3.3-向量空间

第3.5节向量空间主要内容:一．向量空间的概念二．向量空间的基与维数三．思考练习题一、向量空间的概念说明:,,.VkRkV有,,;VVV有n维向量的全体，也是一个向量空间。nR定义1：设V为n维向量的集合，如果集合V非空，且集合V对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合V为向量空间．集合V对于加法及数乘两种运算封闭指例1：3维向量的全体是一个向量空间。3R例2:判别下列集合是否为向量空间.122222(1)0,,,,,(2)1,,,,,TnnTnnVxxxxxRVxxxxxR解：221(1)0,,,,0,,,TTnnaabbV2210,,,TnnababV有21,0,,,.TnRaaV有所以，是向量空间。1V(2)不是向量空间。2V.2,,2,2222VaaTn则,,,,122VaaTn因为若RbaxV,是否为向量空间.121212()(),xxabV有111,()().kRkxkakbV有（这个向量空间成为由向量a，b生成的向量空间）RaaaxVmmm,,,212211一般地，由向量组所生成的向量空间为12,,,maaa例3：设a，b为两个已知的n维向量，判断集合111222,xabxabV解：所以V是一个向量空间。??),,(lg),(:),,(),(),(::,,),(为什么是不是向量空间数乘加法运算如下定义加法与数乘设VRkbabakbdcadcbaRbabaxVkT思考练习题.不是向量空间V解答.,,还是正实数积因为两个正实数的和与对加法封闭显然V.对乘法不封闭但V.),0(),1(lg),1(,),,1(VbbbkkbVkk对任意实数中的元素比如二、向量空间的基与维数12,,,,rV且满足12,,,r线性无关。（1）（2）V中任一向量都可由12,,,r线性表示，那么，就称向量组12,,,r是向量空间V的一个基，r称为向量空间V的维数，记作dimV＝r并称V是r维向量空间。注：（1）只含有零向量的向量空间没有基，规定其维数为0。（2）如果把向量空间看作向量组，可知，V的基就是向量组的极大无关组，V的维数就是向量组的秩。（3）向量空间的基不唯一。定义2：设V是向量空间，如果r个向量练习题验证123(1,1,0),(2,1,3),(3,1,2)TTT为3R的一个基,并把12(5,0,7),(9,8,13)TTvv用这个基线性表示.解：1231210023,,,,0103300112vv