【优化方案】2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件：3.2 等差数列(共32张PPT)

§3.2等差数列本节目录教材回顾夯实双基考点探究讲练互动考向瞭望把脉高考知能演练轻松闯关目录教材回顾夯实双基基础梳理1．等差数列的定义如果一个数列从________起，每一项与它的前一项的差等于___________，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的________，通常用字母d表示．第二项同一个常数公差目录2．等差数列的基本公式(1)通项公式：数列{an}是等差数列，公差为d，an＝a1＋_______，特别地，an＝am＋(n－m)d.(2)求和公式：若数列{an}是等差数列，公差为d，前n项和为Sn，则Sn＝________＝na1＋nn－12d.(3)等差中项公式：若三个数a、b、c成等差数列，则等差中项b＝________.(n－1)dna1＋an2a＋c2目录3．等差数列的常用性质(1)等差数列的单调性①{an}是递增数列⇔d0；②{an}是递减数列⇔d0；③{an}是常数列⇔d＝0.(2)通项的性质①若m＋n＝p＋q，则am＋an＝__________(m，n，p，q∈N*)特别地，若m＋n＝2p，则2ap＝am＋an；②若{an}是有穷数列，则与首、末两项等距离的两项之和都等于首、末两项之和；③项数成等差数列，则相应的项也成等差数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)成____________．ap＋aq等差数列目录课前热身1．(2012·高考重庆卷)在等差数列{an}中，a2＝1，a4＝5，则{an}的前5项和S5＝()A．7B．15C．20D．25解析：选B.∵{an}是等差数列，∴a2＋a4＝2a3＝1＋5，∴a3＝3，∴S5＝5a1＋a52＝5×2a32＝5a3＝5×3＝15.目录2．已知等差数列{an}的前三项为a－1，a＋1,2a＋3.则此数列的通项公式为()A．2n－5B．2n－3C．2n－1D．2n＋1答案：B目录3．(2011·高考湖北卷)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为()A．1升B.6766升C.4744升D.3733升解析：选B.设所构成数列{an}的首项为a1，公差为d，依题意a1＋a2＋a3＋a4＝3，a7＋a8＋a9＝4，即4a1＋6d＝3，3a1＋21d＝4，解得a1＝1322，d＝766，∴a5＝a1＋4d＝1322＋4×766＝6766.目录4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝S3＝12，则{an}的通项an＝__________.答案：2n目录解析：由题意知a1＋a1＋d＝6a1＋6×52d，a1＋3d＝1，解得a1＝7，d＝－2，∴a5＝a4＋d＝1＋(－2)＝－1.5．(2011·高考辽宁卷)Sn为等差数列{an}的前n项和，S2＝S6，a4＝1，则a5＝________.答案：－1目录考点探究讲练互动考点突破考点1等差数列基本量的求法等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d，前n项和公式Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－12d中，有五个量a1、an、n、d、Sn，通过解方程(组)知三可求二．目录例1在等差数列{an}中，(1)已知a15＝33，a45＝153，求a61；(2)已知S8＝48，S12＝168，求a1和d；(3)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8.【思路分析】在等差数列中有五个重要的量，即a1，an，d，n，Sn，只要已知任意三个，就可求出其他两个．其中a1和d是两个最重要的量，通常要先求出a1和d.目录【解】(1)法一：33＝a1＋14d，153＝a1＋44d，解得a1＝－23，d＝4.∴a61＝－23＋(61－1)×4＝217.法二：a45＝a15＋(45－15)d，∴153＝33＋30d，∴d＝4，a61＝a45＋16d＝153＋16×4＝217.目录(2)法一：S8＝48＝8a1＋8×72d，S12＝168＝12a1＋12×112d.解得a1＝－8，d＝4.法二：设等差数列的前n项和为Sn＝an2＋bn，∴48＝64a＋8b，168＝144a＋12b，∴a＝2，b＝－10，∴Sn＝2n2－10n，a1＝S1＝2－10＝－8，S2＝2×22－10×2＝－12，∴a2＝S2－a1＝－12＋8＝－4，d＝a2－a1＝－4＋8＝4.目录(3)法一：10＝a1＋5d，5＝5a1＋5×42d，∴a1＝－5，d＝3.∴a8＝－5＋7×3＝16，S8＝8×(－5)＋8×72×3＝44.法二：S5＝5×a1＋a52＝5a3＝5，∴a3＝1，∴d＝a6－a36－3＝10－13＝3，∴a8＝a6＋2d＝10＋6＝16，a4＝a3＋d＝4，a5＝7，∴S8＝a1＋a8×82＝4(a4＋a5)＝44.目录【思维总结】等差数列的基本计算转化为基本量a1与d的计算是常用方法，若结合其性质可简化计算．目录例2考点2等差数列的判定或证明判定或证明等差数列的基本方法有：①定义法：an＋1－an＝d；②等差中项法：2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝4－4an(n≥2)，令bn＝1an－2.(1)求证数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．目录【思路分析】欲证{bn}为等差数列，只需证明bn＋1－bn是常数，即证1an＋1－2－1an－2是常数(n∈N*)，而{an}的通项可利用(1)求出，也可以利用中项关系证明{bn}是等差数列．目录【解】(1)证明：∵an＋1＝4－4an，∴an＋1－2＝2－4an＝2an－2an(n≥1)，∴1an＋1－2＝an2an－2＝12＋1an－2(n≥1)，故1an＋1－2－1an－2＝12(n≥1)，即bn＋1－bn＝12(n≥1)，∴{bn}为等差数列．