2016年高考理科数学考点突破复习

热点一函数图象的识别与判断热点二函数性质的三个核心点热点三函数与方程的求解问题热点突破热点一函数图象的识别与判断函数图象的识别与判断是近年高考考查的一个重要考点，高考命题者对其情有独钟．因此，我们应当既能欣赏函数图象题的美丽，又能窥出他们的区别点，现一起走进函数图象的考题，欣赏他们迷人的“图景”，聚焦其识别与判断技巧．热点突破热点一函数图象的识别与判断【例1】已知0＜a＜1，则函数f(x)＝a－x与函数g(x)＝logax的图象在同一坐标系中可以是()所以1a＞1，解析因为0＜a＜1，所以函数f(x)＝a－x＝1ax的图象过点(0，1)且单调递增，函数g(x)＝logax的图象过点(1，0)且单调递减．故选D．答案D热点突破热点一函数图象的识别与判断已知含参函数的解析式，判断其图象的关键是：根据函数解析式明确函数的定义域、值域，函数的单调性、奇偶性、周期性等性质，根据这些性质对函数图象进行具体分析判断，即可得出正确选项．若能熟记基本初等函数的性质，则此类题目就不攻自破．【训练1】(2014·潍坊二模)函数y＝12|x＋1|的大致图象为()热点一函数图象的识别与判断解析因为y＝12|x＋1|＝12x＋1，x≥－1，2x＋1，x＜－1，所以图象为B．答案B热点突破热点突破热点二函数性质的三个核心点函数的性质是基本初等函数最核心的知识，主要包括：函数的单调性、周期性、奇偶性、有界性，以及函数图象的对称性、函数的定义域和值域等．对于函数性质问题，重在灵活运用，巧妙构建，便可实现函数问题的巧思妙解．【例2】函数f(x)＝10＋9x－x2lg（x－1）的定义域为()A．[1，10]B．[1，2)∪(2，10]C．(1，10]D．(1，2)∪(2，10]热点突破热点二函数性质的三个核心点解析要使函数f(x)有意义，则x需满足10＋9x－x2≥0，x－1＞0，lg（x－1）≠0，即(x＋1)(x－10)≤0，x＞1，x≠2，解得：1＜x≤10且x≠2.答案D核心点1已知函数解析式求函数定义域热点突破热点二函数性质的三个核心点已知函数解析式求解函数定义域的关键在于把握函数解析式的结构特征，准确列出使得解析式的每一部分都有意义的不等式(组)，则不等式(组)的解集就是该函数的定义域．常见求解函数定义域的问题主要包含三类式子：分式、根式、对数式．求函数定义域时要注意：(1)分式的分母不为零；(2)偶次方根的被开方数非负；(3)对数的真数大于0；(4)实际问题中的自变量必须符合实际意义等．另外，还应注意指数式与正切式中自变量取值的限制条件，如零次幂的底数不为零；正切函数y＝tanx中，x≠kπ＋π2(k∈Z)．核心点1已知函数解析式求函数定义域【训练2】(2014·珠海模拟)函数y＝（x＋1）02x＋1的定义域为________．解析由x＋1≠0，2x＋1＞0，得x∈－12，＋∞.答案－12，＋∞热点突破热点二函数性质的三个核心点核心点1已知函数解析式求函数定义域【例3】(2014·福建卷)已知函数f(x)＝x2＋1，x0，cosx，x≤0，则下列结论正确的是()A．f(x)是偶函数B．f(x)是增函数C．f(x)是周期函数D．f(x)的值域为[－1，＋∞)热点突破热点二函数性质的三个核心点所以函数f(x)不是偶函数，排除A．解析A项，f－π2＝cos－π2＝0，而fπ2＝π22＋1＝π2＋44，B项，当x＞0时，函数f(x)单调递增，而f(x)＝cosx在区间(－2π，－π)上单调递减，故函数f(x)不是增函数，排除B．显然f－π2≠fπ2，核心点2基本初等函数性质的判断热点突破热点二函数性质的三个核心点C项，当x＞0时，f(x)＝x2＋1∈(1，＋∞)，对任意的非零实数T，f(x＋T)＝f(x)均不成立，故该函数不是周期函数，排除C．D项，当x＞0时，f(x)＝x2＋1∈(1，＋∞)；当x≤0时，f(x)＝cosx∈[－1，1]．故函数f(x)的值域为[－1，1]∪(1，＋∞)，即[－1，＋∞)，所以该项正确，选D．答案D【例3】(2014·福建卷)已知函数f(x)＝x2＋1，x0，cosx，x≤0，则下列结论正确的是()A．