2.3-可逆矩阵

1第2.3节可逆矩阵2一、逆矩阵的定义、唯一性二、可逆矩阵的运算性质主要内容:四、思考与练习三、矩阵可逆的判别定理及求法3一、逆矩阵的定义、唯一性,111aaaa则矩阵称为的可逆矩阵或逆阵.A1A概念的引入:在数的运算中，当数时，0a有aa11a其中为的倒数，a（或称的逆）；在矩阵的运算中，E单位阵相当于数的乘法运算中的1，A那么，对于矩阵，1A如果存在一个矩阵,,11EAAAA使得4定义：1nnABABBAEABAAB设为阶，若存在阶，使得则称矩阵是可逆的，方阵称为的逆矩阵，记作方阵方阵例:设,21212121,1111BA,EBAAB.的一个逆矩阵是AB5唯一性：若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.证明：CCEABCBCAEBBECAACEBAABACB)()(从而，的逆矩阵，则都是、设6.,,1111AAAA且亦可逆则可逆若二、可逆矩阵的运算性质且可逆则数可逆若,,0,2AA且亦可逆则为同阶方阵且均可逆若,,,3ABBA1111ABBAABAB1AEA,1EAA.111ABAB证明：.111AA.1212AA推广1AmA1mA11A.111ABAB7TTTAAAA11TE,E.11TTAA.,,0,10kkAAEAA定义时当另外证明：为正整数k.,,4AAAAT且亦可逆则可逆若TT11有为整数时当,,,0A,AAA.AA8111.AAAEAA111AA111AAA因此证明：(5)若可逆，则有A9三、矩阵可逆的判别定理及求法定理:0AAn可逆当且仅当阶方阵证明：01)(1111AAAAAEAAAA因此，两边取行列式，得，使可逆，则有11,AAA且.的伴随矩阵为矩阵其中AA10奇异矩阵：0A非奇异矩阵：0A（退化矩阵）（非退化矩阵）AAAEAAAAAAEAAAAEAAAEAAAAEAAA1)()()(0)(0)(1，所以所以，时，有，当又因为，时，有，当因为11推论：11ABABEABABBA设、为同阶，若，则方阵和都可逆，且，方阵111111)()(,01BABAEAABABAAEBBAABAABEAB可逆，且同理，有存在，所以所以，则若证明：注：中的一个即可和只需验证的逆矩阵，是否为判断EBAEABAB12则dcbaAB01121001100122badbca逆矩阵的求法一：待定系数法例1:设,0112A.的逆矩阵求A解：dcbaB设是的逆矩阵,A13,1,0,02,12badbca.2,1,1,0dcba又因为0112211001122110,1001所以.21101AABAB14.1nnn2n12n22121n21111的代数余子式中元素为行列式的伴随矩阵，为其中，其中ijijaAAAAAAAAAAAAAAAAA(1)(2)acbdbcadAAAbcadAdcbaA1101时，有当特别地，对二阶方阵逆矩阵的求法二：伴随矩阵法注:二阶方阵的伴随矩阵的求法:把原矩阵“主对调,负变号”即可.15例2：求方阵的逆矩阵.343122321A解343122321A0,.1存在A,2341211A,3331212A16同理可得,2,6,6,223222113AAAA,2,5,4333231AAA,222563462A得故AAA1122256346221.1112532323117,0!5A因由伴随矩阵法得1,AAA解：.1存在故A.50000040000030000020000011AA求已知例3：18432100000532100000542100000543100000543251!.5100000410000031000002100000119,130231,3512,343122321CBA例4：设.CAXBX使满足求矩阵解,02343122321A,013512B.,11都存在BA20,111253232311A且,25131BCAXB又由1111CBAAXBBA.11CBAX于是11CBAX251313023111125323231E21714121,61ABAABAA且oo.B求ABABAA6116AEBAA解：:,满足关系设三阶矩阵BA例5：1247A22注：111)(BABA111)(1002,0002,200110011001CACACACABABACBA可逆，但可逆，不可逆可逆，但，，例如：23而1AE200100040010007001100030006所以11AE10001300016原方程两端右乘矩阵,1A左乘矩阵11AE－116BAE则100601300016.10002000624练习：设方阵满足方程逆矩阵都可逆，并求出它们的和证明EAA4:01032EAA证：(1))3(10110310)3(1EAAAEEAAEEAA可逆，且所以(2))(616)4(6))(4(1EAAAEEAEAEEAEA可逆，且所以25,022EAA由EEAA2得EEAA2.,2,:,022并求它们的逆矩阵都可逆证明满足方程设方阵EAAEAAA例6：1A11.2AAE所以可逆，且A证：022EAA又由2340AEAEE1234AEAEE11234AEAE12EA所以可逆，2AE26例7：设方阵B为幂等矩阵，2BB（即，从而对正整数k，）kBB,AEB证明：A是可逆矩阵，且1132AEA证明：132AEA132EBEA132EBEEB122EBEB21222EBBB1222EBBBE1132AEA27例8:设,求4121P,2001,PAP解nA112421,21PP,1PPA,12112PPPPPPA,,1PPAnn而,2001,20012001200122,2001,nn故2811242120014121nnA112421212121nn122212222224222421112211nnnnnnnn291.逆矩阵的概念及运算性质..0A3.逆矩阵的计算方法：;21AAA利用公式2.逆矩阵存在1A;1待定系数法.3下一章介绍初等变换法小结：30??,11BAYBYABAXBAXA是否有唯一解矩阵方程是否有唯一解那么矩阵方程可逆若四、思考题：..1的唯一性决定的这是由于是的A答：