,10AAAA====，{}511,12,13,14,15,16A=，{}617,18,19,20,21,22,23,24,25A=，{}726,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39A=，{}840,41,,59,60A=⋯，{}961,62,,91A=⋯当任取这91个数中的9个数，如果在19~AA中各取一个，这9个数中任意两数之比均小于23或大于32，可见9k，所以10k≥。当10k=时，在这91个数中任取10个数，根据抽屉原理，必有两个数属于同一个iA，比如这两个数就是p和q，且pq。于是2332qp≤≤成立。所以k的最小值是10。88..已知实数,xy满足221xyxy+-=，则32xyxy+-+++的值为。【答案】：5。【解析】：()22222142xyxyxy++≤≤+=∵，()242xyxy∴+≤⇒+≤，()333xyxyxy∴+-=-+-=--，22xyxy++=++于是()()32325xyxyxyxy+-+++=--+++=。99..20122的十进制表示是个p位数，20125的十进制表示是个q位数，则pq+=_________。【解析】：20122∵是个p位数1201210210pp-∴①20125∵是个q位数1201210510qq-∴②②×①得，22012101010pqpq+-+，所以20121pq=+-即，2013pq+=。1100..国际象棋比赛中，胜一局得1分，平一局得0.5分，负一局得0分。今有8名参赛选手进行单循环比赛（每两人均赛一局），赛完后，发现各选手的得分均不相同，当按得分由大到小的顺序排列好名次后，第四名选手得4.5分，第二名选手得分等于最后四名选手得分的总和。则前三名选手的得分分别是，，。【解析】：设第i名选手得分为ia，则1238aaaa⋯，由于8名选手每人比赛7局最多可胜7场，所有17a≤。大家共赛78282×=场，总积分为28分。所以12aa++⋯828a+=①因为每局的积分为0,0.5,1这三种值，所以每人的积分只能取0,0.5,1,,6.5,7⋯这15个值。又知，4256784.5,aaaaaa==+++②若35.5a≥，则216,6.5aa≥≥此时123aaa++6.565.518≥++=由①4567810aaaaa++++≤，但44.5a=，由25678104.55.5aaaaa=+++≤-=这与26a≥矛盾！所以35.5a，但344.5aa=，所以35a=这时由①得12567828