f(x)是偶函数B．f(x)是增函数C．f(x)是周期函数D．f(x)的值域为[－1，＋∞)核心点2基本初等函数性质的判断热点突破热点二函数性质的三个核心点函数的单调性、奇偶性与周期性的判断方法(1)函数单调性的实质就是自变量与函数值的变化是否同向．判断函数单调性的方法主要有：利用基本初等函数的单调性、判断复合函数单调性的法则——同增异减、导函数的符号等．(2)判断函数奇偶性主要是利用定义法，即先判断其定义域是否关于原点对称，然后判断f(－x)与f(x)的关系，若两者相等，则为偶函数；若两者互为相反数，则为奇函数．(3)若f(x)为周期函数，则存在非零常数T，使得f(x＋T)＝f(x)对定义域内的每一个自变量x都成立．核心点2基本初等函数性质的判断【训练3】(2014·山东实验中学诊断)下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是()A．f(x)＝1xB．f(x)＝－xC．f(x)＝2－x－2xD．f(x)＝－tanx解析f(x)＝1x在定义域上是奇函数，但不单调；f(x)＝－x为非奇非偶函数；热点突破热点二函数性质的三个核心点f(x)＝－tanx在定义域上是奇函数，但不单调．答案C核心点2基本初等函数性质的判断【例4】(1)(2014·新课标全国Ⅱ卷)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)＞0，则x的取值范围是________．(2)见下一页热点突破热点二函数性质的三个核心点所以函数f(x)不是偶函数，排除A．解析A项，f－π2＝cos－π2＝0，而fπ2＝π22＋1＝π2＋44，B项，当x＞0时，函数f(x)单调递增，而f(x)＝cosx在区间(－2π，－π)上单调递减，故函数f(x)不是增函数，排除B．显然f－π2≠fπ2，抓住f(2)＝0，代换为f(x－1)＞f(2)利用偶函数的性质，将不等式转化利用函数f(x)在[0，＋∞)上的单调性转化为自变量之间的大小关系求解．一审二审三审核心点3函数性质的综合应用热点突破热点二函数性质的三个核心点解析(1)因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)＝f(|x|)，故不等式f(x－1)＞0可化为f(|x－1|)＞0.因为f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且f(2)＝0，所以|x－1|＜2，即－2＜x－1＜2，解得－1＜x＜3.所以x的取值范围是(－1，3)．【例4】(1)(2014·新课标全国Ⅱ卷)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)＞0，则x的取值范围是________．(2)见下一页核心点3函数性质的综合应用热点突破热点二函数性质的三个核心点求函数的周期；fx＋32＝－f(x)⇔f(x＋3)＝f(x)利用周期转化求函数值求f(0)＝？f(2)＝？一审二审三审【例4】(2)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，对任意x∈R，都有fx＋32＝－f(x)，且当x∈0，32时，f(x)＝log2(2x＋1)，则f(－2015)＋f(2013)＝________．核心点3函数性质的综合应用热点突破热点二函数性质的三个核心点得f(x＋3)＝f(x)，即T＝3，可得f(2015)＝f(3×671＋2)＝f(2)，f(2013)＝f(3×671)＝f(0)．当x≥0时，fx＋32＝－f(x)，(2)因为函数f(x)为奇函数且f(0)有定义，故f(0)＝0，且f(－2015)＝－f(2015)．【例4】(2)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，对任意x∈R，都有fx＋32＝－f(x)，且当x∈0，32时，f(x)＝log2(2x＋1)，则f(－2015)＋f(2013)＝________．