数列高中数学组卷2

第1页（共46页）SM数列高中数学组卷2一．填空题（共6小题）1．若数列{an}满足a1=2，an+1=（n∈N+），则可得该数列的前2011项的乘积a1•a2•a3…a2010•a2011=．2．数列{an}满足a1=2，an+1=pan+2n（n∈N*），其中p为常数．若存在实数p，使得数列{an}为等比数列，则数列{an}的通项公式an=．3．数列{an}满足a1=3，an﹣anan+1=1，An表示{an}前n项之积，则A2013=．4．设数列{an}满足，n=1，2，3，…，当a1=2时，an=．5．已知数列{an}满足（n为正整数）且a2=6，则数列{an}的通项公式为an=．6．数列{an}满足，则an=．二．解答题（共24小题）7．在数列{an}中，a1=1，an+1=can+cn+1（2n+1）（n∈N*），其中实数c≠0．（1）求{an}的通项公式；（2）若对一切k∈N*有a2k＞azk﹣1，求c的取值范围．8．已知数列{an}和{bn}满足：a1=λ，an+1=an+n﹣4，bn=（﹣1）n（an﹣3n+21）其中λ为实数，且λ≠﹣18，n为正整数．（Ⅰ）求证：{bn}是等比数列；（Ⅱ）设0＜a＜b，Sn为数列{bn}的前n项和．是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜Sn＜b？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．9．已知，（Ⅰ）求b1，b2，b3的值；第2页（共46页）（Ⅱ）设cn=bnbn+1，Sn为数列{cn}的前n项和，求证：Sn≥17n；（Ⅲ）求证：．10．设数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an=5Sn+1成立，记．（I）求数列{an}与数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）设数列{bn}的前n项和为Rn，是否存在正整数k，使得Rn≥4k成立？若存在，找出一个正整数k；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）记cn=b2n﹣b2n﹣1（n∈N*），设数列{cn}的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n都有．11．已知数列{an}的各项均为正数，且a1=1，对任意的n∈N*，均有an+12﹣1=4an（an+1），bn=2log2（1+an）﹣1．（1）求证：{1+an}是等比数列，并求出{an}的通项公式；（2）若数列{bn}中去掉{an}的项后，余下的项组成数列{cn}，求c1+c2+…+c100；（3）设dn=，数列{dn}的前n项和为Tn，是否存在正整数m（1＜m＜n），使得T1、Tm、Tn成等比数列，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．12．已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=2an+（﹣1）n，n≥1．（1）写出求数列{an}的前3项a1，a2，a3；（2）求数列{an}的通项公式；（3）证明：对任意的整数m＞4，有．13．已知n是正整数，数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，数列{}的前n项和为Tn，数列{Tn}的前n项和为Pn，Sn是nan与an的等差中项．（1）求Sn；（2）证明：（n+1）Tn+1﹣nTn﹣1=Tn；（3）是否存在数列{bn}，使Pn=（bn+1）Tn﹣bn？若存在，求出所有数列{bn}，若不存在，请说明理由．14．已知数列{an}满足：a1=，且an=（n≥2，n∈N*）．第3页（共46页）（1）求数列{an}的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1•a2•…an＜2•n！15．已知函数f（x）=x2﹣4，设曲线y=f（x）在点（xn，f（xn））处的切线与x轴的交点为（xn+1，0）（n∈N*），其中x1为正实数．