三角恒等变换复习与习题课

三角恒等变换复习与习题课一.公式回顾⑴两角和与差的三角函数公式⑵二倍角公式sin2α=2sinαcosαcos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α2tan1tan22tansin(αβ)=sinαcosβcosαsinβcos(αβ)=cosαcosβsinαsinβtantan1tantantan(αβ)=⑶变形公式：降幂扩角1+cosα=2cos221-cosα=2sin22升幂缩角cos2α=22cos1sin2α=22cos1tantantan(1tantan)22222222222222sincossincossincoscossinsincossinbxbxabxxabababxxabxbababaaa其中，2sincos1sin222cosabx成才之路·数学·人教A版·必修4第三章三角恒等变换3．常见角的变换使用本章公式时，要注意分析已知角与已知角，目标角与已知角的关系．常见的角的变换有：α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)＝(β＋α)－(β－α)，2α＋β＝(α＋β)＋α，α＋β＝α＋β2＋α＋β2，α－β＝α－β2＋α－β2，α＋β2＝(α－β2)－(α2－β)，α－β2＝(α＋β2)－(α2＋β)．另外，分析角与角之间的互余、互补关系，利用诱导公式可以简化运算．专题一三角函数式的化简1．三角函数式化简的基本原则：(1)切化弦．(2)异名化同名(3)异角化同角．(4)高次降幂．(5)分式通分．(6)无理化有理（化平方后开方）．(7)常数的处理(特别注意“1”的代换)．2．三角函数式化简的基本技巧．(1)sinα，cosα→凑倍角公式．(2)1±cosα→升幂公式．(3)1±sinα化为1±cos(π2±α)，再升幂或化为(sinα2±cosα2)2.(4)asinα＋bcosα→辅助角公式asinα＋bcosα＝a2＋b2·sin(α＋φ)，或asinα＋bcosα＝a2＋b2·cos(α－φ).3．化简的基本思想方法：是统一角（角变）、统一三角各个名称（名变）、次数变．例1、化简：1＋3tanθ2cos2θ＋sin2θ－1－3＋5tanθcos2θ－4sin2θ－4第三章章末归纳总结成才之路·数学·人教A版·必修4[例1](2011·重庆高考)已知sinα＝12＋cosα，且α∈(0，π2)，则cos2αsinα－π4的值为________．第三章章末归纳总结成才之路·数学·人教A版·必修41．若f(x)＝2tanx－2sin2x2－1sinx2cosx2，则fπ12的值为()A．－433B．8C．43D．－43解析：∵f(x)＝2tanx＋1－2sin2x212sinx＝2tanx＋2cosxsinx＝2sinxcosx＝4sin2x，∴fπ12＝4sinπ6＝8.答案：B第三章章末归纳总结成才之路·数学·人教A版·必修4[例2](2011·浙江高考)若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos(π4＋α)＝13，cos(π4－β2)＝33，则cos(α＋β2)＝()A.33B．－33C.539D．－69第三章章末归纳总结成才之路·数学·人教A版·必修4[解析]cos(α＋β2)＝cos[(π4＋α)－(π4－β2)]＝cos(π4＋α)cos(π4－β2)＋sin(π4＋α)sin(π4－β2)，而(π4＋α)∈(π4，3π4)，(π4－β2)∈(π4，π2)，因此sin(π4＋α)＝223，sin(π4－β2)＝63，则cos(α＋β2)＝13×33＋223×63＝539.[答案]C第三章章末归纳总结成才之路·数学·人教A版·必修43．(2012·辽宁高考)已知sinα－cosα＝2，α∈(0，π)，则tanα＝()A．－1B．－22C.22D．1解析：由sinα－cosα＝2sin(α－π4)＝2，α∈(0，π)，解得α＝3π4，所以tanα＝tan3π4＝－1.答案：A第三章章末归纳总结成才之路·数学·人教A版·必修44．已知α、β∈(0，π4)，tanα21－tan2α2＝14，且3sinβ＝sin(2α＋β)，则α＋β的值为()A.π6B.π4C.π3D.5π12第三章章末归纳总结成才之路·数学·人教A版·必修4解析：由tanα21－tan2α2＝14，得tanα＝12，由3sinβ＝sin(2α＋β)，得3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，tan(α＋β)＝2tanα＝1，由题意知α＋β∈(0，π2)，所以α＋β＝π4.答案：B求函数的值域、周期性、奇偶性及单调性21.()cos(22)cos2cos()cos2cos2fxxxx例专题二三角函数的求值三角函数的求值有三种类型：(1)给角求值：利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数问题；(2)给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如：α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等．把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角范围的讨论；(3)给值求角：实质上是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含有已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调性求得角．