【优化方案】2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件：6.3 不等式的证明(共32张PPT

§6.3不等式的证明本节目录教材回顾夯实双基考点探究讲练互动考向瞭望把脉高考知能演练轻松闯关目录教材回顾夯实双基基础梳理1．比较法(1)作差比较法①理论依据：ab⇔________；ab⇔_________；②证明步骤：作差→变形→判断符号→得出结论．(2)作商比较法①理论依据：b0，ab1⇒______；b0，ab1⇒________.②证明步骤：作商→变形→判断与1的大小关系．a－b0a－b0abab目录2．综合法利用某些__________的不等式和不等式的______推导出所要证明的不等式成立．这种证明方法叫综合法．3．分析法从______的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题．如果能够_______这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立．这种证明方法叫做_________．已证明过性质求证肯定分析法目录思考探究综合法与分析法有什么区别与联系？提示：分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是寻求它的充分条件；综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件．综合法往往是分析法的逆过程，其表述简单、条理清楚，故证明时，常先用分析法分析思路，再用综合法书写过程．目录课前热身1．(教材改编)下列不等式不一定正确的是()A．x2＋1xB．x2＋22xC．x2＋33xD．x2＋44x答案：D目录2．已知a，b为非零实数，且ab，则下列不等式一定成立的是()A．a2b2B.1a1bC．|a||b|D．2a2b答案：D目录3．已知a＜0，－1＜b＜0，则()A．a＞ab＞ab2B．ab2＞ab＞aC．ab＞a＞ab2D．ab＞ab2＞a答案：D目录4．(2011·高考湖南卷)设x，y∈R，且xy≠0，则x2＋1y2·1x2＋4y2的最小值为________．解析：x2＋1y21x2＋4y2＝5＋1x2y2＋4x2y2≥5＋21x2y2·4x2y2＝9，当且仅当x2y2＝12时“＝”成立．答案：9目录5．设x＝a2b2＋5，y＝2ab－a2－4a，若xy，则实数a，b应满足的条件为________．答案：ab≠1或a≠－2目录考点探究讲练互动考点突破考点1比较法(1)用作差比较法证明不等式时，通常是进行因式分解或利用各因式的符号比较法进行判断，或配方利用非负数的性质进行判断．(2)作商法要弄清分母的符号，再将商式变形与1比较．目录例1设ab0，求证：a2－b2a2＋b2a－ba＋b.【思路分析】可用作差或作商比较的方法证明．【证明】法一：∵ab0，∴左边－右边＝a－b[a＋b2－a2＋b2]a2＋b2a＋b＝2aba－ba2＋b2a＋b0，故原不等式成立．目录法二：∵a2－b2a2＋b2a－ba＋b＝a2－b2a2＋b2×a＋ba－b＝a＋b2a2＋b2＝1＋2aba2＋b21，且由ab0，知a－ba＋b0且a2－b2a2＋b20，∴a2－b2a2＋b2a－ba＋b.目录考点2综合法证明不等式综合法的思索路线是“由因导果”，也就是从一个已知的不等式(组)出发，不断地用必要条件代替前面的不等式，直至推导出要求证明的不等式．目录例2已知a，b，c为互不相等的实数，求证：a4＋b4＋c4abc(a＋b＋c)．【思路分析】从已知不等式a2＋b2≥2ab出发，一步步由因导果直至推出要证的结论．目录【证明】∵a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2a2c2.又a，b，c互不相等，∴上面三式中至少有一个式子不能取“＝”号，∴a4＋b4＋c4a2b2＋b2c2＋c2a2.①∵a2＋b2≥2ab，∴a2c2＋b2c2≥2abc2，同理a2b2＋a2c2≥2a2bc，b2c2＋b2a2≥2ab2c，∴a2b2＋b2c2＋c2a2abc2＋a2bc＋ab2c.②由①，②得a4＋b4＋c4abc(a＋b＋c)．【误区警示】本题中a、b、c为不全相等的正数，所以“＝”舍去．目录跟踪训练1．已知a0，b0，c0，且a、b、c不全相等，求证：bca＋acb＋abca＋b＋c.证明：∵a0，b0，c0，且不全相等，∴bca＋acb≥2bca·acb＝2c，同理，acb＋abc≥2a，abc＋bca≥2b，上述三个等号至少有一个不成立，三式相加，得2(bca＋acb＋abc)2(a＋b＋c)，即bca＋acb＋abca＋b＋c.目录考点3分析法证明不等式分析法的思索路线是“执果索因”，即从求证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直到找到已知不等式为止．目录已知ab0，求证：a－b28aa＋b2－ab.【思路分析】用分析法证明，证明开方后的不等式成立．