平面向量的基本定理及其坐标表示

第四章平面向量第2课时平面向量的基本定理及其坐标表示考纲传真：1.了解平面向量的基本定理及其意义．2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．请注意！平面向量的坐标运算承前启后，不仅使向量的加法、减法和实数与向量的积完全代数化，也是学习向量数量积的基础，因此是平面向量中的重要内容之一，也是高考中命题的热点内容．在这里，充分体现了转化和数形结合的思想方法．高考考点预览■·考点梳理·■1.平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．其中不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．a＝λ1e1＋λ2e22.平面向量的坐标表示(1)向量的夹角：如图，已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角，当θ＝0°或180°时，两向量共线，当θ＝90°时，两向量垂直．0°180°90°(2)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．(3)平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，由平面向量基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成a＝xi＋yj，由于a与数对(x，y)是一一对应的，因此把(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．(x，y)(4)规定：①相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；②向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系．相同相同3.平面向量的坐标运算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)；(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)；(3)若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)；(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．(x1±x2，y1±y2)(x2－x1，y2－y1)(λx，λy)x1y2－x2y1＝0高考测点典例研习例1[2012·泰州模拟]在△AOB中，OC→＝14OA→，OD→＝12OB→，AD与BC交于点M，设OA→＝a，OB→＝b，以a，b为基底表示OM→.平面向量基本定理的应用[思路点拨]可以用平面向量基本定理设出OM→＝ma＋nb，然后用共线向量的条件列出方程组，确定m、n的值．[解]设OM→＝ma＋nb(m、n∈R)，则AM→＝OM→－OA→＝(m－1)a＋nb，AD→＝OD→－OA→＝12b－a，∵A、M、D三点共线，∴m－1－1＝n12，即m＋2n＝1.而CM→＝OM→－OC→＝(m－14)a＋nb，CB→＝OB→－OC→＝b－14a，∵C、M、B三点共线，∴m－14－14＝n1，即4m＋n＝1.联立m＋2n＝14m＋n＝1得m＝17n＝37，所以OM→＝17a＋37b.[规律总结]平面向量基本定理表明，平面内任意一个向量都可以用一组基底唯一的表示，也就是利用已知向量表示未知向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．具体问题中可结合图形进行思考、分析转化．4.[2012·黄冈]在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于H，记AB→、BC→分别为a、b，则AH→＝()A.25a－45bB.25a＋45bC.－25a＋45bD.－25a－45b答案：B思考：解析：AF→＝b＋12a，DE→＝a－12b，设DH→＝λDE→，则DH→＝λa－12λb，∴AH→＝AD→＋DH→＝λa＋(1－12λ)b，∵AH→与AF→共线且a、b不共线，∴λ12＝1－12λ1，∴λ＝25，∴AH→＝25a＋45b.向量坐标的基本运算例2已知点A(－1，2)，B(2，8)以及AC→＝13AB→，DA→＝－13BA→，求点C、D的坐标和CD→的坐标．[思路点拨]根据题意可设出点C、D的坐标，然后利用已知的两个关系式，得到方程组，求出坐标．[解]设点C、D的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，得AC→＝(x1＋1，y1－2)，AB→＝(3，6)，DA→＝(－1－x2，2－y2)，BA→＝(－3，－6)．因为AC→＝13AB→，DA→＝－13BA→，所以有x1＋1＝1y1－2＝2，和－1－x2＝12－y2＝2.解得x1＝0y1＝4，和x2＝－2y2＝0.所以点C、D的坐标分别是(0，4)、(－2，0)，从而CD→＝(－2，－4)．[规律总结]向量的起、终点坐标、向量坐标可“知二求一”，主要是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程组求解．向量坐标的概念其实质是平面向量基本定理的具体运用．随着学习的深入对此应有一个深刻的认识．例3[2011·北京]已知向量a＝(3，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，3)．若a－2b与c共线，则k＝________．[思路点拨]a－2b与c共线⇒关于k的方程⇒k的值．平面向量共线的坐标表示[解析]a－2b＝(3，3)，根据a－2b与c共线，得3k＝3×3，解得k＝1.[答案]1[规律总结]向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．