4-1方阵的特征值与特征向量

《线性代数》下页结束返回第4章矩阵的对角化与二次型的化简一、矩阵的特征值与特征向量二、相似矩阵与矩阵的对角化下页三、正交矩阵四、二次型与二次型的化简五、正交变换化二次型为标准形六、惯性定律与正定二次型《线性代数》下页结束返回075057075156100.21xyxy505057570707矩阵代数与计算机图形下页《线性代数》下页结束返回075057075156100.210k0k=1(kR)0k下页《线性代数》下页结束返回A=2A=0.52000.5A=/6cossinsincosB=下页《线性代数》下页结束返回旋转cossinAsincos若将图形从初始位置逆时针旋转角度θ，则需左乘下面的矩阵A对于某些矩阵而言，存在着一些特殊的非零向量，使得矩阵A对其的作用仅仅是将这一向量乘以数倍。即对于一个n阶方阵A，存在着一个非零向量X，使得AXX其中，为一标量。下页具有这一性质的特殊的非零向量X就被称为是矩阵A的特征向量，而数λ被称为是矩阵A的特征值。对于这一矩阵A而言，找不到这样的非零向量，能够使得A作用后，向量只是发生数倍的变化。/6《线性代数》下页结束返回定义1设A是n阶方阵，如果存在数和n维非零列向量X满足AXX，则称为A的特征值，称向量X为A的对应于特征值的特征向量.问题：怎样求矩阵的特征值和特征向量？下页第1节矩阵的特征值与特征向量1.1特征值特征向量的概论与计算A=n阶方阵非零向量特征值特征向量对应《线性代数》下页结束返回A=(EA)=0|EA|=0特征方程|EA|=a11a12…a1na21a22…a2n…………an1an2…ann特征多项式特征值特征向量分析：下页非零向量《线性代数》下页结束返回定义1设A是n阶方阵，如果存在数和n维非零列向量X满足AXX，则称为A的特征值，称向量X为A的对应于特征值的特征向量.（4）|EA|0。（3）EA为奇异矩阵，（2）(EA)Xo有一个非零解（非平凡解），若A为n阶方阵，为一标量，则以下命题等价：下页（1）是A的特征值，《线性代数》下页结束返回方程|EA|0的每个根都是矩阵A的特征值.方程(EA)Xo的每个非零解都是对应的特征向量.例1．求矩阵A的特征值与特征向量.5131解：矩阵的特征方程为|EA|5+131(4)(+2)0，矩阵A的特征值为14，22.对于特征值14，解齐次线性方程组(4EA)Xo，得其基础解系为，11于是，矩阵A对应于14的全部特征向量为111c(c1不为0).下页《线性代数》下页结束返回例1．求矩阵A的特征值与特征向量.5131解：矩阵的特征方程为|EA|5+131(4)(+2)0，矩阵A的特征值为14，22.对于特征值22，解齐次线性方程组(2EA)Xo，得其基础解系为，15于是，矩阵A对应于22的全部特征向量为512c(c2不为0).下页方程|EA|0的每个根都是矩阵A的特征值.方程(EA)Xo的每个非零解都是对应的特征向量.《线性代数》下页结束返回例2.求矩阵A163365343的特征值与特征向量.|EA|16336+5343(+2)2(4)0，矩阵A的特征值为122,34.对于特征值122,解线性方程组(2EA)Xo,解：矩阵的特征方程为+20+236+534310136+5343=(+2)得其基础解系及，110-101110-101c1+c2于是，A的对应于12-2的全部特征向量为(c1,c2不全为0).下页《线性代数》下页结束返回对于特征值34，解线性方程组(4EA)Xo，得其基础解系，112于是，A的对应于34的全部特征向量为16336+5343(+2)2(4)0，矩阵A的特征值为122,34.|EA|(c3不为0).2113c下页例2.求矩阵A163365343的特征值与特征向量.解：矩阵的特征方程为《线性代数》下页结束返回解：矩阵的特征方程为|EA|+114103020(2)(1)20，矩阵A的特征值为121，32.对于特征值121，解线性方程组(EA)Xo，例3.求矩阵A114103020的特征值与特征向量.于是，A的对应于121的全部特征向量为得其基础解系，1211211c(c1不为0).下页《线性代数》下页结束返回解：矩阵的特征方程为+110(2)(1)20，矩阵A的特征值为121，32.对于特征值32，解线性方程组(2EA)Xo，例3.求矩阵A114103020的特征值与特征向量.于是，A的对应于32的全部特征向量为得其基础解系，001|EA|+114103020(c2不为0).1002c下页《线性代数》下页结束返回例4．试证：n阶O矩阵的特征值为零.证：由|EO||E|=n0，必有0.下页问题：对角矩阵的特征值是什么？a11000a22000annA.1122nnaaEAa由11()()0nnaa111.nnnaa所以特征值，，《线性代数》下页结束返回例4．试证：n阶O矩阵的特征值为零.证：由|EO||E|=n0，必有0.下页例5．试证：n阶矩阵A是奇异矩阵的充分必要条件是A有一个特征值为零.证：必要性.如果A是奇异矩阵，则|A|0.于是|0E-A||-A|(-1)n|A|0，即0是A的一个特征值.充分性.