“杨辉三角”与二项式系数的性质

1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质一般地，对于nN*有011222()nnnnnnnrnrrnnnnabCaCabCabCabCb二项定理:新课引入二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表n(a+b)n展开式的二项式系数12345616152015611510105114641133112111(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6议一议1）请看系数有没有明显的规律？2）上下两行有什么关系吗？3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?对称性①每行两端都是1Cn0=Cnn=1②从第二行起，每行除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和Cn+1m=Cnm+Cnm-1(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6+++++++++++++++《详解九章算法》中记载的表杨辉杨辉三角二项式系数的性质展开式的二项式系数依次是：nba)(nnnnnC,,C,C,C210从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数,其定义域是：rnC)(rfn,,2,1,0当时，其图象是右图中的7个孤立点．6n①对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．这一性质可直接由公式得到．mnnmnCC图象的对称轴：2nr二项式系数的性质2、若（a+b）n的展开式中，第三项的二项式系数与第七项的二项式系数相等，练习：1、在(a＋b)６展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是()A第２项B第３项C第４项D第５项则n=__________B8析:26268nnCCn②增减性与最大值112111()()()CC()!kknnnnnnknkkkk由于：所以相对于的增减情况由决定knC1Cknkkn1二项式系数的性质由：2111nkkkn即二项式系数前半部分是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。21nk可知，当时，因此,当n为偶数时,中间一项的二项式2Cnn系数取得最大值；当n为奇数时,中间两项的二项式系数12Cnn12Cnn相等，且同时取得最大值。②增减性与最大值二项式系数的性质1.在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为；在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为.510C611C511C3.在二项式(x-1)11的展开式中,求系数最小的项的系数。462C511最大的系数呢？练习2.指出（a+2b）15的展开式中哪些项的二项式系数最大，并求出其最大的二项式系数最大。解:第8、9项的二项式系数815715CC与即6435最大。611462C418444454118313060TTCxxx变式:若将“只有第10项”改为“第10项”呢？43110,nxx4.已知的展开式中只有第项系数最大求第五项为偶数依题意n,110182,.nn且解③各二项式系数的和在二项式定理中，令，则：1bannnnnn2CCCC210这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于：nba)(n2同时由于，上式还可以写成：1C0n12CCCC321nnnnnn这是组合总数公式．二项式系数的性质例证明在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。在二项式定理中，令，则：1,1bannnnnnnnCCCCC)1(113210nnnrrnrnnnnnnbCbaCbaCaCba110)()()(03120nnnnCCCC赋值法证明：1222nn3n1n2n0nCCCC121010101013579111111111111111._____;_____.CCCCCCCCC102102410211023例题2.求证：012123122nnnnnnCCCnCn证明：∵0122231nnnnnCCCnC01201123112nnnnnnnnnnnCCCnCnCnCCC0122()nnnnnnCCCC22nn012123112nnnnnnCCCnCn倒序相加法(1)二项式系数的三个性质(2)数学思想：函数思想a单调性；b图象；c最值。各二项式系数的和增减性与最大值对称性小结求奇数(次)项偶数(次)项系数的和77601671.(31)xaxaxaxa例已知7531)1(aaaa求6420)2(aaaa7210)3(aaaa7)13()(:xxf设解7210)1(aaaaf73210)1(aaaaaf77753142)1()1()(2ffaaaa8128221367531aaaa8256)()1(716420aafaaaa(1)(2)求奇数(次)项偶数(次)项系数的和7531)1(aaaa求6420)2(aaaa7210)3(aaaa7)13()(:xxf设解7210)1(aaaaf73210)1(aaaaaf是负数因为7531,,,aaaa所以7210aaaa7210aaaa)(7210aaaa7)4()1(f（3）7477601671.(31)xaxaxaxa例已知例题点评求二项展开式系数和，常常得用赋值法，设二项式中的字母为1或-1，得到一个或几个等式，再根据结果求值求多项式的展开式中特定的项(系数)例2.2345(1)(1)(1)(1)(1)xxxxx的展开式中,的系数等于___________2x解:仔细观察所给已知条件可直接求得的系数是2x02C13(1)C224(1)C335(1)C20例3:求的展开式中项的系数.65(1)(21)xx6x解62666()rrrrCxCx6(1)x的通项是55555(2)(1)(1)2sssssssCxCx5(21)x的通项是1622556(1)2rssrssCCx65(1)(21)xx的通项是65(1)(21)xx由题意知16226rs24(06,05)rsrs02rs21rs40rs解得3206252)1(CC所以的系数为:6x426152)1(CC5046052)1(CC640例题点评对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两个通项之积比较方便运算求展开式中系数最大(小)的项204.(23),x例在的展开式中求其项的最大系数与最大二项式系数的比.解:设项是系数最大的项,则1r112012020201120120202032323232rrrrrrrrrrrrCCCC6.126.11r项系数最大的项是第13128122032C即二项式系数最大的项为第11项,即1020C所以它们的比是137102012812203211532CC例5在的展开式中，系数绝对值最大的项20)23(yx解：设系数绝对值最大的项是第r+1项，则1211202020119120202023232323rrrrrrrrrrrrCCCCrrrr3)21(2)20(2)1(3542537r8r所以当时，系数绝对值最大的项为8r812812820923yxCT211rrrrTTTT解决系数最大问题，通常设第项是系数最大的项，则有1r由此确定r的取值例题点评三项式转化为二项式816.(1)xx例求展开式中的常数项.解：三项式不能用二项式定理,必须转化为二项式88]1)1[()11(xxxx8878718808)1()1()1(CxxCxxCxxC再利用二项式定理逐项分析常数项得881268244836284808CCCCCCCCC=1107257.(32)xxx例的展开式中的系数是______________解：原式化为52]3)2[(xx其通项公式为rrrrxxCT)3()2(52511,1rx只需的指数为要使xxCT3)2(42152)2844624(1542468xxxxx2402154的系数为所以x240例题点评括号里含有三项的情况可以把某两项合并为一项,合并时要注意选择的科学性.也可因式分解化为乘积二项式.问题探究:(1)今天是星期五，那么7天后的这一天是星期几呢?（星期五）(2)如果是15天后的这一天呢？（星期六）(3)如果是24天后的这一天呢？（星期一）1008(4)如果是天后的这一天呢？1001001）（78r100r10099110010001007C7C7C100100199100C7C余数是1，所以是星期六）（99100990100C7C711008(4)今天是星期五，那么天后的这一天是星期几？变式:若将除以9，则得到的余数是多少？1008变式:若将除以9，则得到的余数是多少？10081001001）（98r）（1r100r10099110010001009C9C9C01001001991009C9C所以余数是1，思考：若将除以9，则得到的余数还是1吗？10188巩固练习:42340123423)xaaxaxaxax1.若（,则2202413)()aaaaa（的值是____.2.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数3.9192除以100的余数是＿＿＿＿.析:33333333345678910330CCCCCCCC929209219191929292929291(901)909090CCCC分析：　由此可见，除后两项外均能被100整除919292929082818210081CC　所以9192除以100的余数是814、已知a,b∈N，m,n∈Z，且2m+n=0，如果二项式(axm+bxn)12的展开式中系数最大的项恰好是常数项，求a:b的取值范围。nrrmrrrrnrmrrxbaCbxaxCT)12(121212121)()(解：令m(12–r)+nr=0，将n=﹣2m代入，解得r=4故T5为常数项，且系数最大。的系数的系数的系数的系数6545TTTT57512484123931248412baCbaCbaCbaC即4958ba解得