2.5-初等变换与初等矩阵

1、11、定义行列式的各个元素的代数余子式所构成矩阵的转置.AijA112111222212nnnnnnAAAAAAAAAA一、伴随矩阵A称为矩阵的伴随矩阵.2、运算规律（假定所有运算合法，是矩阵，）ABR（1）TTAA（2）ABBABaidu()课前复习AA11(3)2ABE,使得的逆矩阵记作1.AA定义对于ｎ阶方阵Ａ，如果有一个ｎ阶方阵Ｂ，则称矩阵Ａ是可逆的，并把矩阵Ｂ称为Ａ的逆矩阵.说明若Ａ是可逆矩阵，则Ａ的逆矩阵是唯一的.定理1矩阵Ａ可逆的充要条件是，且0A11,AAAA其中为矩阵Ａ的伴随矩阵.当时，Ａ称为奇异矩阵；0A0A当时，Ａ称为非奇异矩阵.3运算规律（设ＡＢ均是ｎ阶方阵）1A1,A1）若11.AA且1,A1,0A2）若111.AA且1,AB11,AB3）若，且同阶，,AB推广11112211.nnAAAAAA1,TA1A4）若11.TTAA且11AA1A5。

2、）若1,A6）若1,A11.AAAA且111ABBA且4（其中ｋλμ为整数）7）其它的一些公式nAA1AAAAAE0AE1kkAAAAAAA8）一些规定55111211naBaa111121naaAa1122,,0innaaaaABaaa9）结论62、分块对角矩阵12;sAAAA1）1111;sAAA2）1,sAAA1111;sAAA3）若4）若1,sAAA1;nnnsAAA则则7注：kABkkAB?（1）2AB?222AABB（2）kAE1122211kkkkkkkkkACACACAE例1101A设，计算23,,.kAAA2110101A解12。

3、01321120101AAA13018下用数学归纳法证明101kkA猜想当时，等式显然成立.2n当时，等式成立，即nk11(1,2,)0101kkkAk等式成立.所以猜想正确.要证时成立，此时有1nk1110101kkkAAA1101k9解010000010000000ABE例2设，计算.100100AkA2001000,000B3000000,000B易见3333kkkBBBOBOk10kkABE1122211kkkkkkkkkBCBCBCBE11222333kkkkkkkECBCBCBOO1100010010001001000kkk.。

4、200110002000kkk121(1)2000kkkkkkkkkk11例3设1.A121000000,000000nnaaAaa求其中0,ia121000000,000000nnaaaAa解12,OAAOA111111,naAa112,nAa11112,OOAAA111111000,000nnaAaa12例4设34004300,00200022A84,.AA求解令12,AOAOA123420,,4322AA88182,AOAOA其中所以88812AAA8812AA161044142,AOAOA而22125,5OAO44145,5OAO2102,11A444264102。

5、02,4122A所以可求.4A1313,,0都是可逆方阵和其中设CBCDBA1,.AA可逆并求证明：例5证：,,可逆由CB,0CBA有.可逆得A,1YWZXA设.000EEYWZXCDB则.,,,ECYOCWODYBZEDWBX.,,,1111OWDCBZCYBX11111.BBDCAOC第2.5节初等变换与初等矩阵15一、矩阵的初等变换二、初等矩阵三、用初等变换法求可逆矩阵的逆矩阵主要内容:四、思考与练习16一、矩阵的初等变换线性方程组的一般形式mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111什么是初等变换?17用矩阵形式表示此线性方程组：1112111212222212nnmmmnnmaaaxbaaaxbaaaxb令。

6、12nxxxx12mbbbbijmnAa则，线性方程组可表示为Axb18如何解线性方程组？可以用消元法求解。始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换：（1）交换方程次序；（2）以不等于０的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的k倍．由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．19若记11121121222212()nnmmmnmaaabaaabBAbaaab则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B（方程组的增广矩阵）的变换．因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算．20即，求解线性方程组实质上是对增广矩阵施行3种初等运算：(1)对调矩阵的两行。(2)用非零常数k乘矩阵的某一行的所有元素。(3)将矩阵的某一行所有元素乘以非零常数k后加到另一行对应元素上。统称为矩阵的初等行变换21定义1：下面三种变换称为矩阵的初等行变换:）；记作两行对调两行（对调jirrji,,1;02乘以某一行的所有元素以数。

7、k.3）记作行上倍加到第行的对应的元素上去（第倍加到另一行把某一行所有元素的jikrrikjk同理可定义矩阵的初等列变换(把“r”换成“c”)．22矩阵的初等变换初等列变换初等行变换通常称(1)对换变换(2)倍乘变换(3)倍加变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．jirrkri逆变换;jirr逆变换;)1(krkrii或jikrr逆变换.)(jijikrrrkr或23等价关系的性质：；反身性）（AA1A;B,BA2则若对称性）（C.AC,BB,A3则若）传递性（．等价，记作与就称矩阵，矩阵经有限次初等变换变成如果矩阵BABABA~具有上述三条性质的关系称为等价．例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价定义2：24用矩阵的初等行变换解方程组（1）：21112112144622436979B111214211122311236979B21rr23r25111214211122311236979B26331000。

8、620000111041211B979632113221112412111B13322rrrr143rr234330635500222041211B13322rrrr143rr23252rrr243rr27500000310003011040101B310006200001110412113B43rr342rr400000310000111041211B43rr342rr21rr32rr28对应的方程组为5B33443231xxxxx方程组的解可记作或令,3cx3344321cccxxxxx30340111c.为任意常数其中c29.54都称为行阶梯形矩阵和矩阵BB特点：（1）、。

9、可划出一条阶梯线，线的下方全为零；500000310003011040101B（2）、每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元．非零行的首非零元列标逐行增加.30.15的其他元素都为零列，且这些非零元所在的元为即非零行的第一个非零或行标准形），还称为行最简形矩阵（行阶梯形矩阵B.,Anm和行最简形变换把他变为行阶梯形总可经过有限次初等行对于任何矩阵注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的．行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形．31000003100030110401015B214ccc3215334cccc例如，F000000010000010000010000030100310104100143cc00000301003001040001.的标准形称为矩阵矩阵BF32.为零阵，其余元素全的左上角是一个。

10、单位矩F标准形总可经过初等变换化为矩阵AnmnmrOOOEF.,,的行数行阶梯形矩阵中非零行就是三个数唯一确定，其中此标准形由rrnm特点：33注：1、任何一个矩阵经过有限次初等变换总可以化为标准型；2、阶可逆方阵化为标准型矩阵必为阶单位阵；nn32050323612015316414A用初等行变换化矩阵为行标准型及标准型.A34定义3：由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.E三种初等变换对应着三种初等方阵.矩阵初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.行（列）上去．乘某行（列）加到另一以数乘某行或某列；以数对调两行或两列；kk.30.2.1二、初等矩阵35，得初等方阵两行，即中第对调)(,jirrjiE1101111011),(jiE行第i行第j(1)对调两行或两列，得初等对换矩阵。36)).(()(0kiEkriki矩阵，得初等行乘单位矩阵的第以数1111))((kk。