核心点3函数性质的综合应用热点突破热点二函数性质的三个核心点故f(－2015)＝1.综上，f(－2015)＋f(2013)＝1＋0＝1.答案(1)(－1，3)(2)1由已知f(0)＝0，而f(2)＝f12＋32＝－f12，又f12＝log22×12＋1＝log22＝1，所以f(2)＝－f12＝－1，即f(2015)＝－1，【例4】(2)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，对任意x∈R，都有fx＋32＝－f(x)，且当x∈0，32时，f(x)＝log2(2x＋1)，则f(－2015)＋f(2013)＝________．核心点3函数性质的综合应用热点突破热点二函数性质的三个核心点函数性质的综合应用主要包括求值、解不等式与比较大小三个方面：求值的关键是利用函数的奇偶性、对称性以及函数的周期性将自变量转化到指定区间内，然后代入函数解析式求值；解不等式问题主要利用函数的奇偶性与单调性等将函数值的大小转化为自变量之间的大小关系求解；比较大小问题主要利用奇偶性、周期性、对称性把要比较的几个值转化到同一区间上或对称区间上，再利用函数的单调性解决．核心点3函数性质的综合应用【训练4】已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a＝f(log47)，b＝f(log123)，c＝f(0.2－0.6)，则a，b，c的大小关系是()A．c＜a＜bB．c＜b＜aC．b＜c＜aD．a＜b＜c解析log123＝－log23＝－log49，b＝f(log123)＝f(－log49)＝f(log49)，热点突破热点二函数性质的三个核心点又f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，故f(x)在[0，＋∞)上是单调递减的，核心点3函数性质的综合应用log47＜log49，0.2－0.6＝15－35＝5125＞532＝2＞log49，∴f(0.2－0.6)＜f(log123)＜f(log47)，即c＜b＜a.答案B热点突破热点三函数与方程的求解问题函数的零点与方程的解、函数图象等问题密切相关，该部分的重点主要包括以下四个方面：(1)函数零点所在区间的确定；(2)函数零点个数的判断；(3)函数零点近似值的求解；(4)由函数零点所在范围或函数零点个数求解参数的取值范围等．在高考试题中多作为选择题或填空题进行考查，难度中等偏下．【例5】已知函数f(x)＝2－x－1，x≤0，f(x－1)，x＞0，若方程f(x)＝x＋a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是()A．(－∞，0]B．[0，1)C．(－∞，1)D．[0，＋∞)热点三函数与方程的求解问题解析函数f(x)＝2－x－1，x≤0，f(x－1)，x＞0，的图象如图所示，y=x+a当a＜1时，函数y＝f(x)的图象与函数y＝x＋a的图象有两个交点，即方程f(x)＝x＋a有且只有两个不相等的实数根．答案C热点突破解决分段函数与函数零点的综合问题的关键在于“对号入座”，即根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解零点，注意取值范围的大前提，以及函数性质和数形结合在判断零点个数时的强大功能．热点三函数与方程的求解问题热点突破解析(1)∵f(1)＝－10，f(2)＝120，【训练5】(1)(2015·合肥模拟)函数f(x)＝－1x＋log2x的一个零点落在区间()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)(2)函数f(x)＝x12－12x的零点个数为()A.0B.1C.2D.3热点三函数与方程的求解问题(2)f(x)＝x12－12x的零点，即令f(x)＝0.根据此题可得x12＝12x，在平面直角坐标系中分别画出幂函数y＝x12和故其中一个零点会落在(1，2)内．指