（Ⅰ）用xn表示xn+1；（Ⅱ）若x1=4，记an=lg，证明数列{an}成等比数列，并求数列{xn}的通项公式；（Ⅲ）若x1=4，bn=xn﹣2，Tn是数列{bn}的前n项和，证明Tn＜3．16．已知数列{an}的各项都是正数，且满足：a0=1，an+1=（4﹣an），n∈N．（1）证明an＜an+1＜2，n∈N；（2）求数列{an}的通项公式an．17．设an为常数，且an=3n﹣1﹣2an﹣1（n∈N*）．（1）证明对任意n≥1，有；（2）假设对任意n≥1有an＞an﹣1，求a0的取值范围．18．如果无穷数列{an}满足下列条件：①≤an+1；②存在实数M，使an≤M．其中n∈N*，那么我们称数列{an}为Ω数列．（1）设数列{bn}的通项为bn=5n﹣2n，且是Ω数列，求M的取值范围；（2）设{cn}是各项为正数的等比数列，Sn是其前项和，c3=，S3=证明：数列{Sn}是Ω数列；（3）设数列{dn}是各项均为正整数的Ω数列，求证：dn≤dn+1．19．已知数列{an}满足：a1=0，，n=2，3，4，…．（Ⅰ）求a5，a6，a7的值；（Ⅱ）设，试求数列{bn}的通项公式；第4页（共46页）（Ⅲ）对于任意的正整数n，试讨论an与an+1的大小关系．20．已知数列{an}中，a1=2，an﹣an﹣1﹣2n=0（n≥2，n∈N）．（1）写出a2、a3的值（只写结果）并求出数列{an}的通项公式；（2）设，若对任意的正整数n，当m∈[﹣1，1]时，不等式恒成立，求实数t的取值范围．21．已知{an}是由非负整数组成的数列，满足a1=0，a2=3，an+1an=（an﹣1+2）（an﹣2+2），n=3，4，5，…，（1）求a3；（2）证明an=an﹣2+2，n=3，4，5，…；（3）求{an}的通项公式及其前n项和Sn．22．数列{an}的前n项和为．Sn（bn+3bn﹣bn+12）+bn+1bn=0．（I）求{an}，{bn}的通项公式；（II）求证：b3+b2+…+bn＜4．23．已知各项均为正数的数列{an}，满足：a1=3，且，n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设Sn=a12+a22+…+an2，，求Sn+Tn，并确定最小正整数n，使Sn+Tn为整数．24．数列{an}的前n项和为Sn，已知，n=1，2，…写出Sn与Sn﹣1的递推关系式（n≥2），并求Sn关于n的表达式．25．已知数列{an}中．当n≥2时3an+1=4an﹣an﹣1．（n∈N*）（Ⅰ）证明：{an+1﹣an}为等比数列；（Ⅱ）求数列{an}的通项；（Ⅲ）若对任意n∈N*有均成立，求λ的最小值．第5页（共46页）26．设正整数数列{an}满足：a2=4，且对于任何n∈N*，有2+；（1）求a1，a3；（2）求数列{an}的通项an．27．已知函数f（x）=x2﹣4，设曲线y=f（x）在点（xn，f（xn））处的切线与x轴的交点为（xn+1，0）（n∈N*），其中x1为正实数．（Ⅰ）用xn表示xn+1；（Ⅱ）证明：对一切正整数n，xn+1≤xn的充要条件是x1≥2（Ⅲ）若x1=4，记，证明数列{an}成等比数列，并求数列{xn}的通项公式．28．已知数列{an}满足=+且a1=4（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=an2﹣an，且Sn为{bn}的前n项和，证明：12≤Sn＜15．29．设数列满足|an﹣|≤1，n∈N*．（Ⅰ）求证：|an|≥2n﹣1（|a1|﹣2）（n∈N*）（Ⅱ）若|an|≤（）n，n∈N*，证明：|an|≤2，n∈N*．30．已知函数．（I）若x≥0时，f（x）≤0，求λ的最小值；（II）设数列{an}的通项an=1+．第6页（共46页）SM数列高中数学组卷2参考答案与试题解析一．填空题（共6小题）1．（2010•黄浦区一模）若数列{an}满足a1=2，an+1=（n∈N+），则可得该数列的前2011项的乘积a1•a2•a3…a2010•a2011=3．【分析】先由递推关系式，分析得到数列{an}的规律．即数列是以4为循环的数列，再求解．【解答】解：由递推关系式，得==，则=．