设A有一个特征值为0，对应的特征向量为X1.由定义，有AX10X1o(X1o)，所以齐次线性方程组AXo有非零解X1,由此可知|A|0，即A为奇异矩阵.问题：对角矩阵的特征值是什么？《线性代数》下页结束返回性质1设X1,X2,…,Xm都是矩阵A的对应于特征值的特征向量,如果它们的线性组合k1X1+k2X2+…+kmXm≠o,则k1X1+k2X2+…+kmXm也是矩阵A的对应于特征值的特征向量．性质2如果n阶方阵A的全部特征值为1,2,,n(k重特征值算作k个特征值)，则①1+2++n=tr(A);其中,tr(A)=a11+a22+a33+……＋ann,称为矩阵A的迹.②12n＝|A|．下页1.2特征值与特征向量的性质《线性代数》下页结束返回证明:由性质2可知，若A是可逆矩阵，即|A|≠0，则A的任一个特征值都不为零．若X是A的属于特征值的特征向量，则AＸ＝Ｘ，两端同乘A-1,并整理得A-1X=-1Ｘ,即-１是A-１的特征值，X也是A-１的对应于-１的特征向量.性质3设是可逆方阵A的一个特征值，X是它对应的特征向量，则1是A-1的一个特征值，且X也是A-1的对应于1的特征向量．下页《线性代数》下页结束返回性质4设是方阵A的一个特征值，X为对应的特征向量，m是一个正整数，则m是Am的一个特征值，X为对应的特征向量．下页证明:由于AＸ＝Ｘ，两端都左乘A得A2Ｘ＝AＸ,把AＸ＝Ｘ代入上式得A2Ｘ＝(Ｘ)2Ｘ，依次类推可得AmＸ＝mＸ，即m是Am一个特征值，Ｘ为对应的特征向量．《线性代数》下页结束返回即,若f(x)是一个多项式，则f()是f(A)的特征值．下页推论设是方阵A的一个特征值，则0111kkkkmmmm++++EkAkAkAkmmmm0111++++是矩阵的一个特征值(m为正整数).特别，若f(A)=1110,mmmmkAkAkAkEO++++则必有，f()=11100.mmmmkkkk++++性质4设是方阵A的一个特征值，X为对应的特征向量，m是一个正整数，则m是Am的一个特征值，X为对应的特征向量．《线性代数》下页结束返回证明:因为A2=E，所以A2-E=O,设A的特征值为，则由性质4之推论可得2-1=0，解得，1＝1，2＝-1.证毕.例7.设3阶矩阵A的三个特征值分别为11,20,3-1,求矩阵BA2-3A+2E的特征值.下页例6.设n阶矩阵A满足A2=E，证明A有特征值为1或-1.解：令B=f(A)=A2-3A+2E，则由性质4之推论可知f()是f(A)的特征值，从而得矩阵B的三个特征值分别为：221113213126;++++222223203022;++++2233332(1)3(1)20.++++《线性代数》下页结束返回性质5n阶矩阵A互不相同的特征值1，2，，m，对应的特征向量X1，X2，，Xm线性无关．（证明略）下页性质6设A为n阶矩阵，则A与AT有相同的特征值．即A与AT有相同的特征多项式，|(EA)|，|(EA)T||EAT|由(EA)TEAT有证明：所以它们的特征值相同．《线性代数》下页结束返回①已知三阶方阵A的三个特征值为１，-２，３．则|A|＝（），A-１的特征值为（），AT的特征值为（），A2+2A+E的特征值为（）．②设Ak=0，k是正整数，则A必有一特征值为（）．③若A2＝A，则A的特征值为（）．④设A是3阶方阵，已知方阵E-A，E+A，3E-A都不可逆，则A的特征值为（）．⑤已知三阶矩阵A的特征值为１，-１，２，则｜A-5E｜＝（）．-6１,-1/2,1/3１,-２,３4,1,1600,11,-1,3-72下页练习题《线性代数》下页结束返回⑥试确定a,b的值，使得232abAba有特征值1，以及相应的特征向量为11。⑦设、是n阶方阵A的特征值，且，而、分别为对应的特征向量，证明不是方阵A的特征向量。12121X2X12XX+下页《线性代数》下页结束返回作业：128页12129页1结束《线性代数》下页结束返回54+1431其基础解系为．11(1)对于矩阵A及特征值14，解齐次线性方5131程组(EA)XO．4EA因为特征矩阵55110011，所以齐次线性方程组(4EA)XO的同解方程组为x1x2，返回《线性代数》下页结束返回52+1231其基础解系为．15(2)对于矩阵A及特征值22，解齐次线性方5131程组(EA)XO．2EA因为特征矩阵51510011/5，所以齐次线性方程组(2EA)XO的同解方程组为x1(1/5)x2，返回《线性代数》下页结束返回114103020(3)对于矩阵A及特征值1，解齐次线性方程组(EA)XO．因为特征矩阵EA所以齐次线性方程组(EA)XO的同解方程组为1+11410130120214102010100001102，基础解系为．121x1x3x22x3返回《线性代数》下页结束返回114103020(4)对于矩阵A及特征值2，解齐次线性方程组(EA)XO．因为特征矩阵2EA所以齐次线性方程组(2EA)XO的同解方程组为2+11410230220314101000100001000，基础解系为．001x10x20返回《线性代数》下页结束返回(5)对于矩阵A及特征值-2,解齐次线性方163-