例3目录【证明】要证a－b28aa＋b2－ab，只需证：a－b28aa－b22，∵ab0，ab0.只需证a－b22aa－b2，即证：a＋b2a1，只需证：a＋b2a，即ba，该式显然成立．∴a－b28aa＋b2－ab.【思维总结】分析法中，下一步一定能推出上一步成立.目录跟踪训练2．已知ab0，求证：a＋b2－aba－b28b.证明：要证原式成立．只需证a－b22a－b28b.∵ab0，ab0.∴只需证：a－b2a－b22b.只需证：1a＋b2b，只需证2ba＋b，即ba，显然成立，∴原式成立．目录考点4证明不等式的其它方法证明不等式的方法多样，变化多端，如放缩法、反证法、换元法等，要根据不等式的特征，综合运用各种方法．目录证明不等式：1＋12＋13＋…＋1n2n(n∈N*)．例4【思路分析】考虑不等式自身的特点，可用放缩法、构造函数法．【证明】法一：(放缩法)∵k－k－1＝1k＋k－1＞12k，∴1k2(k－k－1)．令k＝1,2,3，…，n，则有112(1－0)，122(2－1)，132(3－2)，…1n2(n－n－1)．各式相加，1＋12＋13＋…＋1n2n(n∈N*)．目录法二：(构造函数法)设f(n)＝2n－(1＋12＋13＋…＋1n)．则f(k＋1)－f(k)＝2k＋1－2k－1k＋1＝2k＋1－2kk＋1－1k＋1＝k＋1－2kk＋1＋kk＋1＝k＋1－k2k＋10(k∈N*)．∴f(k＋1)f(k)，即f(n)是n∈N*上的增函数．∴f(n)≥f(1)＝2－1＝10，∴1＋12＋13＋…＋1n2n(n∈N*)．目录【思维总结】放缩法、构造法是证明不等式的常用方法，放缩法证明不等式时，放缩要适度，必须有目标，而且要恰到好处，常用的放缩法有增项、减项，利用公式的性质，不等式的性质，函数的性质等，构造法证明不等式，往往利用构造函数的单调性，几何图形的性质等解决问题．目录方法技巧1．比较法往往适用于不等式成立，没有明显的条件．2．综合法、分析法常用来证明条件不等式，当因果关系较明显时，采用综合法．当要证明的不等式比较复杂，两端差异难以消去或者已知条件信息太少，已知与待证之间的联系不明显时，一般可采用分析法．3．反证法、放缩法、构造函数法也是证明不等式的常用方法．方法感悟目录失误防范1．用作商比较法证明不等式时，要注意除式的符号，否则易出错，因为AB1，若B0，则有AB；但若B0，则有AB.2．用分析法证明不等式时，要注意书写格式，其书写格式是：要证明B，只需证明B1，即证B2，只需证明A成立，而已知A成立，所以B成立．3．放缩法是不等式证明中重要的变形方法之一．放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论进行考查．常用的放缩技巧有增项、减项、利用公式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质(有限性、单调性)等．目录考向瞭望把脉高考命题预测从近两年的高考试题分析，不等式的证明在高考中以函数、数列、解析几何为载体进行命题，客观题主要是判断不等式成立，主观题主要是作为其中某一问，证明不等式．2011年的高考中，安徽卷是单独的不等式的证明问题，大纲全国卷利用函数性质证明不等式．预测2014年高考还将以与其他数学知识交汇为主，渗透不等式的证明方法，考查学生解决综合试题的能力．目录规范解答例(本题满分12分)(2011·高考安徽卷)(1)设x≥1，y≥1，证明x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy；(2)设1a≤b≤c，证明logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.目录【证明】(1)由于x≥1，y≥1，所以x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy⇔xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.将上式中的右式减左式，得[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．(5分)由于x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立．(6分)目录(2)设logab＝x，logbc＝y，由对数的换底公式得logca＝1xy，logba＝1x，logcb＝1y，logac＝xy.(9分)于是，所要证明的不等式即为x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy.(10分)又由于1a≤b≤c，所以x＝logab≥1，y＝logbc≥1.故由(1)知所要证明的不等式成立．(12分)目录【名师点评】本题考查不等式的基本性质，不等式的最基本的证明方法——作差法．第(2)问考查对数函数的性质和对数换底公式，当然该问题思维跨度较大，若不能正确代换，将不会有效地利用第(1)问的结论．