[变式探究3][2012·衡中调研]已知向量a＝(3cosα，2)，b＝(3，4sinα)，且a∥b，则锐角α等于______．答案：π4解析：依题意，12cosαsinα－6＝0，sin2α＝1，α为锐角，所以α＝π4.课堂小结1.平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解．2.向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理，从而向量可以解决平面解析几何中的许多相关问题．3.在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用．4.要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．5.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成x1x2＝y1y2，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.同时，a∥b的充要条件也不能错记为x1x2－y1y2＝0，x1y1－x2y2＝0等.■·考点自测·■1.已知向量a、b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么()A.k＝1且c与d同向B.k＝1且c与b反向C.k＝－1且c与d同向D.k＝－1且c与d反向答案：D解析：∵c∥d，∴c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)．又a、b不共线，∴k＝λ，1＝－λ，∴λ＝－1，k＝－1.∴c＝－d，∴c与d反向．故选D.2.已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且BC→＝2AD→，则顶点D的坐标为()A.(2，72)B.(2，－12)C.(3，2)D.(1，3)答案：A解析：设点D(m，n)，则由题意知，(4，3)＝2(m，n－2)，∴2m＝42n－4＝3，解得m＝2，n＝72，∴D(2，72)，故选A.3.[2012·辽宁铁岭六校联考]平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足OC→＝αOA→＋βOB→，其中α、β∈R且α＋β＝1，则点C的轨迹方程为()A.(x－1)2＋(y－2)2＝5B.3x＋2y－11＝0C.2x－y＝0D.x＋2y－5＝0答案：D解析：设C(x，y)，则OC→＝(x，y)，OA→＝(3，1)，OB→＝(－1，3)，∵OC→＝αOA→＋βOB→，∴x＝3α－βy＝α＋3β，将α＝1－β代入得x＝3－4βy＝1＋2β，消去β得x＋2y－5＝0.故选D.4.[2012·苏、锡、常、镇模拟]在△OAC中，B为AC的中点，若OC→＝xOA→＋yOB→，则x－y＝________．答案：－3解析：∵OB→＝12(OA→＋OC→)，∴OC→＝－OA→＋2OB→，又OC→＝xOA→＋yOB→，∴x＝－1，y＝2，因此x－y＝－3.5.[2010·陕西]已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1，2)，若(a＋b)∥c，则m＝________．答案：－1解析：a＋b＝(2－1，－1＋m)＝(1，m－1)，由(a＋b)∥c，得1×2－(m－1)×(－1)＝0，即m＝－1.创新演练·当堂冲关1.[2012·合肥市质检]如图，△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于F，设AB→＝a，AC→＝b，AF→＝xa＋yb，则(x，y)为()A.(12，12)B.(23，23)C.(13，13)D.(23，12)答案：C解析：设CF→＝λCD→，∵E、D分别为AC、AB的中点，∴BE→＝BA→＋AE→＝－a＋12b，BF→＝BC→＋CF→＝(b－a)＋λ(12a－b)＝(12λ－1)a＋(1－λ)b，∵BE→与BF→共线，∴12λ－1－1＝1－λ12，∴λ＝23，∴AF→＝AC→＋CF→＝b＋23CD→＝b＋23(12a－b)＝13a＋13b，故x＝13，y＝13.2.[2011·重庆]已知向量a＝(1，k)，b＝(2，2)，且a＋b与a共线，那么a·b的值为()A.1B.2C.3D.4答案：D解析：依题意得a＋b＝(3，k＋2)．由a＋b与a共线，得1×(k＋2)－3×k＝0，由此解得k＝1，a·b＝2＋2k＝4，选D.3.[2012·湛江模拟]设平面向量a＝(3，5)，b＝(－2，1)，则a－2b＝()A.(6，3)B.(7，3)C.(2，1)D.(7，2)答案：B解析：a－2b＝(3，5)－2(－2，1)＝(7，3)．4.[2011·湖南]设向量a，b满足|a|＝25，b＝(2，1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．答案：(－4，－2)解析：设a＝(x，y)，x0，y0，则x－2y＝0且x2＋y2＝20，解得x＝4，y＝2(舍去)，或者x＝－4，y＝－2，即a＝(－4，－2)．5.[2012·北京市顺义一中月考]设向量a＝(1，x－1)，b＝(x＋1，3)，则“x＝2”是“a∥b”的________条件．答案：充分不必要解析：∵x＝2时，a＝(1，1)，b＝(3，3)，b＝3a，∴a∥b；而当a∥b时，1×3＝(x＋1)(x－1)，∴x2＝4，∴x＝±2，即当x＝－2时，也有a∥b，故x＝2是a∥b的充分不必要条件．6.[2012·山东济南教学质量调研]已知向量a＝(2，1)，b＝(x，y)．若x∈{－1，0，1，2}，y∈{－1，0，1}，求向量a∥b的概率．解：设“a∥b”为事件A，由a∥b，得x＝2y.所有基本事件构成集合Ω＝{(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(2，－1)，(2，0)，(2，1)}共包含12个基本事件；其中A＝{(0，0)，(2，1)}，包含2个基本事件．则P(A)＝212＝16.