目录(2)∵{1an－2}是公差为12的等差数列，且b1＝1a1－2＝－1，∴bn＝－1＋(n－1)×12＝12n－32，即1an－2＝n－32，∴an＝2＋2n－3.【思维总结】本题用bn＋1－bn＝常数的方法证明等差数列．目录跟踪训练1．若a1＝1，an＋1＝1－14an，bn＝12an－1，n∈N*，{bn}是等差数列吗？解：∵an＋1＝1－14an，∴2an＋1－1＝1－12an，∴bn＋1＝12an＋1－1＝11－12an＝2an2an－1，∴bn＋1－bn＝2an2an－1－12an－1＝1，∴{bn}是以b1＝12a1－1＝1为首项，公差为1的等差数列．目录例3考点3等差数列性质的应用主要针对等差中项性质、单调性质、首末两项和的性质及推广，在数列的基本推理和计算中应用．设{an}是公差不为0的等差数列，Sn为其前n项和，满足a22＋a23＝a24＋a25，S7＝7.求数列{an}的通项公式及前n项和．【思路分析】由题设条件求首项a1和公差d，即把题设条件转化为含有a1和d的方程组求解；或者利用性质转化S7＝7＝7a4，a22＋a23＝a24＋a25推出a3＋a4＝0.目录【解】S7＝7×a1＋a72＝7a4＝7，∴a4＝1.∵a22＋a23＝a24＋a25，∴a23－a24＝a25－a22，∴(a3＋a4)(a3－a4)＝(a5＋a2)(a5－a2)．∵a3＋a4＝a5＋a2，a3－a4＝－d，a5－a2＝3d，∴－d(a3＋a4)＝3d(a3＋a4)．∵d≠0，∴a3＋a4＝0，∴a3＝－1，∴d＝a4－a3＝1－(－1)＝2.∴a1＝－1－2d＝－5.∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－7，Sn＝－5n＋nn－12×2＝n2－6n.目录【思维总结】此题直接把已知条件转化为a1与d求解，化简量较大，但思路简单．用性质化简已知条件，化简不繁琐，但较隐含．目录跟踪训练2．(2013·宁波模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，过点P(n，Sn)和Q(n＋1，Sn＋1)(n∈N*)的直线的斜率为3n－2，则a2＋a4＋a5＋a9的值等于()A．52B．40C．26D．20解析：选B.由题意得Sn＋1－Snn＋1－n＝3n－2，∴Sn＋1－Sn＝3n－2，即an＋1＝3n－2，∴an＝3n－5，∴数列{an}是等差数列，a5＝10，而a2＋a4＋a5＋a9＝2(a3＋a7)＝4a5＝40，故选B.目录方法技巧1．在有关等差数列的基本问题中，常常需要根据已知，a1，an，d，n，Sn中的某些量去求其他未知的量，解方程是必不可少的，在运用方程的思想时，还要注意等差数列性质的运用以及整体代换思想的运用．2．等差数列通项公式an是关于n的一次函数，an＝dn＋(a1－d)，(d≠0)；等差数列的前n项和公式是特殊的二次函数关系式，对前n项和的最大值或最小值的求解可以借助函数求最值的方法进行，也可以利用数列的通项公式进行求解．一般地，有如下结论：方法感悟目录(1)如果d0，则Sn有最小值．当a10时，Sn的最小值就是S1＝a1；当a10时，通过解不等式组am≤0，am＋1≥0得到正整数解m，Sn的最小值就是Sm；(2)如果d0，则Sn有最大值．当a10时，Sn的最大值就是S1＝a1；当a10时，通过解不等式组am≥0am＋1≤0得到正整数解m，Sn的最大值就是Sm.目录3．前n项和的性质设Sn是等差数列{an}的前n项和，则①Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…构成的数列是等差数列；②{Snn}也是一个等差数列；③Sn＝na1＋an2＝na2＋an－12＝na3＋an－22＝….④若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，S奇S偶＝anan＋1.⑤若项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，S奇S偶＝nn－1.目录失误防范1．如果p＋q＝r＋s，则ap＋aq＝ar＋as，一般地，ap＋aq≠ap＋q，必须是两项相加，当然可以是ap－t＋ap＋t＝2ap.2．公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n项和公式是n的常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列．3．公差的计算是an＋1－an＝d，切不可为an－an＋1，同理d＝an－amn－m，(nm)且不可为an－amm－n.4．在数列中有类似于an－1，Sn－1的量，其成立条件为n≥2.目录考向瞭望把脉高考命题预测从近两年的高考试题看，等差数列的判定、通项公式以及与前n项和公式有关的最值问题等是高考的热点，题型既有选择题、填空题又有解答题，难度中等偏高；客观题突出“小而巧”．以基本计算为主，考查性质的灵活运用及对概念的理解．主观题“大而全”，着重考查函数方程，等价转化等．在2012年的高考中，各省市高考题都涉及到等差数列问题．要么是单独的一个客观题，如大纲全国卷理、重庆卷，要么是一个主观题，如四川卷．预测2014年高考仍将以等差数列的定义、通项公式和前n项和公式为主要考点，重点考查运算能力与逻辑思维能力．目录规范解答(本题满分12分)数列{an}中，a1＝8，a4＝(1＋i)(1－i)，且满足an＋2＝2an＋1－an，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，n∈N*，求Sn的解析式．例【解】(1)∵an＋2＝2an＋1－an，n∈N*，∴an＋2＋an＝2an＋1，∴数列{an}为等差数列．(2分)又∵a1＝8，a4＝(1＋i)(1－i)＝2，d＝a4－a14－1＝－2.∴an＝8＋(－2)(n－1)＝－2n＋10.(5分)目录(2)令an＝－2n＋10＝0，则有n＝5.∴|an|＝－2n＋10，n≤5，2n－10，n≥6.(7分)∴当n≤5时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝8n＋nn－12(－2)＝－n2＋9n；(9