直接证明与间接证明练习题

12、直接证明与间接证明三种证明方法的定义与步骤：1.综合法是由原因推导到结果的证明方法，它是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法。2.分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、公理、定理等）为止的证明方法。3.反证法假设原命题的结论不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,由此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的方法叫反证法；它是一种间接的证明方法.反证法法证明一个命题的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立；(2)根据假设进行推理,直到推理中导出矛盾为止(3)断言假设不成立(4)肯定原命题的结论成立题型一：用综合法证明数学命题例1：对于定义域为0,1的函数()fx，如果同时满足以下三条：①对任意的0,1x，总有()0fx；②(1)1f；③若12120,0,1xxxx，都有1212()()()fxxfxfx成立，则称函数()fx为理想函数．(1)若函数()fx为理想函数，求(0)f的值；(2)判断函数()21xgx（]1,0[x）是否为理想函数，并予以证明；解析：（1）取021xx可得0)0()0()0()0(ffff．又由条件①0)0(f，故0)0(f．（2）显然12)(xxg在[0，1]满足条件①0)(xg；也满足条件②1)1(g．若01x，02x，121xx，则)]12()12[(12)]()([)(21212121xxxxxgxgxxg0)12)(12(1222122121xxxxxx，即满足条件③，故)(xg理想函数．注：紧扣定义，证明函数()21xgx（]1,0[x）满足三个条件2题型二：用分析法证明数学命题例2：已知：10a，求证：9141aa.证明：∵10a∴要证9141aa，去分母后需要证：（1－a）+4a≥9a（1—a），移项合并同类项，即需要证：92a—6a+1≥0，即要证；2310a…………（1）而（1）式显然成立，∴原不等式成立。题型三：用反证法证明数学命题或判断命题的真假例3：已知)1(12)(axxaxfx，证明方程0)(xf没有负数根解析：假设0x是0)(xf的负数根，则00x且10x且12000xxax112010000xxax，解得2210x，这与00x矛盾，故方程0)(xf没有负数根注：（1）凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题从正面突破往往比较困难，适宜用反证法新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆。即“正难则反”；（2）反证法步骤：假设结论不成立→推出矛盾→假设不成立新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆。选择题1.用反证法证明命题：若整系数方程20(0)axbxca有有理根，那么,,abc中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（）.A、假设,,abc都是偶数B、假设,,abc都不是偶数C、假设,,abc中至多有一个偶数D、假设,,abc中至多有两个偶数3答案；B2．若三角形能剖分为两个与自己相似的三角形，那么这个三角形一定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定答案：B3.已知1230aaa，则使得2(1)1iax(1,2,3)i都成立的x取值范围是（B）A.（0，11a）B（0，12a）C.（0，31a）D.（0，32a）提示；2(1)1iaxx∈（0，2ia），由1230aaa123222aaa得出结论。填空题4．若244)(xxxf，则)10011000()10012()10011(fff=____________.答案：5005.如图，在平面直角坐标系xoy中，设三角形ABC的顶点分别为)0,(),0,(),,0(cCbBaA，点(0,)Pp在线段AO上的一点（异于端点），这里pcba,,,均为非零实数，设直线CPBP,分别与边ABAC,交于点FE,，某同学已正确求得直线OE的方程为01111yapxcb，请你完成直线OF的方程：()011yapx。答案：11cb6．将全体正整数排成一个三角形数阵：123456789101112131415………………ABCxyPOFE4按照以上排列的规律，第n行（3n）从左向右的第3个数为答案：222nn。解答题7.若0dcba且cbda，求证：cbad[解析]要证cbad，只需证22)()(cbad即bccbadda22，因cbda，只需证bcad即bcad，设tcbda，则0))(()()(tdcdccctddtbcadbcad成立，从而cbad成立8.在锐角三角形ABC中,求证:CBACBAcoscoscossinsinsin[解析]ABC为锐角三角形，BABA22，xysin在)2,0(上是增函数，BBAcos)2sin(sin同理可得CBcossin，ACcossinCBACBAcoscoscossinsinsin9.设ba,为非零向量，且ba,不平行，求证ba，ba不平行[解析]假设ba)(ba，则0)1()1(ba，ba,不平行，0101，因方程组无解，故假设不成立，即原命5题成立10.已知a、b、c成等差数列且公差0d，求证：a1、b1、c1不可能成等差数列[解析]a、b、c成等差数列，cab2假设a1、b1、c1成等差数列，则0)(4)(11222caaccacab，ca从而0d与0d矛盾，a1、b1、c1不可能成等差数列11.已知xxfln)(证明：)1()1(xxxf[解析]即证：0)1ln(xx设1111)(,)1ln()(xxxxkxxxk则.当x∈（-1，0）时，k′(x)0，∴k(x)为单调递增函数；当x∈（0，∞）时，k′(x)0，∴k(x)为单调递减函数；∴x=0为k(x)的极大值点，∴k(x)≤k(0)=0.即0)1ln(xx)1()1(xxxf12.已知函数||1yx，222yxxt，11()2tyxx(0)x的最小值恰好是方程320xaxbxc的三个根，其中01t．求证：223ab；[解析]三个函数的最小值依次为1，1t，1t，由(1)0f，得1cab∴3232()(1)fxxaxbxcxaxbxab2(1)[(1)(1)]xxaxab，故方程2(1)(1)0xaxab的两根是1t，1t．故11(1)tta，111ttab．22(11)(1)tta，6即222(1)(1)aba∴223ab．改变后直接证明与间接证明1.用反证法证明命题：若整系数方程20(0)axbxca有有理根，那么,,abc中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（）.A、假设,,abc都是偶数B、假设,,abc都不是偶数C、假设,,abc中至多有一个偶数D、假设,,abc中至多有两个偶数2．若三角形能剖分为两个与自己相似的三角形，那么这个三角形一定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定3．若244)(xxxf，则)10011000()10012()10011(fff=____________.4.若0dcba且cbda，求证：cbad5.在锐角三角形ABC中,求证:CBACBAcoscoscossinsinsin6.设ba,为非零向量，且ba,不平行，求证ba，ba不平行77.已知a、b、c成等差数列且公差0d，求证：a1、b1、c1不可能成等差数列8.对于定义域为0,1的函数()fx，如果同时满足以下三条：①对任意的0,1x，总有()0fx；②(1)1f；③若12120,0,1xxxx，都有1212()()()fxxfxfx成立，则称函数()fx为理想函数．(1)若函数()fx为理想函数，求(0)f的值；(2)判断函数()21xgx（]1,0[x）是否为理想函数，并予以证明；