【优化方案】2014届高考数学一轮复习 5.4 平面向量的数量积及运算律课件

§5.4平面向量的数量积及运算律本节目录教材回顾夯实双基考点探究讲练互动考向瞭望把脉高考知能演练轻松闯关教材回顾夯实双基基础梳理1．向量数量积的定义(1)向量a与b的夹角已知两个非零向量，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角．夹角的范围是______________．当θ＝90°时，a与b垂直，记作________；当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向．[0°，180°]a⊥b(2)a与b的数量积已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积或内积，记作a·b，即a·b＝______________.(3)规定零向量与任一向量的数量积为0.(4)a·b的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．|a||b|cosθ2．向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则(1)e·a＝a·e＝_________.(2)a⊥b⇔__________.(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝__________；特别地，a·a＝|a|2或|a|＝a2.(4)cosθ＝a·b|a||b|.(5)|a·b|_____|a||b|.|a|cosθa·b＝0－|a||b|≤3．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝_______．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.4．平面向量数量积的坐标表示(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝_____________.(2)设a＝(x，y)，则|a|＝___________.(3)若向量a的起点坐标和终点坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则|a|＝______________________.这就是两点间的距离公式．(4)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.a·(λb)x1x2＋y1y2x2＋y2x2－x12＋y2－y12思考探究1．向量的数量积是一个数量，它的符号是怎样确定的？提示：由向量数量积的定义知：a·b＝|a||b|·cosθ.当a，b为非零向量时，a·b的符号由夹角的余弦来确定．当0°≤θ＜90°时，a·b0；当90°θ≤180°时，a·b0；当a与b至少有一个为零向量或θ＝90°时，a·b＝0.2．向量a，b，c满足规律(a·b)c＝a(b·c)?提示：不满足，因为(a·b)c与c共线，而a(b·c)与a共线．一般情况下，a与c不一定共线，所以(a·b)c与a(b·c)不一定相等．课前热身1．(2012·高考重庆卷)设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝()A.5B.10C．25D．10解析：选B.∵a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，由a⊥c得a·c＝0，即2x－4＝0，∴x＝2.由b∥c，得1×(－4)－2y＝0，∴y＝－2.∴a＝(2,1)，b＝(1，－2)．∴a＋b＝(3，－1)，∴|a＋b|＝32＋－12＝10.2．已知|b|＝3，a在b方向上的投影是32，则a·b为()A．3B.92C．2D.12答案：B答案：－153．已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)，则a·b＝______.答案：－634．已知a＝(3,2)，b＝(－1,2)，(a＋λb)⊥b，则实数λ＝________.考点探究讲练互动考点突破考点1平面向量数量积的运算求两个向量的数量积，有两种方法：一是根据定义，确定两个向量的长度以及两个向量的夹角，代入定义式即可；二是坐标形式，确定两个向量的坐标，然后代入坐标公式．(1)已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，则a·b＝________；(a－2b)·(a＋b)＝________.(2)若a＝(3，－4)，b＝(2,1)，则(a－2b)·(2a＋3b)＝__________________________________________________；b在a上的投影为________．【思路分析】利用平面向量数量积的定义及运算律计算a2，b2，及a·b.例1【解析】(1)a·b＝|a||b|cos120°＝4×4×(－12)＝－8.(a－2b)·(a＋b)＝a2－a·b－2b2＝16＋8－32＝－8.(2)法一：a－2b＝(3，－4)－2(2,1)＝(－1，－6)，2a＋3b＝2(3，－4)＋3(2,1)＝(12，－5)，(a－2b)·(2a＋3b)＝(－1)×12＋(－6)×(－5)＝18.法二：(a－2b)·(2a＋3b)＝2a2－a·b－6b2＝2[32＋(－4)2]－[3×2＋(－4)×1]－6(22＋12)＝18.b在a上的投影|b|cosθ＝a·b|a|＝3，－4·2，15＝25.