∴{an}是以4为循环的一个数列．由计算，得a1=2，，a5=2，…∴a1a2a3a4=1，∴a1•a2…a2010•a2011=1×a2009•a2010•a2011=a1•a2•a3=3．故答案是3【点评】递推关系式是数列内部之间关系的一个式子．当遇到如题中的连续多项计算，特别是不可能逐一计算时，往往数列本身会有一定的规律，如循环等，再利用规律求解．2．（2012•滨湖区校级模拟）数列{an}满足a1=2，an+1=pan+2n（n∈N*），其中p为常数．若存在实数p，使得数列{an}为等比数列，则数列{an}的通项公式an=2n．【分析】先根据数列递推式求得a2和a3，进而根据{an}为等比数列得到∴a22=a1a3，第7页（共46页）求得p，进而求得得a2，则数列{an}的公比可得．最后根据等比数列的通项公式求得答案．【解答】解：a2=pa1+2=2p+2，a3=pa2+4=2p2+2p+4∵数列{an}为等比数列∴a22=a1a3即（2p+2）2=2（2p2+2p+4）解得p=1∴a2=4∴an=2•2n﹣1=2n故答案为2n【点评】本题主要考查了数列递推式的问题．考查了学生归纳和分析问题的能力．3．（2012•济南校级一模）数列{an}满足a1=3，an﹣anan+1=1，An表示{an}前n项之积，则A2013=﹣1．【分析】先通过计算，确定数列{an}是以3为周期的数列，且a1a2a3=﹣1，再求A2013的值．【解答】解：由题意，∵a1=3，an﹣anan+1=1，∴，，a4=3，∴数列{an}是以3为周期的数列，且a1a2a3=﹣1∵2013=3×671∴A2013=（﹣1）671=﹣1故答案为：﹣1【点评】本题考查数列递推式，考查学生的计算能力，确定数列{an}是以3为周期的数列，且a1a2a3=﹣1是解题的关键．4．（2012•安陆市校级模拟）设数列{an}满足，n=1，2，3，…，当a1=2时，an=n+1（n∈N*）．【分析】在递推公式中，依次令n=1，2，3代入式子计算，由特殊值的规律推导出一般关系式，利用数学归纳法给与证明即可【解答】解：∵，a1=2第8页（共46页）∴=3=4由以上规律可得，an=n+1下面利用数学归纳法给以证明：当n=1时，a1=2适合题意假设当n=k时，命题成立．即ak=k+1当n=k+1时，=（k+1）2﹣k（k+1）+1=k+2=（k+1）+1即当n=k+1时，命题成立综上可得，对于任意的n∈N*都成立∴an=n+1故答案为n+1【点评】本题考查了数列的递推公式，数学归纳法在数学命题证明中的应用，考查计算、推理与证明的能力．5．（2009•鼓楼区校级三模）已知数列{an}满足（n为正整数）且a2=6，则数列{an}的通项公式为an=2n2﹣n．【分析】由可得an+1+an﹣1=nan+1﹣nan+n，构造可得即为常数列，从而可求【解答】解：由可得an+1+an﹣1=nan+1﹣nan+n∴（1﹣n）an+1+（1+n）an=1+n∴=×（n+1）∴==第9页（共46页）∴∴∴为常数列而=2an=[2（n﹣1）+1]n=2n2﹣n当n=1时，可得a1=1适合上式故答案为：2n2﹣n【点评】本题目主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，解题得关键是利用递推公式构造特殊数列．6．（2010•北京校级模拟）数列{an}满足，则an=．【分析】首先分析题目由已知，可以联想到用错位相加的方法求解，分别列出每一个相邻两项的差，然后把它们相加即可得到an，又根据公式=．可直接得到答案．【解答】解：因为故有：第10页（共46页）…把这n个等式相加即可得到an==．故答案为．【点评】此题主要考查数列的递推式的应用，其中涉及到错位相加法和公式=．的应用，有一定的技巧性，需要同学们理解记忆．二．解答题（共24小题）7．（2010•重庆）在数列{an}中，a1=1，an+1=can+cn+1（2n+1）（n∈N*），其中实数c≠0．（1）求{an}的通项公式；（2）若对一切k∈N*有a2k＞azk﹣1，求c的取值范围．【分析】（1）根据a1，a2和a3猜测an=（n2﹣1）cn+cn﹣1，进而用数学归纳法证明．（2）把（1）中求得的an代入a2k＞az