数列通项公式的求法专题

观察各项的特点，关键是找出各项与项数n的关系例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：9，99，999，9999，…解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，…∴通项公式为：1.观察法101nna当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。2.公式法典例讲解2：例2：已知数列{}是公差为d的等差数列，数列{}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f(x)=(x－1)2，且=f(d－1)，=f(d+1)，=f(q+1)，=f(q－1)，求数列{}和{}的通项公式；nananbnb1a3a1b3b例2解答：解：∵a1=f(d－1)=(d－2)2，a3=f(d+1)=d2，∴a3－a1=d2－(d－2)2=2d，∴d=2，∴an=a1+(n－1)d=2(n－1)；又b1=f(q+1)=q2，b3=f(q－1)=(q－2)2=q4，由q∈R，且q≠1，得q=－2，∴bn=b1·qn－1=4·(－2)n－121.,(1)23;(2)(1);(3)21nnnnnnnnansasnnsns例的前和为求的通项公式11(1)(2)nnnsnassn主要是公式的运用3.Sn法111.1,(2).21nnnnnsaasnsa例已知数列的求11111:221nnnnnsssss分析111111{}1,2nsas是首项为公差为的等差数列（1）若f(n)为常数,即：an+1-an=d,此时数列为等差数列，则an=a1+(n-1)d一般地，对于型如an+1=an+f(n)的通项公式，只要f(n)能进行求和，则宜采用此方法求解。4.叠加法112211()()()nnnnnaaaaaaaa(也称累加法）也可用横式来写:累加法（2）若f(n)为n的函数时，用累加法.方法如下：由an+1=an+f(n)得：当n1时，有an=an-1+f(n-1)an-1=an-2+f(n-2)…………………a3=a2+f(2)a2=a1+f(1)所以各式相加得an-a1=f(n-1)+f(n-2)+…+f(2)+f(1).例5已知数列{an}中,a1=1,an=an-1+n,求数列{an}的通项公式。解：an=an-1+nan-1=an-2+（n-1）…………a3=a2+3a2=a1+2各式相加得，an=a1+n+(n-1)+…+3+2=1+n+(n-1)+…+3+2=n(n+1)/2当n=1时，a1=(1×2)/2=1,故，an=n(n+1)/2例6已知数列{an}中,a1=1,an+1-an=2n-n,求数列{an}的通项公式。解：an-an-1=2n-1-(n-1)an-1-an-2=2n-2-(n-2)…………a3-a2=22-2a2-a1=21-1各式相加得，an=a1+(2n-1+2n-2+…+22+21)-[(n-1)+(n-2)+…+2+1]=1+(2n-2)+n(n-1)/2=2n+n(n-1)/2–1当n=1时，a1=2+0-1=1,故，an=2n+n(n-1)/2-1已知,a1=a，an+1=an+f(n),其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。备注：（1）当f(n)为常数,即：（其中q是不为0的数）,此时,数列为等比数列，an=a1·qn-1.5.叠乘法对于型如：an+1=f(n)·an类的通项公式，当f(1)·f(2)·…·f(n)的值可以求得时，宜采用此方法。1nnaqa(也称累乘法、累积法）（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.121121nnnnnaaaaaaaa11{},1,,1{}.nnnnanaaana例已知数列中求数列的通项公式132122112211132nnnnnaaaannaaaaannn典例分析：22111,(1)0(1,2,3,).nnnnnnananaaana例设是首项为的正数项数列且求的通项公式22111(1)01nnnnnnnanaaaanan由说明：本题是关于an和an+1的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到an与an+1的更为明显的关系式,从而求出.（1）若c=1时，数列{an}为等差数列;（2）若d=0时，数列{an}为等比数列;（3）若c≠1且d≠0时，数列{an}为线性递推数列，6.辅助数列法这种方法类似于换元法,主要用于形如an+1=can+d(c≠0,a1=a)的已知递推关系式求通项公式。（构造法或待定系数法）说明其通项可通过构造辅助数列来求.——待定系数法设an+1+m=c(an+m),得an+1=can+(c-1)m,与题设an+1=can+d,比较系数得:(c-1)m=d,所以有：m=d/(c-1)因此数列构成以为首项，以c为公比的等比数列，1ndac11dac11()11nnddaaccc11()11nnddaaccc即：例8：已知数列{an}中，a1=3,an+1=2an+3,求数列的通项公式解：由an+1=2an+3得an+1+3=2（an+3）所以{an+3}是以a1+3为首项，以2为公比的等比数列，所以:an+3=（a1+3）×2n-1故an=6×2n-1-32*1:10(),,6263.23nnnaxaxnNa例设二次方程有两根满足求证：是等比数列。n+1+=1nnaaa证：依题意，由韦达定理可知：11626362113(*)23nnnnnaaanNaa又1122111213()232323232132nnnnnnaaaaaa是以为公比的等比数列1111(1)=121(*)1222(1)(*)121{1}2.nnnnnnnnaaanNaaanNaaa证：，是公比为的等比数列111(2)1(1)222221(*)nnnnnnaaanN解：由(1)知11:=121(*)+1nnnnaaanNaa例已知数列满足，(1)求证：数列是等比数列;(2)求的通项公式.例.10已知数列{an}中，a1=1,an+1+3an+1an-an=0,求数列{an}的通项公式.111130111133nnnnnnnnaaaaaaaa解：111-3naa是以为首项，以为公差的等差数列111(1)(3)1(1)(3)43nnaann143nan例中是它的前和并且设求证是等比数列设求证数列是等差数列111.,,42(),1(1)2,;(2),.2nnnnnnnnnnnnasnsanNabaabacc11111111424422(2)2(2)nnnnnnnnnnnnnnsaassaaaaaaabbn由11111211(1)322323223224nnnnnnnnnnnnnbaaaaaa例已知数列的首项通项与前项和之间满足求数列的通项公式11.3,2(2)..nnnnnnnaaansassna111122(2)1112nnnnnnnnnassssssnss（）是首项为公差为-的等差数列111{},32ns