【答案】(1)－8－8(2)1825【领悟归纳】两个向量的数量积，若两个向量没给出具体的坐标时，就依据运算律计算，若给出向量具体的坐标，可求出具体坐标如(2)的法一，也可依据运算律如(2)的法二．考点2利用平面向量数量积解决夹角、长度问题找两向量的夹角，在图形中必须使两向量共起点，可以结合解三角形求角．注意向量夹角的范围：[0°，180°]，而|a|＝a2＝a·a.(2011·高考湖北卷)若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于()A．－π4B.π6C.π4D.3π4【思路分析】首先求出2a＋b、a－b，借助公式求解．例2【解析】2a＋b＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)，a－b＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)，(2a＋b)·(a－b)＝9.|2a＋b|＝32，|a－b|＝3.设所求两向量夹角为α，则cosα＝932×3＝22，∴α＝π4.【答案】C【思维总结】求向量夹角要注意角的范围．跟踪训练已知|a|＝1，a·b＝12，(a－b)·(a＋b)＝12，求：(1)a与b的夹角；(2)a与(a＋b)的夹角的余弦值．解：(1)∵(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝12.又∵|a|＝1，∴|b|＝|a|2－12＝22.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a||b|＝121·22＝22，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝45°.(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×12＋12＝52，∴|a＋b|＝102，又∵a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝1＋12＝32，∴cos〈a，a＋b〉＝a·a＋b|a||a＋b|＝32102＝31010.考点3利用平面向量数量积解决垂直、平行问题(1)两个向量平行的充要条件：a∥b⇔|a·b|＝|a|·|b|⇔a·b＝|a||b|或－|a||b|.(2)两个非零向量垂直的充要条件：两非零向量垂直，则它们的数量积等于0.上述两点的实质就是把位置关系的判定转化为代数运算．已知平面向量a＝(3，－1)，b＝(12，32)．(1)证明：a⊥b；(2)若(a＋2b)⊥(ka＋b)，求k的值．例3【思路分析】利用公式a·b＝0⇔a⊥b.【解】(1)证明：∵a·b＝3×12－1×32＝0，∴a⊥b.(2)(a＋2b)·(ka＋b)＝k|a|2＋2|b|2＋(2k＋1)a·b.|a|2＝3＋1＝4.|b|2＝1.且由(1)知a·b＝0.∴(a＋2b)·(ka＋b)＝4k＋2＝0，∴k＝－12.【思维总结】在(2)中直接利用a·b＝0，使化简简单，如果把a与b的坐标代入(a＋2b)·(ka＋b)化简过程麻烦．方法技巧1．向量的加、减、数乘与数量积的混合运算可以看成多项式的运算，按多项式的运算法则进行．例如(λ1a＋λ2b)·(k1a＋k2b)＝λ1k1a2＋(λ1k2＋λ2k1)a·b＋λ2k2b2.2．用坐标计算时，有时先化简再代入坐标简单，整体运用|a|2及a·b的结果．方法感悟失误防范1．向量的数量积与数的乘法的区别(1)两个向量的数量积是个数量，而不是向量．(2)当a≠0时，由a·b＝0不能推出b一定是零向量．这是因为对任一与a垂直的非零向量b，都有a·b＝0.(3)a·b＝b·ca＝c.(4)对于实数a、b，有|ab|＝|a|·|b|，但对于向量a、b，有|a·b|≤|a|·|b|.2．当两向量的夹角θ为钝角时，－1＜cosθ＜0，要注意cosθ≠－1，这一点特别容易忽略，因为cosθ＝－1时，两向量反向，所成角不是钝角．同样当θ为锐角时，0cosθ1.cosθ＝1时θ为0，两向量同向．考向瞭望把脉高考命题预测向量作为数学工具正越来越被接受和应用，从近几年的高考中，向量的数量积是必考内容，即单独考查，以选择题，填空题的形式出现，又以解答题的形式与解析几何综合，具有一定难度．2012年的高考中，北京卷、上海卷、浙江卷、江苏卷结合几何图形，考查数量积的计算，安徽卷是在向量差的模的条件下，求数量积的最小值，湖南卷则是给定数量积求向量的模，广东卷则是对向量赋于新意，在新定义下求a∘b的值．预测2014年高考客观题以求模长、求夹角为重点，主观题中注重与三角函数、解析几何、立体几何等综合，转化为坐标运算为多．典例透析例(2012·高考广东卷)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α·ββ·β.若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角θ∈π4，π2，且a∘b和b∘a都在集合n2n∈Z中，则a∘b＝()A.52B.32C．1D.12【解析】根据新定义得a∘b＝a·bb·b＝|a|·|b|cosθ|b|2＝|a||b|cosθ，b∘a＝b·aa·a＝|a|·|b|cosθ|a|2＝|b||a|cosθ.又因为a∘b和b∘a都在集合n2n∈Z中，设a∘b＝n12，b∘a＝n22(n1，n2∈Z)，那么(a∘b)·(b∘a)＝cos2θ＝n1n24，所以0n1n22，所以n1，n2的值均为1，故a∘b＝n12＝12，选D.【答案】D【名师点评】本题考查向量的数量积的定义、性质等知识，考查综合分析问题的能力及运算求解能力，难度中等．