例3、已知0βπ2απ，且cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23，求cos(α＋β)的值；解、∵0βπ2απ，∴－π4α2－βπ2，π4α－β2π，∴cos(α2－β)＝1－sin2(α2－β)＝53；sin(α－β2)＝1－cos2(α－β2)＝459，∴cosα＋β2＝cos[(α－β2)－(α2－β)]＝cos(α－β2)cos(α2－β)＋sin(α－β2)sin(α2－β)＝(－19)×53＋459×23＝7527，∴cos(α＋β)＝2cos2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729.例4、设α,β为锐角，且3sin2α+2sin2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求α+2β的值.专题三三角恒等式的证明(1)从复杂的一边入手，逐步化简，证得与另一边相等；在证明过程中，时刻“盯”住目标，分析其特征，时刻向着目标“奔”．(2)从两边入手，证得等式两边都等于同一个式子．(3)把要证的等式进行等价变形．(4)作差法，证明其差为0.例5、求证：tan2x＋1tan2x＝23＋cos4x1－cos4x.（）[分析]本题目中角有x、4x，函数名称有切、有弦．证明可从左到右，或从右到左，统一角，统一函数名称．[证明]方法一：左边＝sin2xcos2x＋cos2xsin2x＝sin4x＋cos4xsin2xcos2x＝sin2x＋cos2x2－2sin2xcos2x14sin22x＝1－12sin22x14sin22x＝1－12sin22x181－cos4x＝8－4sin22x1－cos4x＝4＋4cos22x1－cos4x＝4＋2(1＋cos4x)1－cos4x＝2(3＋cos4x)1－cos4x＝右边．原式得证．方法二：右边＝22＋1＋cos4x2sin22x＝22＋2cos22x2sin22x＝21＋cos22x4sin2xcos2x＝sin2x＋cos2x2＋cos2x－sin2x22sin2xcos2x＝2sin4x＋cos4x2sin2xcos2x＝tan2x＋1tan2x＝左边．原式得证．专题五数形结合的思想在解决三角函数方面的问题时，大多数题目都要画出所涉及三角函数的草图，然后结合图象去解决，所以数形结合思想在解决三角函数问题上有着广泛的应用．例6、若方程3sinx＋cosx＝a在[0,2π]上恰有两个不同的实数解，求a的取值范围．[解析]∵3sinx＋cosx＝a，∴a＝2sinx＋π6，其中x∈[0,2π]．画出函数f(x)＝2sinx＋π6，x∈[0,2π]的图象，如下图所示，由已知方程3sinx＋cosx＝a在[0,2π]上恰有两个不同的实数解．即函数f(x)＝2sinx＋π6，x∈[0,2π]的图象与直线y＝a有两个不同的交点，结合图象易得a的取值范围为(－2,1)∪(1,2)．专题四三角恒等变换的综合应用例7、在△ABC中，角A，B，C满足1＋tanAtanB＝2sinCsinB.(1)求角A；(2)若m＝(0，－1)，n＝cosB，2cos2C2，试求|mn|的最小值．解：(1)1＋sinAcosBsinBcosA＝2sinCsinB，即sinBcosA＋sinBcosBsinBcosA＝2sinCsinB，∴sin(A＋B)sinBcosA＝2sinCsinB，∴cosA＝12.∵0＜A＜π，∴A＝π3.解：(2)m＋n＝(cosB,2cos2C2－1)＝(cosB，cosC)，∴|m＋n|2＝cos2B＋cos2C＝cos2B＋cos22π3－B＝1－12sin2B－π6.∵A＝π3，∴B＋C＝2π3，∴B∈0，2π3.从而－π6＜2B－π6＜7π6.∴当sin2B－π6＝1，即B＝π3时，|m＋n|2取得最小值12.所以，|m＋n|min＝22.例8：已知a＝(1,2sinx)，b＝(2cos(x＋π6)，1)，函数f(x)＝a·b(x∈R)．(1)求函数f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)＝85，求cos(2x－π3)的值．【解】(1)f(x)＝a·b＝2cos(x＋π6)＋2sinx＝2cosxcosπ6－2sinxsinπ6＋2sinx＝3cosx＋sinx＝2sin(x＋π3)．π2＋2kπ≤x＋π3≤3π2＋2kπ，得π6＋2kπ≤x≤7π6＋2kπ，所以f(x)的单调递减区间是[π6＋2kπ，7π6＋2kπ](k∈Z)．(2)由(1)知f(x)＝2sin(x＋π3)．又因为2sin(x＋π3)＝85，所以sin(x＋π3)＝45，即sin(x＋π3)＝cos(π6－x)＝cos(x－π6)＝45.所以cos(2x－π3)＝2cos2(x－π6)－1＝725.练习：82(cos,sin)(2sin,cos),(,2),5mnmn已知：和且，求cos()28的值.解：)sincos,2sin(cosnm22)sin(cos)2sin(cosnm)sin(cos224)4cos(44)4cos(12由已知528nm，得257)4cos(又1)82(cos2)4cos(2所以2516)82(cos20)82cos(898285,254)82cos(例9、(1)求：cos1cos2cos3cos89...sin46sin47sin48sin134=（）A．8922B．892C．902D．9022（2）11cos·cos112·cos113·cos114·cos115=解：coscoscos((45)45)22tan(45)sin(45)cos(45)cos(45)22cos1cos2cos3cos89...sin46sin47sin48sin134=2289(tan(44)tan(43)...tan44)22=8922，选A另解：（利用诱导公式配对求和）0coscos(90)cossinsin(45)sin(135)sin(45)sin(45)sincos2sin(45)cos1co